【黑龙江省大庆实验中学年】2017学年高考仿真数学年(理科)试题.pdf

1/13 黑龙江省大庆实验中学黑龙江省大庆实验中学 2017 年高考仿真年高考仿真数学数学（理科）（理科）试卷试卷 答答 案案 一、选择题 15AADAC 610DDDDC 1112BC 二、填空题 1394 2 143 1516 1634t 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17解：（1）由已知及正弦定理可得：2222 3sin3abcCab，由余弦定理可得：2223cossin23abcCCab，即tan3C，由0,C，可得3C （2）由三角形中线长定理得：22222224abcc（），由三角形余弦定理得：222cabab，消去2c得：22442,3ababab ab（当且仅当ab时，等号成立），即11423sin22323ABCSabC 18解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的 100 人中，“体育迷”有 25 人，从而2 2列联表如下：非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 将2 2列联表中的数据代入公式计算，得22n adbcKabcdacbd1003.03033 因为3.030 3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14 2/13 由题意13,4X B，从而X的分布列为 X 0 1 2 3 P 2764 2764 964 164 13344E Xnp，139134416D Xnpp 19证明：（）取PA的中点N，连接,QN BN,Q N是,PD PA的中点，QNAD，且12QNAD 2PA，2 3PD，PAPD，224ADPAPD，12BCAD又BCAD，QNBC，且QNBC，四边形BCQN为平行四边形，BNCQ又BN 平面PAB，且CQ平面PAB，CQ平面PAB（）取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BOPO、由（1）知2PAAMPM，APM为等边三角形，POAM同理：BOAM 平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，PO平面ABCD 以 O 为坐标原点，分别以,OB OD OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则0,3,0D，0,1,0A-，0,0,3P，3,2,0C，330,22Q 3,3,0AC，0,3,3PD-，530,22AQ 设平面AQC的法向量为,nx y z（），00n ACn AQ，33053022xyyz，令3y 得3,3,5n-3/13 8 34 37cos,372 337PD nPD nPD n 直线PD与平面AQC所成角正弦值为4 3737 20解：（）依题意得222121322caabcac b，解得2243ab，故所求椭圆方程为：22143xy（）由（）知21,0F（），设11,A xy（），22,B xy（），AB的方程为1xty，代入椭圆的方程，整理得2234690tyty（），122122634934tyyty yt，12112OABSyy，2211|AFty，2221|BFty，22222222292 13 13342236363434tF A F BttStttOAB，当且仅当0t 时上式取等号22OABF A F BS的最小值为：32 21解：（1）函数yf x（）在0,2内的零点的个数为 1，理由如下：e sincosxf xxx（），e sincossinxfxxxx（）（），0,2x，0fx （），函数yf x在0,2上单调递增，010f（），02f，4/13 根据函数零点存在性定理得函数yf x（）在0,2内的零点的个数为 1（2）12f xg xm（）（），12f xmg x（）（），12minminf xmg x（）（），12minmaxf xmg x（）（），当0,2x时，0fx（），函数f x（）在0,2上单调递增，01minf xf（）（），cos2exg xxx，cossin2exg xxxx（），0,2x，0cos1x，sin0 xx，2e2x，0g x（），函数g x（）在0,2上单调递减，02maxg xg（）（），12m，12m，实数m的取值范围为,12 -；（3）1x-，要证：,12 -，只要证f xg x（）（），只要证e sincoscos2exxxxxx，5/13 只要证e sin21 cosxxxx（）（），由于sin20 x，10 x，只要证ecos1sin2xxxx，下面证明1x-时，不等式ecos1sin2xxxx成立，令e1xh xx（），1x-，2e1xxh xx（），1x-，当1,0 x（-）时，0h x（），h x（）单调递增，01minh xh（）（）令cossin2xkx，其可看作点sin,cosAxx与点2,0B-2,0B（-）连线的斜率，直线AB的方程为2yk x，由于点A在圆221xy上，直线AB与圆相交或相切，当直线AB与圆相切且切点在第二象限时，直线AB的斜率取得最大值为 1，当0 x 时，2102kh，0 x 时，1h xk（），综上所述，当1x-，0f xg x-22解：（）曲线C的极坐标方程为：2sincos，即22sincos，化为直角坐标方程：2yx将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线2121:Cyx（）（）直线l的极坐标方程为2 cos204，展开可得：22cossin202，可得直角坐标方程：20 xy 6/13 可得参数方程：22222xtyt（t为参数）代入曲线1C的直角坐标方程可得：22 240tt-解得122 2tt，124t t 2212121 242 2442|6|PAPBttttt t 23解：（）2|xa，22axa，2f x（）的解集为0,4，2024aa，2a （）|523|235|f xf xxxxx（）（）（）-（），0 xR，使得20054f xf xmm，即20054f