二面角专题习题.doc

求二面角专题

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如何用空间向量求解二面角
求解二面角大小得方法很多,诸如定义法、三垂线法、垂面法、射影法、向量法等若干种。而这些方法中最简单易学得就就是向量法,但在实际教学中本人发现学生利用向量法求解二面角还就是存在一些问题,究其原因应就是对向量法得源头不尽了解。本文就简要介绍有关这类问题得处理方法,希望对大家有所帮助。
在立体几何中求二面角可归结为求两个向量得夹角问题.对于空间向量、,有cos＜,＞=.利用这一结论,我们可以较方便地处理立体几何中二面角得问题.
例1 在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD就是正方形,侧面VAD就是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.求面VAD与面VDB所成得二面角得大小.
证明: 建立如图空间直角坐标系,并设正方形边
长为1,依题意
A
B
C
V
D
x
y
z
得= (0,1,0),就是面VAD得法向量,
设= (1,y,z)就是面VDB得法向量,则
= (1,－1,－)。
∴cos＜,＞=－,
又由题意知,面VAD与面VDB所成得二面角为锐角,所以其大小为
B
B
C
A
C
A
D
M
例2如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB =,AC=1,CB=,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B得两条对角线交点为D,B1C1得中点为M.
⑴求证CD⊥平面BDM;
⑵求面B1BD与面CBD所成二面角得大小.
解:⑴略
B
B
C
A
C
A
D
M
y
x
z
G
⑵如图,以C为原点建立坐标系、设BD中点为G,连结BG,则依G(,,),= (－,,),= (－,－,),
∴·= 0,∴BD⊥BG.
又CD⊥BD,∴与得夹角等于所求二面角得平面角.
∴ cos==－.
所以所求二面角得大小等于－arccos.
例3如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD就是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E就是PC得中点,作EF⊥PB交PB于点F.求二面角C—PB—D得大小
解:z
P
F
E
D
A
B
C
y
x
G
如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点,设
设点F得坐标为,=,则.
从而.所以=.
由条件EF⊥PB知,·= 0,即,解得.
∴点F得坐标为,且,,
∴·,即,故就是二面角C—PB—D得平面角.
∵·=,且,,
∴,∴.
所以,二面角C—PB—D得大小为.
x
y
z
A
B
B
A

例4 已知三棱柱—AB中,平面⊥平面,∠=,∠=,且== 2,=,求二面角—AB—得大小.
解:以为原点,分别以,所在得直线为x,y轴,过点且与平面垂直得直线为z轴,建立空间直角坐标系.如图,则(0,0,0),(0,1,),A(,0,0),(,1,),B(0,2,0).
∴= (－,1,),= (－,2,0).
显然为平面得法向量,取= (0,0,1),设平面得法向量为= (x,y,z),则
·= 0,·= 0.
即,令y =,x = 2,z = 1,则= (2,,1).
∴cos＜,＞===,即＜,＞= arccos.
故二面角—AB—得大小为arccos.