排列组合习题_[含详细答案解析].pdf

完美 WORD 格式圆梦教育中心圆梦教育中心排列组合专项训练1.题 1(方法对比，二星)题面：(1)有 5 个插班生要分配给 3 所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？(2)有 5 个数学竞赛名额要分配给3 所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？解析：“名额无差别”相同元素问题(法 1)每所学校各分一个名额后，还有 2 个名额待分配，可将名额分给 2 所学校、1 所学校，共两类：C2 C133(种)(法 2挡板法)相邻名额间共 4 个空隙，插入 2 个挡板，共：C24 6(种)注意：注意：“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别，且每个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别，元素无差别)同类题一同类题一题面：有 10 个运动员名额，分给7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案？答案：C69详解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9 个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成 7 份，对应地分给7 个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C69种分法。同类题二同类题二题面：求方程 X+Y+Z=10 的正整数解的个数。答案：36.详解：将 10 个球排成一排，球与球之间形成9 个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定专业整理分享由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z之值,故解的个数为 C92=36（个）。2.题 2(插空法，三星)题面：某展室有 9 个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有_种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有_种.答案：60，48同类题一同类题一题面：6 男 4 女站成一排，任何2 名女生都不相邻有多少种排法？答案：A66A47种.详解：任何 2 名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A66A47种不同排法同类题二同类题二题面：有 6 个座位连成一排，现有3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A36 种B48 种C72 种D96 种答案：C.详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A2472 种排法，故选 C.3题 3(插空法，三星)题面：5 个男生到一排 12 个座位上就座，两个之间至少隔一个空位完美 WORD 格式1没有坐人的 7 个位子先摆好，2(法 1插空)每个男生占一个位子，插入7 个位子所成的 8 个空当中，有：A58=6720 种排法.(法 2)15 个男生先排好：A55；2每个男生加上相邻的一个座位，共去掉 9 个位置，当作 5 个排好的元素，共有 6 个空，剩下的3 个元素往里插空，每个空可以插1 个、2 个、3 个元素，共有：C36 2C216C6种，综上：有A5(C3 2C21566C6)=6720 种.同类题一同类题一题面：文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4 个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？答案：30。详解：记两个小品节目分别为 A、B。先排 A 节目。根据A 节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4 个球分成两堆，有种方法。这一步完成后就有 5 个节目了。再考虑需加入的 B 节目前后的节目数，同理知有种方法。故由分步计数原理知，方法共有（种）。专业整理分享同类题二同类题二题面：(2013 年开封模拟)2 位男生和3 位女生共5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是()A60B48C42D36答案：B.详解：第一步选 2 女相邻排列 C23A22，第二步与男女排列 A22，第三步男生甲插在中间，1 种插法，第四步男男生插空 C14，故有 C23A22A22C1448 种不同排法4.题 4(隔板法变形，三星)题面：15 个相同的球，按下列要求放入4 个写上了 1、2、3、4 编号的盒子，各有多少种不同的放法?(1)将 15 个球放入盒子内，使得每个盒子都不空；C314 364(2)将 15 个球放入盒子内，每个盒子的球数不小于盒子的编号数；(3)将 15 个球放入盒子内，每个盒子不必非空；(4)任取 5 个球，写上 1-5 编号，再放入盒内，使每个盒子都至少有一个球；(5)任取 10 个球，写上 1-10 编号，奇数编号的球放入奇数编号的盒子，偶数编号的球放入偶数编号的盒子解析：(2)先将 2、3、4 号盒子分别放入 1、2、3 个球，剩下的 9 个球用挡板法，C38=56完美 WORD 格式(3)借来 4 个球，转化为19 个球放入盒子内，每个盒子非空，C318 816(4)不能用“挡板法”，因为元素有差别.(法 1)必有一个盒子有 2 个球，C2A454 240；(法 2)先选 3 个球，分别排到 4 个盒子中的 3 个里，剩下的盒子自然放 2 个球.C3A354 240；(法 3)A45C14 480，会重！需要除会重！需要除 2 2！重复原因：1 号盒子放 1、5 号球，先放 1 后放 5 与先放 5、后放 1 是一样的！(5)(法 1)每个球都有 2 种选择，共有210种方法；(法 2)奇数号的球有 1、3、5、7、9，共 5 个，可以在 1、3 号两个盒子中选一个放入，共有：C55C4C3C210555C5C5 25种放法，同理放偶数号的球也有25种方法，综上共有210种方法.