大学物理05刚体的转动.pptx

理解描述刚体定轴转动的基本物理量的定义和性质；理解描述刚体定轴转动的基本物理量的定义和性质；理解力矩、转动动能和转动惯量的物理意义；理解力矩、转动动能和转动惯量的物理意义；掌握定轴转动的转动定律和角动量定理；掌握定轴转动的转动定律和角动量定理；掌握定轴转动的机械能守恒定律和角动量守恒定律。掌握定轴转动的机械能守恒定律和角动量守恒定律。教学要求教学要求5-1 5-1 刚体的平动、转动和定轴转动刚体的平动、转动和定轴转动 一、刚体（理想模型）一、刚体（理想模型）刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持彼止平刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持彼止平行的运动，叫做平动。如车刀、活塞等。因为在平动时行的运动，叫做平动。如车刀、活塞等。因为在平动时刚刚体上所有点的运动轨迹都相同，各时刻各个质点的位移、体上所有点的运动轨迹都相同，各时刻各个质点的位移、速度、加速度都相同，所以可当作质点来处理。速度、加速度都相同，所以可当作质点来处理。二、平动和转动（刚体的二种基本运动形态）二、平动和转动（刚体的二种基本运动形态）1 1、平动、平动 在任何外力作用下，形状大小均不发生改变的物体在任何外力作用下，形状大小均不发生改变的物体称为称为刚体。或者说运动中物体上任二点的间距不变。刚体。或者说运动中物体上任二点的间距不变。说明：说明：1.理想模型；理想模型；2.在外力作用下，任意两点间均不发生相对位移；在外力作用下，任意两点间均不发生相对位移；3.内力无穷大的特殊质点系。内力无穷大的特殊质点系。下面再看一个平动演示。下面再看一个平动演示。平 动 如果刚体上的任意一条直线的方位在运动中变了，如果刚体上的任意一条直线的方位在运动中变了，则称刚体作转动。转动的轴线可变也可不变，若轴则称刚体作转动。转动的轴线可变也可不变，若轴线固定不动，则称定轴转动。作定轴转动的刚体上线固定不动，则称定轴转动。作定轴转动的刚体上的各点，在运动中都绕同一转轴作不同半径的圆周的各点，在运动中都绕同一转轴作不同半径的圆周运动。而且，刚体上各点在相同时间内转过相同的运动。而且，刚体上各点在相同时间内转过相同的角度。角度。2 2、转动、转动 刚体的一般运动刚体的一般运动可视为平动和转动可视为平动和转动的合成运动。的合成运动。如如滚动滚动轴心的平动轴心的平动+绕轴心的转动绕轴心的转动抛体抛体质心的抛物线运动质心的抛物线运动+绕质心的转动绕质心的转动进动进动绕转轴转动绕转轴转动+转轴绕定轴的转动转轴绕定轴的转动描述刚体定轴转动的物理量描述刚体定轴转动的物理量1.角位置，角位移角位置，角位移yx0P(t)P(t+dt)d运动方程运动方程：角位置角位置 ：位矢与：位矢与 ox 轴夹角。轴夹角。角位移角位移 d ：dt 时间内角位置增量。时间内角位置增量。1 1、刚体上各质点的角位移，角速、刚体上各质点的角位移，角速度和角加速度均相同；度和角加速度均相同；2 2、各质点都在垂直转轴的平面内、各质点都在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动。圆心在转运动，且作圆周运动。圆心在转轴上。轴上。三、定轴转动三、定轴转动 刚体的定轴转动特点刚体的定轴转动特点：3.线量与角量的关系线量与角量的关系yx0 方向垂直方向垂直 和和 组成的平面组成的平面2.角速度和角加速度角速度和角加速度定轴转动只有两个转动方向。定轴转动只有两个转动方向。规定：规定：位矢从位矢从o x 轴逆时针方向转动时角位置轴逆时针方向转动时角位置 为正，为正，反之，为负。反之，为负。