2021版数学攻略大一轮复习2.pdf

2.3二次函数与幂函数探考情 悟真题【考情探究】5 年考情考点内容解读考题示例考向关联考点预测热度了解二次函数的图象与性质结合二次函数的图1.二次函数 象,求二次函数的最值、单调区间掌握三个“二次”之间的关系了解幂函数的概念结合函12017 北京文,11二次函数的值域数形结合法2014 北京文,8二次函数的最值函数的应用问题、待定系数法数2018 上海,7幂函数232.幂函数y=x,y=x,y=x,y=x,y=x2的图象,了解它们的变化情况分析解读1.重点考查二次函数、一元二次方程及二次不等式的综合应用以及幂函数的图象及性质,重点考查等价转化和数形结合的思想.以二次函数为载体,解决二次函数的单调区间、二次函数在给定的闭区间上的最值以及有关参数的取值范围问题,关键是抓住函数图象的对称轴.2.主要考查幂函数在第一象限内的图象及性质.1破考点 练考向第 1 页 共 10 页【考点集训】考点一二次函数1.(2020 届首师大附中期中,7)若 a,b 是函数 f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且 a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于()A.6B.7C.8D.9答案D122.(2020 届北京四中期中,15)函数 f(x)=x2-ax(a0 且 a1),当 x(-1,1)时,均有 f(x),则实数 a 的取值范围是.答案2,1)(1,21考点二幂函数3.(2018 北京海淀期末,2)已知 a,bR,若 ab,则()A.a2bB.abb2C.D.a3y0,则下列不等关系中正确的是()A.cos xcos yB.log3xlog3yC.D.(3)(3)答案D121211炼技法 提能力第 2 页 共 10 页【方法集训】方法 1二次函数在区间上最值问题的解法1.(2017 浙江,5,4 分)若函数 f(x)=x2+ax+b 在区间 0,1上的最大值是M,最小值是 m,则M-m()A.与 a 有关,且与 b 有关B.与 a 有关,但与 b 无关C.与 a 无关,且与 b 无关D.与 a 无关,但与 b 有关答案B2.函数 y=-x2+2x-1 在0,3上的最大值为()A.-4B.-1C.3D.0答案D,3.(2020 届北大附中阶段检测,12)设 f(x)=2若存在实数 t 满足 f(t)t,则实数 a 的取值范,x a,围为.答案(-,1)方法 2解决一元二次方程根的分布问题的方法4.(2020 届北京海淀期中,7)已知函数 f(x)=x3+x2-2|x|-k.若存在实数 x0,使得 f(-x0)=-f(x0)成立,则实数 k 的取值范围是()A.-1,+)B.(-,-1C.0,+)D.(-,0答案A5.(2020 届北京人大附中统练五,13)已知二次函数 f(x)=x2+mx+6(mR).若 f(x)在区间(1,3)内恰第 3 页 共 10 页有一个零点,则实数 m 的取值范围是.答案(-7,-5)6.已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的取值范围(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的取值范围.解析令 f(x)=x2+2mx+2m+1.(1)由条件知,抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点的横坐标分别在区间(-1,0)和(1,2)内,如图所示,-2,(0)=2+1 0,则1(1)=4+2 0,05 -.6故 m 的取值范围是(-6,-2).(2)抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标均落在区间(0,1)内,如图所示,511 -,(0)0,21(1)0,-,则2 0,0 -1 1+2或 m 1-2,-1 0.故 m 的取值范围是(-2,1-2.第 4 页 共 10 页11方法 3幂函数的图象及性质的应用7.(2016 课标,7,5 分)已知 a=2,b=3,c=25,则()A.bacB.abcC.bcaD.ca0,且 a1)的图象过定点(m,n),则幂函数y=的单调区间为()A.(-,0)B.(0,+)C.(-,0)和(0,+)D.R答案C119.(2020 届北京顺义一中 10 月月考,10)若(a+1)2(3-2)2,则实数 a 的取值范围是.2答案-1,)3【五年高考】A 组自主命题北京卷题组1.