与圆有关的动点问题.doc

与圆有关得动点问题
1、如图，⊙O得直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O得切线DC，P点为优弧CBA上一动点（不与A．C重合）．
（1）求∠APC与∠ACD得度数；
（2）当点P移动到CB弧得中点时，求证：四边形OBPC就是菱形．
（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．

2、如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝60º，以点D为圆心得⊙D与边AB相切于点E．
(1)求证：⊙D与边BC也相切；
(2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分得面积(结果保留)；
(3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝ S△MDF时，求动点M经过得弧长(结果保留)．

3、半径为2cm得与⊙O边长为2cm得正方形ABCD在水平直线l得同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．
（1）过点B作得一条切线BE，E为切点．
①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA得度数就是 30°
；
②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA得长；
（2）以正方形ABCD得边AD与OF重合得位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别就是边BC，AD与⊙O得公共点，求扇形MON得面积得范围．

4、如图，Rt△ABC得内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．
（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径得长；
（2）设PH=x，PC=y，求y关于x得函数关系式；
（3）当PH与⊙O相切时，求相应得y值．

5、如图1，正方形ABCD得边长为2，点M就是BC得中点，P就是线段MC上得一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O得切线，交AD于点F，切点为E．
（1）求证：OF∥BE；
（2）设BP=x，AF=y，求y关于x得函数解析式，并写出自变量x得取值范围；
（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问就是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x与y得值；如果不存在，请说明理由．

6、如图，⊙O得半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M就是直线CD上异于点C、O、D得一个动点，AM所在得直线交于⊙O于点N，点P就是直线CD上另一点，且PM=PN．
（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O得关系，并写出证明过程；
（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）得结论就是否还成立？请说明理由；
（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分得面积．

答案：
1、解：（1）连接AC，如图所示：
∵AB=4，∴OA=OB=OC=AB=2。
又∵AC=2，∴AC=OA=OC。∴△ACO为等边三角形。
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，
∴∠APC=∠AOC=30°。
又DC与圆O相切于点C，∴OC⊥DC。∴∠DCO=90°。
∴∠ACD=∠DCO﹣∠ACO=90°﹣60°=30°。
（2）连接PB，OP，
∵AB为直径，∠AOC=60°，∴∠COB=120°。
当点P移动到弧CB得中点时，∠COP=∠POB=60°。
∴△COP与△BOP都为等边三角形。∴AC=CP=OA=OP。
∴四边形AOPC为菱形。
（3）当点P与B重合时，△ABC与△APC重合，显然△ABC≌△APC。
当点P继续运动到CP经过圆心时，△ABC≌△CPA，理由为：
∵CP与AB都为圆O得直径，∴∠CAP=∠ACB=90°。
在Rt△ABC与Rt△CPA中，AB=CP，AC=AC
∴Rt△ABC≌Rt△CPA（HL）。
综上所述，当点P与B重合时与点P运动到CP经过圆心时，△ABC≌△CPA。
2、解：（1）证明：连接DE，过点D作DN⊥BC，垂足为点N。
∵四边形ABCD就是菱形，∴BD平分∠ABC。
∵⊙D与边AB相切于点E，∴DE⊥AB。∴DN=DE。
∴⊙D与边BC也相切。
（2）∵四边形ABCD就是菱形，AB＝2，∴AD＝AB＝2。
又∵∠A＝60º，∴DE＝ADsin600＝3，即⊙D得半径就是3。
又∵∠HDF＝∠HADC＝60º，DH＝DF，∴△HDF就是等边三角形。
过点H作HG⊥DF，垂足为点G，则HG＝3sin600＝。
∴。
∴。
（3）假设点M运动到点M1时，满足S△HDF＝S△MDF，过点M1作M1P⊥DF，垂足为点P，则，解得。
∴。∴∠M1DF＝30º。
此时动点M经过得弧长为：。
过点M1作M1M2∥DF交⊙D于点M2，
则满足，
此时∠M2DF＝150º，动点M经过得弧长为：。
3．解：（1）①∵半径为2cm得与⊙O边长为2cm得正方形ABCD在水平直线l得同侧，当点A在⊙O上时，过点B作得一条切线BE，E为切点，
∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，
∴∠EBA得度数就是：30°；