若若 是定值，刚体的运动称为：是定值，刚体的运动称为：若若 是定值，刚体的运动称作是定值，刚体的运动称作：匀角速转动匀角速转动匀变速转动（或匀加速转动匀变速转动（或匀加速转动)刚体的定轴转动的公式与一维直线运动的公式相似：刚体的定轴转动的公式与一维直线运动的公式相似：为恒矢为恒矢 为恒值为恒值 例例 1 1、一一 飞飞 轮轮 作作 减减 速速 运运 动动，其其 角角 加加 速速 度度 与与 角角 速速 度度 关关 系系 为为 ，k k为为比比例例系系数数，设设初初始始角角速速度度为为 。求求：飞飞轮轮角角速速度度与与时时间间的的关关系系；当角速度由当角速度由 时，在此时间内飞轮转过的圈数。时，在此时间内飞轮转过的圈数。解：解：在此时间内车轮转过的圈数在此时间内车轮转过的圈数=一、力矩一、力矩 1 1、定义：、定义：转轴到力的作用点的矢径与作用力的叉积。转轴到力的作用点的矢径与作用力的叉积。力矩的表示式力矩的表示式：大小：大小：2 2、注意：、注意：合力矩合力矩 合力的力矩合力的力矩 合力矩合力矩=力矩的和力矩的和 (矢量和）矢量和）（对定轴转动而言为代数和）（对定轴转动而言为代数和）合力为零，合力矩不一定为零合力为零，合力矩不一定为零方向：方向：d力矩是矢量力矩是矢量F1F2 转轴（F1=F2）5-2 5-2 力矩、转动定律、转动惯量力矩、转动定律、转动惯量 合力矩为零，合力不一定为零合力矩为零，合力不一定为零力不在垂直于转轴的平面内，力不在垂直于转轴的平面内，只有只有 对转轴力矩有贡献。对转轴力矩有贡献。问：一对作用力与反作用力的力矩和等于多少？问：一对作用力与反作用力的力矩和等于多少？零零由此推知：质点组对任一轴的内力矩之和为零。由此推知：质点组对任一轴的内力矩之和为零。F1F2力矩力矩:合力合力:中心力（过转轴的力）的中心力（过转轴的力）的 力矩力矩0 0，如推门。，如推门。定点力矩：定点力矩：垂直垂直 和和 构成的平面。构成的平面。定轴力矩：定轴力矩：合力矩：合力矩：M 只有两个方向，可用正、负表示。只有两个方向，可用正、负表示。而且有：而且有：与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；与转轴平行的力对转轴不产生力矩；与转轴平行的力对转轴不产生力矩；刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。odP归结起来：归结起来：二、转动定律二、转动定律 力矩是改变转动状态的原因，是产生角加速度的原因。力矩是改变转动状态的原因，是产生角加速度的原因。转动物体也有保持原有转动状态不变的惯性，在一定力矩作转动物体也有保持原有转动状态不变的惯性，在一定力矩作用下，转动惯性大的物体获得的角加速度小，反之则大。所以，用下，转动惯性大的物体获得的角加速度小，反之则大。所以，物体的角加速度与力矩成正比，与转动惯性成反比。若用物体的角加速度与力矩成正比，与转动惯性成反比。若用J J 表表示转动惯性（示转动惯性（J J 称为转动惯量）则有：称为转动惯量）则有：在国际单位制中，在国际单位制中，k=1 则上式为则上式为 它说明了力矩的瞬时作用规律。什么时刻有力矩作用于物体，它说明了力矩的瞬时作用规律。什么时刻有力矩作用于物体，物体什么时刻就有角加速度。转动定律相当重要，其在转动中物体什么时刻就有角加速度。转动定律相当重要，其在转动中的地位就相当于平动中的牛顿第二定律。的地位就相当于平动中的牛顿第二定律。把刚体看作质元把刚体看作质元 的集合，对的集合，对 用牛顿第二定律用牛顿第二定律的切向式与法向式。的切向式与法向式。设一刚体绕定轴转动，某质元受内力和外力作用设一刚体绕定轴转动，某质元受内力和外力作用 转动定律可由牛顿第二定律推求转动定律可由牛顿第二定律推求：推导的基本思想：推导的基本思想：矢量式：矢量式：法向式：法向式：切向式：切向式：对整个刚体：对整个刚体：以以 遍乘切向式：遍乘切向式：刚体所受的合外力矩刚体所受的合外力矩 :（内力不改变动量）（内力不改变动量）定义定义：转动定律转动定律说明说明：（：（1）M,J,均对同一轴而言，且具有瞬时性均对同一轴而言，且具有瞬时性；（2）改变刚体转动状态的是力矩；）改变刚体转动状态的是力矩；（3）转动惯量是刚体转动惯性的度量。）