同类题一同类题一题面：某车队有 7 辆车，现要调出 4 辆按一定顺序出去执行任务要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有_种不同的调度方法(填数字)答案：120.详解：先从除甲、乙外的 5 辆车任选 2 辆有 C25种选法，连同甲、乙共4 辆车，排列在一起，先从4 个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C24种，最后，安排其他两辆车共有 A22种方法，故不同的调度方法为C25C24A22120 种专业整理分享同类题二同类题二题面：我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架舰载机准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有（）A12B18C24答案：C.详解：分三步:把甲、乙捆绑为一个元素A,有A22种方法;A与戊机形成三个“空”,把丙、丁两机插入空中有A23种方法;考虑A与戊机的排法有A22种方法.由乘法原理可知共有A2222A3A2 24种不同的着舰方法.故应选 C5.题 5(相同与不同，三星)题面：某同学有同样的画册2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有()A4 种B10 种C18 种D20 种同类题一同类题一题面：(2013北京高考)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给 4 人，每人至少1 张，如果分给同一人的2 张参观券连号，那么不同的分法种数是_答案：96.详解：按照要求要把序号分别为1,2,3,4,5 的 5 张参观券分成 4 组，然后再分配给4 人，连号的情况是 1 和 2,2和 3,3 和 4,4 和 5，故其方法数是 4A4496.完美 WORD 格式同类题二同类题二题面：题面：从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不组队方案共有（）站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排A.70 种B.80 种C.100 种法的种数是（）D.140 种A.360B.288C.216答案：A.D.96答案：288 种.详解：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题，先从 3 个女生中选两位，有C23种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有A22种方法；这样选出两名女生后，再考虑男生的问题，先把三个男生任意排列，有A23中不同的排法，然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插入 4 个位置中。有A24种不同的排法，共有A22C23A33A24种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。甲可能站左端，也可能是右端，有C12种不同的方法，然后其他两个男生排列有A22种排法，最后把女生在剩余的三个位置中排列，有A23种不同的排法。共A2C2C1A2A223223种不同的排法，故总的排法为A2122C23A33A24A22C23C22A2A3=288 种不同的方法。.题 6(组合数的性质，二星)题面：5 个男生 3 个女生，分别满足下列条件，各有多少种方法？(1)选出 3 人参加A活动；(2)选出 5 人参加B活动；(3)选出 4 人参加一项活动，女生甲必须参加；(4)选出 4 人参加一项活动，女生甲不能参加.答案：同类题一同类题一专业整理分享详解：分为 2 男 1 女，和 1 男 2 女两大类，共有C21125C4C5C4=70 种同类题二同类题二题面：男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各1 人.选派 5 人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员 3 名，女运动员 2 名；（2）至少有 1 名女运动员；（3）队长中至少有 1 人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.答案：（1）120 种（2）246 种.详解：（1）第一步：选 3 名男运动员，有 C36种选法.第二步：选 2 名女运动员，有 C24种选法.共有 C36C24=120 种选法.（2）至少 1 名女运动员包括以下几种情况：1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男.由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46+C24C36+C34C26+C44C16=246 种.题 7(选和排，二星)题面：从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人，分别从事三项不同的工作，若这3 人中有且只有 1 名女生，则选派方案共有多少种？法一：先选后排，C1233C4A3完美 WORD 格式法二：边选边排，(C1123A3)A4同类题一同类题一题面：将 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有()A12 种B24 种C36 种D48 种答案：C.详解：先分组再排列：将 4 名教师分成 3 组有 C24种分法，再将这三组分配到三所学校有A33种分法，由分步乘法计数原理，知一共有 C24A3336 种不同分配方案同类题二同类题二题面：甲、乙、丙3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是()A258B306C336D296答案：C.