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运动学下运动学下1.1.运动学：运动学：研究如何描述物体的运动以及研究如何描述物体的运动以及 各运动量之间的关系各运动量之间的关系 2.2.动力学：动力学：研究产生或改变运动的原因，即研究产生或改变运动的原因，即 物体间相互作用对运动的影响物体间相互作用对运动的影响3.3.静力学：静力学：研究作用在物体上力的平衡条件研究作用在物体上力的平衡条件 (工程力学工程力学)一一.力学研究力学研究对象对象：机械运动机械运动二二.力学研究的力学研究的内容内容内容内容：重点：难点：1 1 1 1、已知运动方程、已知运动方程、已知运动方程、已知运动方程 ，求速度和加速度，求速度和加速度，求速度和加速度，求速度和加速度、已知加速度、已知加速度、已知加速度、已知加速度a=aa=aa=aa=a(t)(t)(t)(t)和初始条件，求速度、位移和运动和初始条件，求速度、位移和运动和初始条件，求速度、位移和运动和初始条件，求速度、位移和运动方程方程方程方程1-1 1-1 质点质点 参考系参考系 运动方程运动方程一一.参照系参照系1.1.为什么要选用参照系为什么要选用参照系车厢内的人：车厢内的人：垂直下落垂直下落垂直下落垂直下落地面上的人：地面上的人：抛物运动抛物运动抛物运动抛物运动孰是孰非？孰是孰非？孰是孰非？孰是孰非？-运动的描述是相对的运动的描述是相对的例如：例如：车厢内某人竖直下抛一小球，观察小球的运车厢内某人竖直下抛一小球，观察小球的运动状态动状态 参照系：参照系：为描述物体运动而选用的标准物体或物体系为描述物体运动而选用的标准物体或物体系 (认为其静止认为其静止)2.2.什么是参照系什么是参照系二二.质点质点 1.1.质点：将物体看成是一个具有一定质量而没有大小质点：将物体看成是一个具有一定质量而没有大小 和形状的点和形状的点 2.2.可否视为质点，依具体情况而定：可否视为质点，依具体情况而定：a.a.物体自身线度与其活动范围相比小得多时可视物体自身线度与其活动范围相比小得多时可视为质点为质点如：地球绕太阳的运动、轨道运动如：地球绕太阳的运动、轨道运动b.b.b.b.物体无转动运动时可视为质点物体无转动运动时可视为质点物体无转动运动时可视为质点物体无转动运动时可视为质点物体上任一点都可以代表物体的运动物体上任一点都可以代表物体的运动三三三三.坐标系坐标系坐标系坐标系确定物体相对参照系的位置，需确定物体相对参照系的位置，需确定物体相对参照系的位置，需确定物体相对参照系的位置，需在参照系上在参照系上在参照系上在参照系上建立坐标系建立坐标系建立坐标系建立坐标系 1.1.1.1.直角坐标系：直角坐标系：直角坐标系：直角坐标系：直角坐标直角坐标直角坐标直角坐标 (x,y,zx,y,zx,y,zx,y,z)确定质点位置确定质点位置确定质点位置确定质点位置 2.2.2.2.自然坐标系自然坐标系自然坐标系自然坐标系在已知运动轨迹上任选一点在已知运动轨迹上任选一点在已知运动轨迹上任选一点在已知运动轨迹上任选一点0 0 0 0为原点建立的坐标系为原点建立的坐标系为原点建立的坐标系为原点建立的坐标系自然坐标自然坐标自然坐标自然坐标 s s s s(t t t t)确定质点的位置确定质点的位置确定质点的位置确定质点的位置:切向单位矢量切向单位矢量切向单位矢量切向单位矢量:法向单位矢量法向单位矢量法向单位矢量法向单位矢量 3.3.3.3.