转动惯量是刚体转动惯性的度量。-转动惯量转动惯量 牛顿第二定律与转动定律的对应关系牛顿第二定律与转动定律的对应关系物理量：质点物理量：质点 m m 刚体刚体 J JM规规 律：律：质点质点 牛顿第二定律牛顿第二定律 刚体刚体 转动定律转动定律 不一定不一定例：问：例：问：M M大，是否大，是否 大？大？式中各量是对于同一轴而言，且式中各量是对于同一轴而言，且 与与M M的符号（转向）的符号（转向）相同。相同。该定律不但对固定轴（转轴）成立，对质心轴也成立。该定律不但对固定轴（转轴）成立，对质心轴也成立。该定律是力矩的瞬时作用规律。该定律是力矩的瞬时作用规律。不一定不一定 大，是否大，是否M M大？大？对转动定律对转动定律 M M=J=J 应注意：应注意：（M M大，大，大，大，的变化大。的变化大。可为可为0 0）（大，并不代表它的变化大，有可能它的大，并不代表它的变化大，有可能它的M=0M=0，匀角速转动。），匀角速转动。）对分离的质点组：对分离的质点组：对质量连续分布的刚体对转轴的转动惯量：对质量连续分布的刚体对转轴的转动惯量：2 2、转动惯量的物理意义：、转动惯量的物理意义：J J是描述刚体转动惯性大小的量度。是描述刚体转动惯性大小的量度。(对比平动对比平动m m是物体平动惯性大小的量度）是物体平动惯性大小的量度）三、转动惯量三、转动惯量m1r1m2r2m3r3转轴转轴1、转动惯量的定义：、转动惯量的定义：对质点对质点：J=m r 2 其中其中 r 为到转轴的距离为到转轴的距离。与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关 与质量的分布有关与质量的分布有关 与转轴的位置有关与转轴的位置有关4 4、转动惯量、转动惯量J J的计算方法：的计算方法：（可将质量元变为线元、面元、（可将质量元变为线元、面元、体元积分求得）体元积分求得）3 3、J J与下列因素有关：与下列因素有关：例例1、有一均匀细杆，杆长为有一均匀细杆，杆长为 l，质量为，质量为m，c为杆的中点。设转为杆的中点。设转轴轴oo通过通过c点且与杆垂直，杆绕轴转动，求转动惯量点且与杆垂直，杆绕轴转动，求转动惯量Jc=？解：取解：取x轴方向如图，杆的线密度为轴方向如图，杆的线密度为 =m/l，取小质元，取小质元 d m=d x，则，则0 x00 xdxC若将转轴移到若将转轴移到A点，求点，求 JA=？仍有小质元仍有小质元dm=dx，（，（=m/l）平平行行轴轴定定理理：刚刚体体对对某某轴轴的的转转动动惯惯量量J J，等等于于刚刚体体对对通通过过质质心心的的平平行行轴轴的的转转动动惯惯量量 J Jc c ，加加上上刚刚体体质质量量 m m 乘乘以以两两平平行行轴轴之之间间的的距距离离d d的的平方。即：平方。即：dCB可见转轴不同，转动惯量是不同的。可见转轴不同，转动惯量是不同的。那么将转轴从那么将转轴从C点平行移到点平行移到A点转动惯量改变了多少？点转动惯量改变了多少？0 x0 xdxA0C移项得：移项得：JA=JC+m d 2 转动惯量的平行轴定理转动惯量的平行轴定理解：取解：取OXOX轴如图所示，则棍上任一轴如图所示，则棍上任一段元段元dxdx的质量，的质量，至转轴的距离至转轴的距离:X Xdxdxd dO Or rX XO例例2 2、质量为、质量为m m、长度为长度为L的均质细直棍的均质细直棍，对通过其中心，对通过其中心O O且与棍且与棍斜交成角的轴的转动惯量。斜交成角的轴的转动惯量。过棒一端过棒一端 O O、仍与棍斜交成角、仍与棍斜交成角 的轴的转动惯量的轴的转动惯量J J。