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勾股定理培优题勾股定理一、知识要点1、勾股定理勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，蕴含着丰富的文化价值，勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理” .b1ZXExQ。wvT5AuR。勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a、b、c，其中c为斜边）的三边关系，即a2+b2=c2，它的变形式为c2-a2=b2或c2-b2=a2.lWg8IbB。mglnQ1W。勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用，它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算，是一种重要的数学方法.YxxQtZp。dccgL4M。2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形.勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的，实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的，这是里体现了数学中的重要思想数形结合思想，突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边的关系来判断直角的新方法，它将数形之间的联系体现得淋漓尽致.因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”.Tgnx252。aVy8qbd。二、基本知识过关测试1.如果直角三角形的两边为3，4，则第三边a的值是 .2.如图，图形A是以直角三角形直角边a为直径的半圆，阴影SA= .3.如图，有一个圆柱的高等于12cm，底面半径3cm，一只蚂蚁要从下底面上B点处爬至上底与B点相对的A点处，所需爬行的最短路程是 .m7Lk3z2。C0jewRr。4.如图.在 ABC中，CDAB于D，AB=5，CD=，BCD=30 ，则AC= .gnk753m。vRHL8cs。5.作长为 ， ， 的线段.6.在下列各组数中 5，12，13 ；7，24，25；32，42，52；3a，4a，5a；a2+1，a2-1，2a(a1)；m2-n2，2mn，m2+n2(mn0)可作直角三角形三边长的有 组.YHg1k9L。vzvCVax。7.如图，四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，ABBC，则四边形ABCD的面积是 . g6TP8o5。BIe1qF3。第2题图 第3题图 第4题图 第7题图l1eCOTw。CFv82Bu。8.如图，在正方形ABCD中，F为DC中点，E为BC上一点，且EC=BC，试判断 AEF的形状.三、综合.提高.创新【例1】（1）在三角形纸片ABC中，C=90，A=30，AC=3，折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E（如图），折痕DE的长是多少？maj6MHN。hC2hW7q。（2）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，按如图所示折叠，使点D落在BC上的点E处，求折痕AF的长.u5Z7uEN。Ln774BR。（3）如图，正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别记作S和T，求S2-T2的值.s0chM30。6GvOrjx。【练】如图，四边形ABCD是长方形，把ACD沿AC折叠到ACD，AD与BC交于E，若AD=4，DC=3，求BE.v7ArnO2。kNwZg3a。【例2】（1）如图，ABC中，C=60，AB=70，AC=30，求BC的长.（2）如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，A=60， B=D=90，求四边形ABCD的面积.PqskjO8。rUICTx4。【练】如图，ABC中，A=150，AB=2，BC=，求AC的长.【例3】（1）如图，ABC中，AB=AC=20，BC=32，D为BC上一点，ADAB，求CD.（2）如图，在Rt ABC中，C=90，D、E分别是BC、AC中点，AD=5，BE=，求AB.【例4】如图，ABC中，ACB=90，CDAB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，求证：MU7tJY6。KU2ZyII。（1）；（2）a+bc+h；（3）以a+b，h和c+h为边的三角形是直角三角形.