平面极坐标系平面极坐标系平面极坐标系平面极坐标系：极轴：极轴：极轴：极轴 ：极径：极径：极径：极径：辐角辐角辐角辐角通常规定从极轴沿逆时针方向的通常规定从极轴沿逆时针方向的通常规定从极轴沿逆时针方向的通常规定从极轴沿逆时针方向的 为正为正为正为正平面极坐标平面极坐标平面极坐标平面极坐标(r r r r,)确定质点的位置确定质点的位置确定质点的位置确定质点的位置 1 1、位矢：位矢：位矢：位矢：表征空间某点表征空间某点表征空间某点表征空间某点P P P P 的位置，的位置，的位置，的位置，由原点由原点由原点由原点0 0 0 0到到到到P P P P 的矢量的矢量的矢量的矢量一一一一.质点的位置矢量、位移矢量质点的位置矢量、位移矢量质点的位置矢量、位移矢量质点的位置矢量、位移矢量 1-2 1-2 位移位移 速度速度 加速度加速度2 2 2 2、运动方程和轨迹运动方程和轨迹运动方程和轨迹运动方程和轨迹运动方程运动方程运动方程运动方程:表示运动过程的函数表示运动过程的函数表示运动过程的函数表示运动过程的函数 矢量形式：矢量形式：分量形式：分量形式：-消去消去消去消去t t t t 可得轨迹方程：可得轨迹方程：可得轨迹方程：可得轨迹方程：f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0 3 3、位移、位移、位移、位移位移：位移：位移：位移：质点一段时间内位置质点一段时间内位置质点一段时间内位置质点一段时间内位置 的改变的改变的改变的改变讨论：讨论：讨论：讨论：a.a.a.a.路程：路程：路程：路程：质点沿轨迹运动所经历的路径长度质点沿轨迹运动所经历的路径长度质点沿轨迹运动所经历的路径长度质点沿轨迹运动所经历的路径长度b.b.b.b.路程是标量路程是标量路程是标量路程是标量，大小与位移的大小一般不相等，大小与位移的大小一般不相等，大小与位移的大小一般不相等，大小与位移的大小一般不相等，即即即即c.c.c.c.在极限情况下在极限情况下在极限情况下在极限情况下d.d.d.d.单方向直线运动时单方向直线运动时单方向直线运动时单方向直线运动时二二.速度：速度：1 1 1 1。平均速度。平均速度。平均速度。平均速度描述质点运动快慢和运动方向的物理量描述质点运动快慢和运动方向的物理量描述质点运动快慢和运动方向的物理量描述质点运动快慢和运动方向的物理量大小：大小：大小：大小：方向：方向：方向：方向：的方向的方向2.2.瞬时速度：瞬时速度：大小：大小：大小：大小：-轨道切线方向轨道切线方向方向：方向：方向：方向：的方向的方向用自然坐标表示：用自然坐标表示：用自然坐标表示：用自然坐标表示：*速率：速率：速率：速率：路程路程路程路程s s s s 与时间与时间与时间与时间 t t t t 的比值的比值的比值的比值讨论：讨论：讨论：讨论：平均速度的大小：平均速度的大小：平均速度的大小：平均速度的大小：一般地一般地一般地一般地平均速率平均速率 ：瞬时速率：瞬时速率：瞬时速度的大小：瞬时速度的大小：*位移大小位移大小位移大小位移大小 与位矢模的增量与位矢模的增量与位矢模的增量与位矢模的增量 不等不等不等不等三三三三.加速度加速度加速度加速度描述质点速度随时间变化快慢的物理量描述质点速度随时间变化快慢的物理量描述质点速度随时间变化快慢的物理量描述质点速度随时间变化快慢的物理量 1 1。平均加速度。平均加速度。平均加速度。平均加速度2.