转动惯量：转动惯量：讨论：讨论：当当 时，时，即为棍对于过它的中心且与即为棍对于过它的中心且与棍垂直的转轴的转动惯量。棍垂直的转轴的转动惯量。为棍对过棍一端、且与棍为棍对过棍一端、且与棍 垂直的轴的转动惯量。垂直的轴的转动惯量。由平行轴定理：由平行轴定理：例例3、求质量为求质量为m，半径为，半径为R的细圆环对过环心垂直于环面的的细圆环对过环心垂直于环面的转轴的转动惯量。转轴的转动惯量。解：圆环的线密度为解：圆环的线密度为:=m/2 R 环上取小质元环上取小质元:d m=dl=R d 则则:dld 例例4、求质量为、求质量为m，半径为，半径为R的薄圆盘对过圆心垂直于盘面的转的薄圆盘对过圆心垂直于盘面的转轴的转动惯量。轴的转动惯量。rdr解：圆盘的面密度为解：圆盘的面密度为:=m/R2取一半径为取一半径为 r，宽为，宽为dr 的圆环为质元的圆环为质元:dm=2 r dr 即圆盘对其中心轴的转动惯量为即圆盘对其中心轴的转动惯量为 J=mR2/2 。所以定滑轮所以定滑轮绕中心轴的转动惯量为绕中心轴的转动惯量为J=mR2/2，滑轮绕其过边缘一点的平行滑轮绕其过边缘一点的平行轴的转动惯量为轴的转动惯量为 J=mR2/2+mR2。（。（平行轴定理平行轴定理）转动惯量的计算只是对规则物体而言，对不规则的物体的转动惯量的计算只是对规则物体而言，对不规则的物体的转动惯量只能用实验的方法得出。转动惯量只能用实验的方法得出。例例5、如图所示，求大圆盘的实心部分对如图所示，求大圆盘的实心部分对O轴（垂直于盘面）的轴（垂直于盘面）的转动惯量。转动惯量。（已知（已知 R=2 r，大盘质量为，大盘质量为M，小盘质量为，小盘质量为m）解：由于转动惯量有可加性，所以先分别求解：由于转动惯量有可加性，所以先分别求出大盘和小盘对出大盘和小盘对O轴的转动惯量，再把小盘轴的转动惯量，再把小盘的除去即得大盘实心部分对的除去即得大盘实心部分对O轴的转动惯量。轴的转动惯量。大盘对大盘对O轴的转动惯量：轴的转动惯量：J1=M R 2/2 小盘对小盘对O轴的转动惯量：轴的转动惯量：J2=m r 2/2+m r 2=3m r 2/2所以实心部分对所以实心部分对O轴的转动惯量为：轴的转动惯量为：0RrMm例例6 6、一质量为一质量为M M、半径为、半径为R R的定滑轮上面绕有细绳，绳的一端固定的定滑轮上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮上（略去轮轴处的摩檫，绳不可伸长不计质量），另一端在滑轮上（略去轮轴处的摩檫，绳不可伸长不计质量），另一端挂有一质量为挂有一质量为m m 的物体而下垂。求物体的物体而下垂。求物体m m由静止下落由静止下落h h高度时的速高度时的速度和此时轮的角速度。度和此时轮的角速度。解：解：对象：对象：M M刚体刚体 m m 质点质点 受力分析：如图所示受力分析：如图所示依牛顿第二定律与转动定律列方程依牛顿第二定律与转动定律列方程h hT1T1mgmmM对物体有：对物体有：mg-T=m a 对滑轮有：对滑轮有：TR=J =M R2 /2 角量和线量的关系：角量和线量的关系：a=R 运动学关系：运动学关系：v2=v02+2ah=2ah 解方程得：解方程得：在该题中如果在滑轮上加一恒力矩，使物在该题中如果在滑轮上加一恒力矩，使物体以体以v0的速度匀速上升，撤去力矩后，问过多少的速度匀速上升，撤去力矩后，问过多少时间后滑轮开始反向运动？时间后滑轮开始反向运动？解：分析：撤去力矩后，滑轮和物体受力和解：分析：撤去力矩后，滑轮和物体受力和前面完全一样前面完全一样。因此对物体应用牛顿第二定律。因此对物体应用牛顿第二定律和对滑轮应用转动定律的形式完全一样。和对滑轮应用转动定律的形式完全一样。