详解：根据题意，每级台阶最多站2 人，所以，分两类：第一类，有 2 人站在同一级台阶，共有C23A27种不同的站法；第二类，一级台阶站1 人，共有 A37种不同的站法 根据分类加法计数原理，得共有C23A27A37336(种)不同的站法3题一(合理分类，二星)题面：若从 1，2，3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60 种B63 种C65 种D66 种同类题一同类题一题面：专业整理分享只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A6 个B9 个C18 个D36 个答案：C.详解：注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C133(种)选法，即 1231,1232,1233，而每种选择有 A22C236(种)排法，所以共有 3618(种)情况，即这样的四位数有18 个同类题二同类题二题面：由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是()A72B96C108D144答案：C.详解：分两类：若 1 与 3 相邻，有 A22C13A22A2372(个)，若 1与 3 不相邻有 A33A3336(个)故共有 7236108 个题 8题面：5 个男生 3 个女生，分别满足下列条件，各有多少种方法？(1)选出 4 人参加一项活动，女生甲必须参加；(2)选 3 人参加数学竞赛，至少有一名男生.(法 1)分类：1 名、2 名、3 名男生：完美 WORD 格式C12C2135C35C3C5 55；(法 2)间接法C338C3 C381 55.(法 3)1先取 1 名男生；2再在剩下的 7 人中取 3 人；C125C7 5762105？同类题一同类题一题面：将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为A.18B.24C.30D.36答案：C.详解：用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C2334，顺序有A3种，而甲乙被分在同一个班的有A3种，所以种数是C24A333 A3 30同类题二同类题二题面：甲、乙两人从4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有（）A.6B.12C.30D.36答案：C.详解：可以先让甲、乙任意选择两门，有C2C244种选择方法，然后再把两个人全不相同的情况去掉，两个人全不相同，可以让甲选两门有C24种选法，然后乙从剩余的两门选，有C2222种不同的选法，全不相同的选法是C4C2种方法，所以至少有一门不相同的选法为C22224C4C4C2=30 种不同的选法。专业整理分享题 9(组合数性质，三星)某班分成五个小组，分别有5,6,7,8,9 名同学，现从该班挑选 2 名同学参加比赛，且这两名同学必须来自同一小组，共有多少种不同的方案？同类题一同类题一题面：将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（）A.18B.24C.30D.30答案：C.详解：将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有C24种不同的分法，然后三组进行全排列共A33种不同的方法；然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉，共A33种不同的排法。所以总的排法为C2334A3 A3=30 种不同的排法。同类题二同类题二题面：将 5 名实习教师分配到高一年级的3 个班实习，每班至少 1 名，最多 2 名，则不同的分配方案有（A）30 种（B）90 种（C）180 种（D）270 种答案：B.详解：将 5 名实习教师分配到高一年级的3 个班实习，每班至少 1 名，最多 2 名，则将 5 名教师分成三组，一组 1 人，另两组都是 2 人，有C1C254A215种方法，再将 3 组分2到 3 个班，共有15 A33 90种不同的分配方案，选B.完美 WORD格式题 10(组合的识别，四星)题面：(1)“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如 1458),则四位“渐升数”共有多少个？(2)5个男生 3 个女生排成一排，自左至右，男、女生分别都从高到矮排(任意两人身高不同)，有多少种不同排法？(法 1)8 个位置中选 5 个排男生，剩下3 个位置排女生，C538C8，注意：男生位置选定以后，女生顺序一定，只对应一种排法.(法 2除序)A885A53C8.5A3(3)3,3,3,4,4,5,5,5,5能组多少个不同的九位数？多重排列除序C3249C6C9!43!2!4!答案：150同类题一同类题一题面：形如 45132 的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由 1,2,3,4,5 可构成不重复的五位“波浪数”的个数为_答案：16.详解：由题意可得，十位和千位只能是 4,5或者 3,5.若十位和千位排 4,5，则其他位置任意排1,2,3，则这样的数有 A22A3312(个)；若十位和千位排 5,3，这时 4 只能排在 5 的一边且不能和其他数字相邻，1,2在其余位置上任意排列，则这样的数有专业整理分享A22A224(个)，综上，共有 16 个同类题二同类题二题面：4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？（3）恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？答案：（1）144 种.（2）144 种.（3）6 种.详解：（1）为保证“恰有 1 个盒不放球”，先从 4 个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3 个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4 个球分成 2，1，1 的三组，然后再从3 个盒子中选 1 个放2 个球，其余 2 个球放在另外 2 个盒子内，由分步乘法计数原理，共有 C14C24C13A22=144 种.（2）“恰有 1 个盒内有 2 个球”，即另外 3 个盒子放 2 个球，每个盒子至多放1 个球，也即另外3 个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.（3）确定 2 个空盒有 C24种方法.