瞬时加速度：瞬时加速度：大小：大小：大小：大小：方向：方向：的方向，一的方向，一 般与速度般与速度 的方向不同。的方向不同。例例例例1111已知质点运动方程为已知质点运动方程为已知质点运动方程为已知质点运动方程为解解：(，R R为常数为常数为常数为常数)。运动方程的分量形式为运动方程的分量形式为运动方程的分量形式为运动方程的分量形式为 求求求求:(1):(1):(1):(1)质点的轨道方程；质点的轨道方程；质点的轨道方程；质点的轨道方程；(2)2(2)2(2)2(2)2秒末的速度和加速度；秒末的速度和加速度；秒末的速度和加速度；秒末的速度和加速度；(3)(3)(3)(3)证明证明证明证明消出消出消出消出t t t t 得轨道方程得轨道方程得轨道方程得轨道方程-轨道为轨道为轨道为轨道为:半径为半径为半径为半径为R R R R的圆周，圆心的圆周，圆心的圆周，圆心的圆周，圆心(R/2(R/2(R/2(R/2，0)0)0)0)两矢量相互垂直时应有两矢量相互垂直时应有两矢量相互垂直时应有两矢量相互垂直时应有 得证得证得证得证解解：例例例例2:2:2:2:一质点在一质点在一质点在一质点在xOyxOyxOyxOy平面内运动，运动方程为平面内运动，运动方程为平面内运动，运动方程为平面内运动，运动方程为x x x x=2=2=2=2t t t t，y y y y=19-2=19-2=19-2=19-2t t t t2 2 2 2。(1)(1)(1)(1)写出质点任意时刻的位置矢量写出质点任意时刻的位置矢量写出质点任意时刻的位置矢量写出质点任意时刻的位置矢量 ，速度矢量，速度矢量，速度矢量，速度矢量 和和和和 加速度矢量加速度矢量加速度矢量加速度矢量 ；(2)(2)(2)2)写出轨道方程；写出轨道方程；写出轨道方程；写出轨道方程；(3)(3)(3)(3)什么时刻，质点的位置矢量和速度矢量恰好垂直什么时刻，质点的位置矢量和速度矢量恰好垂直什么时刻，质点的位置矢量和速度矢量恰好垂直什么时刻，质点的位置矢量和速度矢量恰好垂直 消去消去消去消去t t t t：令令令令 解得解得解得解得(舍去舍去舍去舍去)例例例例3333如图如图如图如图,长为长为长为长为l l l l的细棒的细棒的细棒的细棒,在竖直平面内沿墙角下滑在竖直平面内沿墙角下滑在竖直平面内沿墙角下滑在竖直平面内沿墙角下滑,上端上端上端上端A A A A下滑速度为匀速下滑速度为匀速下滑速度为匀速下滑速度为匀速v v v v。当下端。当下端。当下端。当下端B B B B离墙角距离为离墙角距离为离墙角距离为离墙角距离为x x x x(xlxlxlx111 速度速度速度速度大小的变化大小的变化大小的变化大小的变化引起引起引起引起切向加速度切向加速度切向加速度切向加速度 速度速度速度速度方向的变化方向的变化方向的变化方向的变化引起引起引起引起法向加速度法向加速度法向加速度法向加速度2222 变速圆周运动，变速圆周运动，变速圆周运动，变速圆周运动，的方向不指向圆心的方向不指向圆心的方向不指向圆心的方向不指向圆心3333 匀速圆周运动匀速圆周运动匀速圆周运动匀速圆周运动加速度加速度加速度加速度 大小大小大小大小加速度加速度加速度加速度 方向方向方向方向 -的方向指向圆心的方向指向圆心的方向指向圆心的方向指向圆心2.2.2.2.一般曲线运动一般曲线运动一般曲线运动一般曲线运动 -曲率半径曲率半径曲率半径曲率半径讨论：讨论：讨论：讨论：(1).(1).(1).(1).