h hT1T1mgmmMv0 对物体有：对物体有：mg-T=m a 对滑轮有：对滑轮有：TR=J =M R2 /2 角量和线量的关系：角量和线量的关系：a=R 运动学关系：运动学关系：v=v0+at=0 由第由第1、2、3个方程可解得：个方程可解得：由第由第4个方程可解得：个方程可解得：h hT1T1mgmmMv0 看书看书123页例题页例题 5-4（讲解）（讲解）右图中，滑轮两边张力不相同右图中，滑轮两边张力不相同 ，两物体的加速度相同。，两物体的加速度相同。（绳不可伸长）（绳不可伸长）Mm m1 1m m2 2T T2 2T T1 1T T2 2T T1 1aam m1 1g gm m2 2g gMm m1 1m m2 2T T2 2T T1 1T T2 2T T1 1 aam m1 1g gm m2 2g gMT TT T 解：（解：（1 1）选细杆、刚体为研究对象）选细杆、刚体为研究对象受力与受力矩分析如图受力与受力矩分析如图由转动定律有方程：由转动定律有方程：（2 2）由于力矩）由于力矩M=mgM=mg（L/2L/2）coscos 属变力矩，故由属变力矩，故由 求角速度求角速度 时用积分法。时用积分法。得得L LrmgO O例例7 7、质质量量m m、长长为为L 的的均均质质细细杆杆，可可绕绕过过固固定定端端O O的的水水平平轴轴转转动动，将将杆杆从从水水平平位位置置由由静静止止释释放放，如如图图。试试求求：转转到到任任一一角角 时时，杆的角加速度杆的角加速度 等于多少？等于多少？此时的角速度此时的角速度 等于多少？等于多少？当当 =/2/2 （杆转到竖直位置）时，（杆转到竖直位置）时，讨论：讨论：越小，越小，值越小；值越小；越大，越大，值越大。值越大。所以刚体的转动动能所以刚体的转动动能一、转动动能一、转动动能 刚刚体体转转动动时时，各各质质点点都都绕绕定定轴轴作作圆圆运运动动，都都具具有有动动能能。刚刚体的转动动能就等于刚体中所有质点的动能之和。体的转动动能就等于刚体中所有质点的动能之和。质点的动能为质点的动能为:则刚体总动能为则刚体总动能为:与平动动能形式相同，量纲也相同，单位也相同。与平动动能形式相同，量纲也相同，单位也相同。Ek=mr2 2 2=ML=ML2 2T T-2-25-3 5-3 转动动能、力矩的功转动动能、力矩的功刚体转过刚体转过d 角，角，合外力合外力F作的元功为作的元功为：当刚体在当刚体在F力作用下，从力作用下，从 1转到转到 2时所作的功为：时所作的功为：二、力矩的功二、力矩的功:M M：X Xd Frds 0-刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理转动动能定理转动动能定理：合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动 动能的增量。动能的增量。使用中应注意：使用中应注意：E Ek k转转 是相对量；是相对量；转动动能定理的表达式为标量式。转动动能定理的表达式为标量式。应用该定理时只需分析始态与末态。应用该定理时只需分析始态与末态。凡是涉及杆的转动问题，要应用转动动能定理凡是涉及杆的转动问题，要应用转动动能定理下面用转动动能定理求解例下面用转动动能定理求解例6 6解：对象：杆解：对象：杆由转动动能定理有：由转动动能定理有：可见：求解杆的角速度时，用转动动能定理比用转动定律可见：求解杆的角速度时，用转动动能定理比用转动定律 简单。求角加速度又是用转动定律为简单。简单。求角加速度又是用转动定律为简单。L Lr r mgO O机械能守恒定律机械能守恒定律 只有保守力作功时，机械能守恒，即只有保守力作功时，机械能守恒，即 用机械能守恒定律求解例用机械能守恒定律求解例6 6中的中的解：在杆转动的过程中，由于只有重力作功，故机械能守解：在杆转动的过程中，由于只有重力作功，故机械能守 恒。取杆的水平位置为势能零点，有恒。取杆的水平位置为势能零点，有一、质点的角动量（动量矩）和角动量守恒定律一、质点的角动量（动量矩）和角动量守恒定律1.1.质点的角动量质点的角动量：方向：从方向：从 至至 的右旋前进方向（右手螺旋法则）。