xf xmm成立，2min45mmf xf x，即245mm，解得5m-，或1m，实数m的取值范围是,51,（-）（）7/13 黑龙江省大庆实验中学黑龙江省大庆实验中学 2017 年高考仿真年高考仿真数学数学（理科）（理科）试卷试卷 解解 析析 一、选择题 1【考点】1E：交集及其运算【分析】求出集合，利用集合的基本运算进行求解【解答】解：A=x13x81x|0 x4，B=x|log2（x2x）1=x|x2x2=x|x2 或 x1，则 AB=x|2x4，故选：A 2【考点】A8：复数求模【分析】复数 z1=2+6i，z2=2i，若 z1，z2 在复平面内对应的点分别为 A（2，6），B（0，2），利用中点坐标公式可得：线段 AB 的中点 C（1，2）进而得出【解答】解：复数 z1=2+6i，z2=2i，若 z1，z2 在复平面内对应的点分别为 A（2，6），B（0，2），线段 AB 的中点 C（1，2）对应的复数为 z=1+2i，则|z|=故选：A 3【考点】2J：命题的否定【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：因为全称命题是否定是特称命题，所以，命题m0，1，则的否定形式是：m0，1，则 故选：D 4【考点】8M：等差数列与等比数列的综合【分析】运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，再由等差数列的通项公式即可得到所求值【解答】解：a1，a3，a4 成等比数列，可得 a32=a1a4，可得（a1+2d）2=a1（a1+3d），由等差数列an的公差为 d=2，即有（a1+4）2=a1（a1+6），解得 a1=8，则 a6=a1+5d=8+10=2 故选：A 5【考点】DB：二项式系数的性质【分析】根据二项式展开式的通项公式，列出方程求出 n 的值【解答】解：二项式（x+1）nnN*）的展开式中 x2 项的系数为 15，8/13 =15，即=15，解得 n=6 或 n=5（不合题意，舍去），n 的值是 6 故选：C 6【考点】B9：频率分布折线图、密度曲线【分析】对 4 个选项分别进行判断，可得结论【解答】解：这 12 天中，空气质量为“优良”的有 95，85，77，67，72，92，故 A 正确；这 12 天中空气质量最好的是 4 月 9 日，AQI 指数值为 67，故正确；这 12 天的 AQI 指数值的中位数是=90，故正确；从 4 日到 9 日，空气质量越来越好，不正确，4 月 9 日，AQI 指数值为 135，故选D 7【考点】EF：程序框图【分析】模拟执行算法流程图可知其统计的是成绩大于等于 110 的人数，由茎叶图知：成绩大于等于 110的人数为 9，从而得解【解答】解：由算法流程图可知，其统计的是成绩大于等于 110 的人数，所以由茎叶图知：成绩大于等于 110 的人数为 9，因此输出结果为 9 故选：D 8【考点】CF：几何概型【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线 y=sinx 与 x 轴围成的区域记为 M 的面积，代入几何概率的计算公式可求【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为 3，正弦曲线 y=sinx 与 x 轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得：面积为 S=20sinxdx2cosx|0=4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆 O 内投一个点 A，则点 A 落在区域 M 内的概率 P=，故选：D 9【考点】7C：简单线性规划【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分则，表示直线的斜率，再将点 P 移动，观察倾斜角的变化即可得到 k 的最大、最小值，从而得到的取值范围【解答】解：设直线 y+x=6 与直线 x=1 交于点 A，直线 2x=y 与直线 x=1 交于点 B，可得 A（1，5），B（1，2），9/13 不等式组表示的平面区域如图：则的几何意义是可行域内的 P（x，y）与坐标原点连线的斜率，由可行域可得 k 的最大值为：kOA=5，k 的最小值 kOB=2 因此，的取值范围为2，5 故选：D 10【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是 2，高是 2 的三角形，三棱锥的高是 2，利用等积法得到关于 r 的等式，求得 r【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是 2，高是 2 的三角形，如图 各侧面面积分别为=2，2，以及，三棱锥的高是 2，设内切球半径为 r，则，解得 r=；故选C 11【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】由抛物线定义可得|AF|=xA+2，从而FAB 的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+（xBxA）+4=6+xB，确定 B 点横坐标的范围，即可得到结论【解答】解：抛物线的准线 l：x=2，焦点 F（2，0），由抛物线定义可得|AF|=xA+2，圆（x2）2+y2=16 的圆心为（2，0），半径为 4，FAB 的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+（xBxA）+4=6+xB，由抛物线 y2=8x 及圆（x2）2+y2=16 可得交点的横坐标为 2，xB（2，6）6+xB（8，12）故选 B 12【考点】3T：函数的值【分析】由题意函数 f（x）的图象关于点（2，0）对称，函数 f（x）与 y=的图象恰有个交点，且这个交点关于（2，0）对称，由此能求出 x1+x2+xn 的值【解答】解：函数 f（x）函数 f（x）的图象关于点（2，0）对称，10/13 结合图象知：x1、x2、xn 满足=，函数 f（x）与 y=的图象恰有个交点，且这个交点关于（2，0）对称，除去点（2，0），故有 