一般曲线运动的法向加速度指向瞬时曲率中心一般曲线运动的法向加速度指向瞬时曲率中心一般曲线运动的法向加速度指向瞬时曲率中心一般曲线运动的法向加速度指向瞬时曲率中心(2).(2).(2).(2).总是指向曲线凹的一侧总是指向曲线凹的一侧总是指向曲线凹的一侧总是指向曲线凹的一侧0 0 0 0 -瞬时瞬时瞬时瞬时曲率中心曲率中心曲率中心曲率中心曲率圆曲率圆曲率圆曲率圆3 3 3 3圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述（1 1 1 1）角量）角量）角量）角量半径半径半径半径R R R R不变，质点位置可由不变，质点位置可由不变，质点位置可由不变，质点位置可由角坐标角坐标角坐标角坐标 确定确定确定确定运动方程可用角坐标表示运动方程可用角坐标表示运动方程可用角坐标表示运动方程可用角坐标表示时间内，质点转过角度时间内，质点转过角度时间内，质点转过角度时间内，质点转过角度-角位移角位移角位移角位移角速度角速度角速度角速度角加速度角加速度角加速度角加速度（2 2 2 2）.线量与角量关系线量与角量关系线量与角量关系线量与角量关系 4.4.用角量表示匀速和匀变速圆周用角量表示匀速和匀变速圆周运动运动 例例例例1:1:1:1:一质点作圆周运动，其角位置一质点作圆周运动，其角位置一质点作圆周运动，其角位置一质点作圆周运动，其角位置=t t t t 2 2 2 2+1+1+1+1(rad)(rad)(rad)(rad)，t t t t以秒计以秒计以秒计以秒计,半径半径半径半径R=1R=1R=1R=1m m m m,问问问问多大时，其切向加速度大小是总多大时，其切向加速度大小是总多大时，其切向加速度大小是总多大时，其切向加速度大小是总加速度大小的加速度大小的加速度大小的加速度大小的1/21/21/21/2?解解：可得可得可得可得证证：例例例例2222一质点沿圆周运动一质点沿圆周运动一质点沿圆周运动一质点沿圆周运动,其切向加速度与法向加速度的其切向加速度与法向加速度的其切向加速度与法向加速度的其切向加速度与法向加速度的大小恒保持相等。设大小恒保持相等。设大小恒保持相等。设大小恒保持相等。设 为质点在圆周上任意两点速度为质点在圆周上任意两点速度为质点在圆周上任意两点速度为质点在圆周上任意两点速度 与与与与 之间的夹角。试证之间的夹角。试证之间的夹角。试证之间的夹角。试证:v v2 2=v v1 1e e即即即即积分得积分得积分得积分得解：解：例例例例3333：质点作半径为：质点作半径为：质点作半径为：质点作半径为R R R R的圆周运动，其速率的圆周运动，其速率的圆周运动，其速率的圆周运动，其速率 v=2tv=2tv=2tv=2t,求：质点任意时刻的加速度求：质点任意时刻的加速度求：质点任意时刻的加速度求：质点任意时刻的加速度？解：解：rRW1 W2 被动轮被动轮主动轮主动轮 例例例例4444半径为半径为半径为半径为20cm20cm20cm20cm的主动轮通过皮带拖动半径为的主动轮通过皮带拖动半径为的主动轮通过皮带拖动半径为的主动轮通过皮带拖动半径为50cm50cm50cm50cm的被动轮转动，皮带与轮之间无相对滑动。主动轮从的被动轮转动，皮带与轮之间无相对滑动。主动轮从的被动轮转动，皮带与轮之间无相对滑动。主动轮从的被动轮转动，皮带与轮之间无相对滑动。主动轮从静止开始匀角加速转动，在静止开始匀角加速转动，在静止开始匀角加速转动，在静止开始匀角加速转动，在4s4s4s4s内被动轮角速度达到内被动轮角速度达到内被动轮角速度达到内被动轮角速度达到 ，则主动轮在这段时间内转了多少圈？