(2014 北京文,8,5 分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为()第 5 页 共 10 页A.3.50 分钟B.3.75 分钟C.4.00 分钟D.4.25 分钟答案B2.(2017 北京文,11,5 分)已知 x0,y0,且 x+y=1,则 x2+y2的取值范围是.12答案,1B 组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2015 四川,9,5 分)如果函数 f(x)=2(m-2)x2+(n-8)x+1(m0,n0)在区间2,2上单调递减,那么mn 的最大值为()A.16B.18C.25D.28111答案B2.(2016 浙江,6,5 分)已知函数 f(x)=x2+bx,则“b0),g(x)=logax 的图象可能是()答案D3.(2014 大纲全国,16,5 分)若函数 f(x)=cos 2x+asin x 在区间(,)是减函数,则 a 的取值范围62是.答案(-,24.(2015 湖北,17,5 分)a 为实数,函数 f(x)=|x2-ax|在区间 0,1上的最大值记为g(a).当 a=时,g(a)的值最小.答案22-2【三年模拟】一、选择题(每小题 5 分,共 15 分)1.(2018 北京丰台一模,3)已知 abB.-2bD.a3b3答案A112.(2020届北京顺义一中10月月考,6)命题p:xR,ax2+ax+10.若p是真命题,则实数a的取值范围是()A.(0,4B.0,4C.(-,04,+)D.(-,0)(4,+)答案D3.(2020 届北京潞河中学 10 月月考,8)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x),当 x(0,1时,f(x)=x2-x,若对任意的 x(-,m,都有 f(x)-9,则实数 m 的取值范围是()A.(-,B.(-,43C.(-,D.(-,23答案B58978二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)4.(2019 北京海淀新高考调研卷,13)若函数 f(x)满足下面三个条件:f(x)在其定义域上图象不间断;f(x)在(0,1)上单调递增;x(0,1),都有 f(x)x,且 f(0)=0,f(1)=1.则称函数 f(x)为“UP 函数”.请写一个“UP 函数”f(x)=.第 8 页 共 10 页答案(答案不唯一)5.(2019 北京杨镇一中月考,9)若幂函数 f(x)的图象经过点(2,2),则 f(x)=,函数g(x)=f(x)的单调递减区间为.答案x2(0,e)6.(2019 北京昌平二模文,9)已知幂函数 f(x)=x(是实数)的图象经过点(2,2),则 f(4)的值为.答案21ln7.(2020 届北京铁二中开学测试,16)已知函数 f(x)=ax2-2(a+b)x+b(a0)满足 f(0)f(1)0,设 x1,x2是方程 f(x)=0 的两根,则|x1-x2|的取值范围是.答案3,2)三、解答题(共 15 分)8.(2020 届北京顺义一中 8 月月考,17)已知函数 f(x)=x2+bx+c,存在不等于 1 的实数 x0,使得f(2-x0)=f(x0).(1)求 b 的值(2)判断函数 f(x)在(1,+)上的单调性,并用单调性定义证明(3)直接写出 f(3c)与 f(2c)的大小关系.解析本题考查二次函数的单调性,考查学生分析问题与处理问题的能力,体现数学运算的核心素养.(1)因为存在实数 x0使得 f(2-x0)=f(x0),2所以(2-x0)2+b(2-x0)+c=0+bx0+c,即(2b+4)(x0-1)=0.因为 x01,所以 2b+4=0,即 b=-2.第 9 页 共 10 页经检验,b=-2 满足题意,所以 b=-2.(2)函数 f(x)在(1,+)上单调递增.证明如下:任取 x1,x2(1,+),且 x1x2,则 x1-x20.所以(x1-x2)(x1+x2-2)0.2222所以 f(x1)-f(x2)=1-2x1-(2-2x2)=1-2-(2x1-2x2)=(x1-x2)(x1+x2-2)0,即 f(x1)f(2c).思路分析(1)运用 f(2-x0)=f(x0)及 f(x)=x2+bx+c 列出方程求解即可(2)先判断出单调性,然后根据单调性定义证明单调性,即设值、作差、变形、下结论进行证明即可(3)根据单调性即可回答.第 10 页 共 10 页