的右旋前进方向（右手螺旋法则）。当质点绕当质点绕O点作圆运动时点作圆运动时则有则有:L=P r=m v r 5-4 5-4 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律2.质点角动量原理：质点角动量原理：-角动量对时间的变化率角动量对时间的变化率力矩力矩:质点所受冲量矩质点所受冲量矩=质点角动量的增量质点角动量的增量 当质点所受合外力矩当质点所受合外力矩 M=0 时，质点角动量守恒时，质点角动量守恒 L=恒量恒量 质点所受冲量矩质点所受冲量矩:3.3.质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律:例例1、一小球在光滑平面上作圆运动，小球被穿过中心的线拉住、一小球在光滑平面上作圆运动，小球被穿过中心的线拉住。开始时绳半径为。开始时绳半径为r1，小球速率为，小球速率为 v1；后来，往下拉绳子，使；后来，往下拉绳子，使半径变为半径变为 r2，小球速率变为，小球速率变为 v2，求，求v2=？解：受力分析如图所示。解：受力分析如图所示。Mg=N T为小球为小球圆运动的向心力，合外力圆运动的向心力，合外力=T，但过转轴而，但过转轴而无力矩。合外力矩为无力矩。合外力矩为0，小球角动量守恒，小球角动量守恒。有：有：L=mvr=恒量恒量 即即 m v1 r1=m v2 r2mgNT角动量守恒角动量守恒二、绕定轴转动的刚体的角动量和角动量守恒定律二、绕定轴转动的刚体的角动量和角动量守恒定律 刚体对定轴转动的角动量等于刚体中所有质点对转轴的角刚体对定轴转动的角动量等于刚体中所有质点对转轴的角动量之和：动量之和：z0dmiri1.刚体对定点的角动量：刚体对定点的角动量：由刚体的转动定律：由刚体的转动定律：的方向与的的方向与的 的方向相同。的方向相同。2.2.刚体的角动量定理：刚体的角动量定理：合外力矩的冲量矩合外力矩的冲量矩=角动量的增量角动量的增量。3.定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律当时，刚体受外力矩为零时，角动量保持不变。即大小，正负刚体受外力矩为零时，角动量保持不变。即大小，正负（方向）均不变（方向）均不变。质点与刚体的角动量量纲相同质点与刚体的角动量量纲相同.推广至人推广至人 人非刚体，只要满足人所受的人非刚体，只要满足人所受的 则人的角动量也守恒。则人的角动量也守恒。使用中的几种情况：使用中的几种情况：.一个刚体（质点）一个刚体（质点）J J不变，不变，不变，不变，L=L=恒量恒量 。注意守恒定律的使用注意守恒定律的使用条件分析：条件分析：，即力矩的和为零。，即力矩的和为零。.几个刚体（几个质点）几个刚体（几个质点）J J变，变，变，变，不变。不变。合力合力=0=0，合力矩不一定等于零。，合力矩不一定等于零。合力矩合力矩=0=0，合力不一定等于零。，合力不一定等于零。花样滑冰运动员，伸开手：花样滑冰运动员，伸开手：J0 、0 。收拢手：收拢手：J=J0/3，则则 =J0 0/J=3 0 例例2 2、一根长为一根长为 L、质量为、质量为 m m1 1 的均匀细棒，其一端挂在一个水的均匀细棒，其一端挂在一个水平光滑轴上而静止于竖直位置。今有一子弹质量为平光滑轴上而静止于竖直位置。今有一子弹质量为m m2 2,以水平速度以水平速度 v0 射入棒下端距轴高度为射入棒下端距轴高度为 a a 处如图。子弹射入后处如图。子弹射入后嵌入其内并与棒一起转动偏离铅直位置嵌入其内并与棒一起转动偏离铅直位置 3030。，求子弹的水平速，求子弹的水平速度度 v0 的大小？的大小？解：解：对象：对象：棒棒 刚体刚体 子弹子弹 质点质点 过程分析：过程分析：第一阶段：第一阶段：与与 碰撞碰撞第二阶段：第二阶段：+转动转动角动量守恒角动量守恒 只有重力作功，只有重力作功，故机械能守恒。