【例5】（1）如图，ABCD为矩形，P为矩形ABCD所在平面上一点，求证：PA2-PB2=PD2 -PC2.Ll0S8bX。intEUfN。（2）锐角ABC中，ADBC于D，若B=2C，求证：AC 2=AB 2+ABBC.变式：如图，AM是ABC的BC边上的中线，求证：AB 2+AC 2=2(AM 2+BM 2).（3）如图，ABC中，AB=AC，P为线段BC上一动点，试猜想AB 2，AP2， PB，PC 有何关系，并加以证明.CkmZVtT。LnqQC1u。变式：若点P在BC的延长线上，如图，（3）中结论是否仍然成立？并证明.（4）在等腰RtABC的斜边AB所在的直线上取点P并设s =AP2+BP2，试探求P点位置变化时，s与2CP2的大小关系，并证明.1DOk9Jc。LSrnMwg。变式：若点P在BA的延长线上，如图中，（4）中结论是否仍然成立？并证明.【例6】（1）如图，ABC中，D为BC边上的中点，以D为顶点作EDF=90，DE、DF分别交AB、AC于E、F，且BE2+FC2=EF2，求证：BAC=90.Ua0dYv4。a4fHCEh。（2）在RtABC中，BAC=90，AB=AC，E，F分别是BC上两点，若EAF=45，试推断BE，CF，EF之间的关系，并证明.66akFTm。JGUslq9。变式一:将（2）中AEF旋转至如图所示，上述结论是否仍然成立？试证明.变式二：如图，AEF中EAF=45，AGEF于G，且GF=2，GE=3，求SAEF.【例7】（1）在ABC中，ACB=90，AC=BC，P为ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求BPC的度数.0PE1QyZ。iUzahgH。（2）如图，在四边形ABCD中，ABC=30，ADC=60，AD=CD，求证BD2=AB2+BC2.LGeBDOP。HpwxOR6。【例8】在等腰ABC中，AB=AC，边AB绕点A逆时针旋转角度m，得到线段AD.（1）如图1，若BAC=30，30m80，连接BD，请用含m的式子表示DBC;（2）如图2，若BAC=90，0m360，射线AD与直线BC相交于点E，是否存在旋转角度m，使，若存在，求出所有符合条件的m的值；若不存在，请说明理由.hLWf4x1。MwmcqwP。【例9】（1）已知点P在一、三象限的角平分线上，且点P到点A（3，6）的距离为PA=15，求点P的坐标；L6t9WLP。kLyNzhu。（2）已知直角坐标平面内的ABC三个顶点的坐标分别为A（-1，4），B（-4，-2），C（2，-2），试判断ABC的形状；dFyJbfD。nK24St9。（3）求代数式的最小值；（4）已知a0，b0，求以，为三边长的三角形的面积.自我归纳： 四、课后练习1.如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔M的距离是多少？umNuozA。ruNnzUh。2.在ABC中，A=30，B=45，BC=10cm，求AB，AC及ABC的面积.3.（1）如图，把长方形沿ABCD对角线折叠，重合部分为EBD.1）求证和：EBD为等腰三角形；2）若AB=2，BC=8，求AE.（2）如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上，已知AB=8cm，CE=4cm，求AD.vaFiY2F。Leu7CIw。4如图，ABC是等腰三角形，BAC=90，AB=AC，D.E.是BC上的两点，且DAE=45，若BD=6，EC=8，求DE的长.oZADe1s。uT7lckw。5如图，在等腰三角形中，AB=AC，D是斜边BC的中点，E 、F分别为AB，AC边上的点，且DEDF.Pwwpf44。M4yQGD7。（1）求证：BE2+CF2=EF2；（2）若BE=12，CF=5，试求DEF的面积.6如图，等腰RtABC中，A=90，P为ABC内一点，PA=1，PB=3，PC= ，求CPA.9W5W1y9。HxfOQYy。7（1）如图1，已知点P是矩形ABCD内一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD2.（2）如果点P移动到矩形的一边或顶点时，如图2，（1）中结论仍成立；如果点P移动到矩形ABCD的外部时，如图3，（1）中结论仍成立.请在以上两个结论中任选一个并给出证明.79fFYRT。TD8qpTA。归纳结论：8如图，ABC中，AD是BC边的中点，AE是BC边上的高，求证：AB2-AC2=2BCDE.9求代数式的最小值.10试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n0）的三角形是否为直角三角形？l7FFydk。SaOlnXy。11已知a，b，x，y都为正数，求证： .12如图，RtABC的两直角边AB=4，AC=3，ABC内有一点P，PDBC于D，PEAC于E，PFAB于F，且+=12，求PD、PE、PF的长.Evgiazv。D1dgzu4。