②如图2，
∵直线l与⊙O相切于点F，
∴∠OFD=90°，
∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，
∴OF∥AD，
∵OF=AD=2，
∴四边形OFDA为平行四边形，
∵∠OFD=90°，
∴平行四边形OFDA为矩形，
∴DA⊥AO，
∵正方形ABCD中，DA⊥AB，
∴OA，B三点在同一条直线上；
∴EA⊥OB，
∵∠OEB=∠AOE，
∴△EOA∽△BOE，
∴，
∴OE2=OA•OB，
∴OA（2+OA）=4，
解得：OA=-1±，
∵OA＞0，∴OA=-1；
方法二：
在Rt△OAE中，cos∠EOA=，
在Rt△EOB中，cos∠EOB=，
∴，
解得：OA=-1±，
∵OA＞0，∴OA=-1；
方法三：
∵OE⊥EB，EA⊥OB，
∴由射影定理，得OE2=OA•OB，
∴OA（2+OA）=4，
解得：OA=-1±，
∵OA＞0，
∴OA=-1；

（2）如图3，设∠MON=n°，S扇形MON=×22=ncm2），
S随n得增大而增大，∠MON取最大值时，S扇形MON最大，
当∠MON取最小值时，S扇形MON最小，
如图，过O点作OK⊥MN于K，

∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，
在Rt△ONK中，sin∠NOK=，
∴∠NOK随NK得增大而增大，∴∠MON随MN得增大而增大，
∴当MN最大时∠MON最大，当MN最小时∠MON最小，
①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MN=BD，
∠MON=∠BOD=90°，S扇形MON最大=π（cm2），
②当MN=DC=2时，MN最小，
∴ON=MN=OM，
∴∠NOM=60°，
S扇形MON最小=π（cm2），
∴π≤S扇形MON≤π．

4、（1）连接AO、DO．设⊙O得半径为r．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC==4，则⊙O得半径r=（AC+BC﹣AB）=（4+3﹣5）=1；
∵CE、CF就是⊙O得切线，∠ACB=90°，
∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE，
∴四边形CEOF就是正方形，
∴CF=OF=1；
又∵AD、AF就是⊙O得切线，
∴AF=AD；
∴AF=AC﹣CF=AC﹣OF=4﹣1=3，即AD=3；

（2）在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，
∵∠C=90°，PH⊥AB，
∴∠C=∠PHA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AHP∽△ACB，
∴==，
即=，∴y=﹣x+4，即y与x得函数关系式就是y=﹣x+4；
（3）如图，P′H′与⊙O相切．
∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD，
∴四边形OMH′D就是正方形，
∴MH′=OM=1；
由（1）知，四边形CFOE就是正方形，
CF=OF=1，
∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；
又由（2）知，y=﹣x+4，
∴y=﹣y+4，解得，y=．

5、（1）证明：连接OE
FE、FA就是⊙O得两条切线
∴∠FAO=∠FEO=90°
在Rt△OAF与Rt△OEF中，

∴Rt△FAO≌Rt△FEO（HL），
∴∠AOF=∠EOF=∠AOE，
∴∠AOF=∠ABE，
∴OF∥BE，
（2）解：过F作FQ⊥BC于Q
∴PQ=BP﹣BQ=x﹣y
PF=EF+EP=FA+BP=x+y
∵在Rt△PFQ中
∴FQ2+QP2=PF2
∴22+（x﹣y）2=（x+y）2
化简得：，（1＜x＜2）；
（3）存在这样得P点，
理由：∵∠EOF=∠AOF，
∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，
当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，
即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，
此时Rt△AFO中，
y=AF=OA•tan30°=，
∴
∴当时，△EFO∽△EHG．
6、（1）PN与⊙O相切．
证明：连接ON，
则∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．
∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO．
∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°．
即PN与⊙O相切．
（2）成立．
证明：连接ON，
则∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．
在Rt△AOM中，
∴∠OMA+∠OAM=90°，
∴∠PNM+∠ONA=90°．
∴∠PNO=180°﹣90°=90°．
即PN与⊙O相切．
（3）解：连接ON，由（2）可知∠ONP=90°．
∵∠AMO=15°，PM=PN，∴∠PNM=15°，∠OPN=30°，
∵∠PON=60°，∠AON=30°．
作NE⊥OD，垂足为点E，
则NE=ON•sin60°=1×=．
S阴影=S△AOC+S扇形AON﹣S△CON=OC•OA+CO•NE
=×1×1+π﹣×1×
=+π﹣．