故机械能守恒。am m2 2m m1 1列方程列方程解得：解得：上面例子说明：上面例子说明：1.动量矩（角动量）保持不变是转动惯量与角速度的积不变；动量矩（角动量）保持不变是转动惯量与角速度的积不变；2.多物体组成的系统角动量的可叠加性；多物体组成的系统角动量的可叠加性；3.角动量守恒定律是一条普适定律角动量守恒定律是一条普适定律例例3 3、质量为、质量为M M、长为、长为L L的均匀直棒，可绕垂直于棒的一端的水的均匀直棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴平轴O O无摩擦地转动。它原来静止在平衡位置上，现在有一质无摩擦地转动。它原来静止在平衡位置上，现在有一质量为量为m m的弹性小球飞来，正好在棒下端与棒垂直相碰撞，碰撞的弹性小球飞来，正好在棒下端与棒垂直相碰撞，碰撞后，棒从平衡位置处摆动到最大角度后，棒从平衡位置处摆动到最大角度=30=30。，如图所示。，如图所示。求：（求：（1 1）小球碰撞前的速度）小球碰撞前的速度v v0 0=？（2 2）碰撞时，小球受到多大的冲量？）碰撞时，小球受到多大的冲量？Lm mO O解：（解：（1 1）选小球和棒为研究对象，）选小球和棒为研究对象，碰撞时系统所受合外力矩为碰撞时系统所受合外力矩为0 0，系统角，系统角动量守恒，有：动量守恒，有：L Lm mO O由于是弹性碰撞，动能守恒有由于是弹性碰撞，动能守恒有：碰撞后棒从平衡位置摆到碰撞后棒从平衡位置摆到 角的角的 过程过程中，系统只有重力作功，机械能守恒。中，系统只有重力作功，机械能守恒。（1 1）代入（）代入（2 2）中有）中有:将（将（3 3）式代入得：）式代入得：（2 2）碰撞时小球所受冲量等于小球动量的增量：）碰撞时小球所受冲量等于小球动量的增量：负号表示冲量方负号表示冲量方向与原方向相反向与原方向相反（1 1）+（4 4）得：）得：例例4 4、在一质量为在一质量为M M、半径为、半径为R R、角速度为、角速度为 1 1的旋转圆台上，当一的旋转圆台上，当一质量为质量为m m的人从的人从R/2R/2处走到边缘时，圆台的角速度将变为多少？处走到边缘时，圆台的角速度将变为多少？解：选人和台为研究对象，因系统所受合外力矩为解：选人和台为研究对象，因系统所受合外力矩为0 0，所以系，所以系统角动量守恒。统角动量守恒。第一状态：人和台组成的系统的转动惯量为：第一状态：人和台组成的系统的转动惯量为：第二状态：人和台组成的系统的转动惯量为：第二状态：人和台组成的系统的转动惯量为：角动量守恒：角动量守恒：L L1 1=L=L2 2 即即 J J1 1 1 1=J=J2 2 2 2 ：例例5 5、如图所示，半径为如图所示，半径为R R、质量为、质量为m m的水平转台以角速度的水平转台以角速度 绕中心处的铅直轴转动。台上站有绕中心处的铅直轴转动。台上站有4 4人，质量各等于转台质量的人，质量各等于转台质量的 ；2 2人站于台边人站于台边A A处，处，2 2人站于台边距圆心人站于台边距圆心 的的B B处。今台边处。今台边2 2人人相对圆台以速度相对圆台以速度 循转台转向沿圆周走动，同时另循转台转向沿圆周走动，同时另2 2人相对圆台人相对圆台以速度以速度 逆圆台转向沿圆周走动，求圆台这时的角速度逆圆台转向沿圆周走动，求圆台这时的角速度 等于多少？等于多少？O OR RA AB B解：解：对象：转台对象：转台 刚体刚体 4 4个人个人 质点组质点组条件分析：由于系统条件分析：由于系统 只受重力及只受重力及轴的支托力，且皆与转轴平行，故轴的支托力，且皆与转轴平行，故系统角动量守恒。系统角动量守恒。状态分析：以地面为参照系状态分析：以地面为参照系 转转 台台人走动前人走动前:台边台边2 2人人 台中台中2 2人人 转转 台台人走动后人走动后:台边台边2 2人人 台中台中2 2人人