x1+x2+xn=x1+x2+x3+x4=8 故选：C 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13【考点】7F：基本不等式【分析】由题意可得 a+4b=1，可得+=（+）（a+4b）=9+，由基本不等式可得【解答】解：函数 f（x）=x2+xb+只有一个零点，=a4（b+）=0，a+4b=1，a，b 为正实数，+=（+）（a+4b）=9+9+2=9+4 当且仅当=，即 a=b 时取等号，+的最小值为：9+4 故答案为：94 2 14【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】设双曲线方程，由题意可得丨 AB 丨=22a，求得 b2=2a2，根据双曲线的离心率公式 e=，即可求得 C 的离心率【解答】解：设双曲线方程：（a0，b0），由题意可知，将 x=c 代入，解得：y=，则丨 AB 丨=，由丨 AB 丨=22a，则 b2=2a2，11/13 双曲线离心率 e=，故答案为：3 15【考点】D8：排列、组合的实际应用【分析】根据题意，用间接法分析：先计算将 5 人分配到 2 个班级的情况数目，再分析其中甲班全部为男生的情况数目，用“将 5 人分配到 2 个班级”的情况数目减去“甲班没有女生即全部为男生”的情况数目，即可得答案【解答】解：根据题意，先将 5 人分配到 2 个班级，需要先把 5 人分成两组，有 C52=10 种分组方法，再把分好的 2 组对应 2 个班级，有 A22=2 种情况，则将 5 人分配到 2 个班级，有 102=20 种分配方法；其中甲班没有女生即全部为男生的情况有 2 种：甲班只有 3 名男生，则有 C33=1 种情况，甲班只有 2 名男生，则有 C32=3 种情况，则甲班没有女生的即全部为男生的情况有 1+3=4 种，则甲班至少分配 1 名女生的分配方案有 204=16 种；故答案为：16 16【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】根据题意得，n 是直线 OAn 的倾斜角，化简=（）；计算+，从而求出 t 的取值范围【解答】解：根据题意得，n 是直线 OAn 的倾斜角，=tan（n）=（）；+12/13 =（1）+（）+（）+（）=（1+）=（1+）=；要使恒成立，则实数 t 的取值范围是 t 故答案为：34t 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17【分析】（1）由已知及正弦定理可得：=sinC，由余弦定理，同角三角函数基本关系式可求 tanC 的值，结合范围 C（0，），可得 C 的值（2）由三角形中线长定理得：2（a2+b2）=4+c2，由三角形余弦定理得：c2=a2+b2ab，消去 c2，结合基本不等式可求 ab，利用三角形面积公式即可计算得解 18【考点】BO：独立性检验的应用【分析】（1）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出 K2，与 3.841 比较即可得出结论；（2）由题意，用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是为由于 XB（3，），从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可 19【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定【分析】（I）取 PA 的中点 N，连接 QN，BN，则可证四边形 BCQN 为平行四边形，得出 CQBN，于是CQ平面 PAB；（II）取 AD 的中点 M，连接 BM取 BM 的中点 O，连接 BO、PO，则可证 OBAD，PO平面ABCD，以 O 为原点建立坐标系，求出和平面 ACQ 的法向量 的坐标，则|cos|即为直线PD 与平面 AQC 所成角的正弦值 20【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系【分析】（）利用椭圆的离心率，三角形的面积，列出方程组，然后求椭圆 C 的方程；（）设出直线方程，联立直线与椭圆方程的方程组，利用韦达定理以及三角形的面积公式，结合函数的单调性求解即可 21【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理；63：导数的运算 13/13 【分析】（1）利用导数得到函数 y=f（x）在（0，）上单调递增，f（0）=10，f（）0，根据函数零点存在性定理得函数 y=f（x）在（0，）内的零点的个数为 1；（2）确定函数 f（x）在0，上单调递增，可得 f（x）min=f（0）=1；函数 g（x）在0，上单调递减，可得 g（x）max=g（0）=，即可求出实数 m 的范围；（3）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证，令 h（x）=，x1，利用导数求出 h（x）min=h（0）=1，再令 k=，其可看作点 A（sinx，cosx）与点 B（，0）连线的斜率，根据其几何意义求出 k 的最大值，即可证明 22【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程【分析】（I）曲线 C 的极坐标方程为：sin2=cos，即 2sin2=cos，化为直角坐标方程：y2=x，通过变换可得曲线 C1 的方程（II）直线 l 的极坐标方程为，展开可得：（cos+sin）2=0，利用互化公式可得直角坐标方程可得参数方程：（t 为参数），代入曲线 C1 的直角坐标方程可得：t2+2t4=0，利用|PA|+|PB|=|t1t2|=即可得出 23【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式【分析】（）若不等式 f（x）2 的解集为0，4，可得，即可求实数 a 的值；（）根据第一步所化出的分段函数求出函数 f（x）的最小值，若x0R，使得 f（x0）+f（x0+5）m24m 成立，只需 4m+m2fmin（x），解出实数 m 的取值范围