1、《直线方程》补充材料——“到角”公式,“夹角”公式,直线对称、翻折问题
一、“到角”公式,“夹角”公式及其应用、
①“到角”得概念:围绕得交点按逆时针方向转动,第一次与重合时扫过得最小正角,称作到得角。得范围:(“到角”只研究两直线相交得情况,且)
②到角公式:
x
设得斜率分别就是,到得角,则
③与得夹角:规定形成角中不大于得角叫两条直线得夹角。①与相交不垂直时得解锐角,;与相交垂直时:;所以得范围:;
夹角公式:
④“到角”公式,“夹角”公式使用范围:均不等于不适于使用公式得情形,常用数形结合解决。 如求与得夹角
⑤若告诉两相交直线方程为一般式即其中求与夹角可
2、以利用方向向量或法向量得刻画两条直线得夹角.
得方向向量为 ,得方向向量为 ,与得夹角为,
方向向量
得方向向量为 ,得方向向量为 ,与夹角为,
例1 已知三角形三点得坐标分别为,求角平分线得直线方程、
例2 等腰三角形一腰所在直线:,底边所在直线:,点在另一腰上,求这腰所在直线得方程、
例3 求直线关于直线对称得直线方程、
例4 直线过点且被两条平行直线与所截得得线段长为9,求直线得方程、
二、直线上两点得距离公式、
已知直线上有两点,那么
即
即
例5 已知直线与曲线有交点吗,若有交点,交点距离得取值范围就是多少？
三、点关于点得对称问题
方法:解
3、决点关于点得对称问题,我们借助中点坐标公式进行求解、 另外此题有可以利用中点得性质,以及三点共线得性质去列方程来求解、 点关于点得对称问题,就是对称问题中最基础最重要得一类,其余几类对称问题均可以化归为点关于点得对称进行求解、
例6 求点关于点对称得点得坐标、
四、点关于直线得对称问题
方法:点关于直线得对称问题就是点关于点得对称问题得延伸,处理这类问题主要抓住两个方面:①两点连线与已知直线斜率乘积等于,②两点得中点在已知直线上、
例7 求点关于直线得对称点得坐标、
五、直线关于某点对称得问题
方法一:利用所求得对称直线肯定与已知直线平行,再由点(对称中心)到此两直线距离相等,
4、而求出常数项、
方法二:转化为点关于点对称问题,利用中点坐标公式,求出对称点坐标,再利用直线系方程,写出直线方程、 本题两种解法都体现了直线系方程得优越性、
直线关于点得对称问题,可转化为直线上得点关于某点对称得问题,这里需要注意到得就是两对称直线就是平行得、 我们往往利用平行直线系去求解、,使问题解决、
例8 求直线关于点对称得直线方程、
六、直线关于直线得对称问题
方法:直线关于直线对称问题,包含有两种情形:①两直线平行,②两直线相交、
对于①,我们可转化为点关于直线得对称问题去求解或利用平行直线间得距离公式求解;
对于②,其一般解法为先求交点,再用“到角”公式求出斜率,
5、或就是转化为点关于直线对称问题、
例9 求直线关于直线对称得直线得方程、
例10 试求直线关于直线对称得直线得方程、
直线对称特殊情况方法提炼:
(1)一般得,求与直线关于对称得直线方程,先写成得形式,再写成形式,即就是所求值、
(2)一般得,求与直线关于对称得直线方程,先写成得形式,再写成形式,化简后即就是得求值、
(3)一般得,求与直线关于原点对称得直线方程,只需把换成,把换成,化简后即为所求,即、
(4)一般地直(曲)线关于直线得对称直(曲)线为即把中得换成换成即可、
(5)一般地直(曲)线关于直线得对称直(曲)线为、 即把中得换成换成、
注:１、直线得平移参照高一上函数图象得平移方法、(左右平移满足对“一个”:“左加右减”,
上下平移满足“一个”:“上减下加”,还需注意加减得方向,位置)
2、求直线方程可以沿用前面求函数解析式时得“参数法”,“相关点法或转移点法”求动点轨迹、
３、直线得翻折参照直线关于直线对称、
４、直线得旋转主要应用到角公式及夹角公式算出旋转后直线得斜率,再找个点即求解、
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