，则主动轮在这段时间内转了多少圈？，则主动轮在这段时间内转了多少圈？，则主动轮在这段时间内转了多少圈？W1 Rr W2 被动轮被动轮主动轮主动轮如图：如图：皮带与轮之间无皮带与轮之间无相对滑动相对滑动T=0T=0时时T=4sT=4s时时又又4s4s内被动轮转过的角度内被动轮转过的角度圈圈二二.抛体运动抛体运动 抛体运动是平面曲线运动抛体运动是平面曲线运动抛体运动是平面曲线运动抛体运动是平面曲线运动物体在空中任意时刻速度物体在空中任意时刻速度物体在空中任意时刻速度物体在空中任意时刻速度分量为分量为分量为分量为一一一一.运动的矢量性运动的矢量性运动的矢量性运动的矢量性 运动叠加原理运动叠加原理运动叠加原理运动叠加原理 1-4 1-4 曲线运动曲线运动积分可得积分可得积分可得积分可得消去消去消去消去 t t t t 得轨迹方程得轨迹方程得轨迹方程得轨迹方程由由由由v v v vy y y y=0=0=0=0有有有有射射射射高高高高由由由由y y y y=0=0=0=0得得得得射射射射程程程程矢量形式为矢量形式为矢量形式为矢量形式为即即即即 初速度方向的初速度方向的初速度方向的初速度方向的匀速直线匀速直线匀速直线匀速直线运动运动运动运动和竖直方向的和竖直方向的和竖直方向的和竖直方向的自由落自由落自由落自由落体运动体运动体运动体运动的叠加的叠加的叠加的叠加-归结为直线运动的叠加归结为直线运动的叠加归结为直线运动的叠加归结为直线运动的叠加如猎人与猴子的演示如猎人与猴子的演示如猎人与猴子的演示如猎人与猴子的演示1-5 1-5 运动描述的相对性运动描述的相对性运动描述的相对性运动描述的相对性一一一一.相对位移相对位移相对位移相对位移一般地一般地一般地一般地二二二二.相对速度和相对加速度相对速度和相对加速度相对速度和相对加速度相对速度和相对加速度绝对绝对绝对绝对牵连牵连牵连牵连相对相对相对相对-伽利略伽利略伽利略伽利略速度变换速度变换速度变换速度变换 例例例例1111证明在猎人和猴子的演示中，不论子弹的初速度如证明在猎人和猴子的演示中，不论子弹的初速度如证明在猎人和猴子的演示中，不论子弹的初速度如证明在猎人和猴子的演示中，不论子弹的初速度如何总能击中猴子何总能击中猴子何总能击中猴子何总能击中猴子(不计空气阻力不计空气阻力不计空气阻力不计空气阻力)解：解：解：解：即子弹相对于猴子的速度为子弹的初速度，只要一开始即子弹相对于猴子的速度为子弹的初速度，只要一开始即子弹相对于猴子的速度为子弹的初速度，只要一开始即子弹相对于猴子的速度为子弹的初速度，只要一开始瞄准猴子总能击中瞄准猴子总能击中瞄准猴子总能击中瞄准猴子总能击中 例例例例2222如图，两船如图，两船如图，两船如图，两船A A A A和和和和B B B B各以速度各以速度各以速度各以速度 和和和和 行驶，试问它行驶，试问它行驶，试问它行驶，试问它们会相碰吗？们会相碰吗？们会相碰吗？们会相碰吗？解解：B B B B相对于相对于相对于相对于A A A A的速度的速度的速度的速度不会相碰不会相碰不会相碰不会相碰 例例例例3333东流的江水，流速为东流的江水，流速为东流的江水，流速为东流的江水，流速为v v v v1 1 1 1=4=4=4=4 m m m m/s s s s,一船在江中以航速一船在江中以航速一船在江中以航速一船在江中以航速v v v v2 2 2 2=3=3=3=3 m m m m/s s s s向正北行驶。试求向正北行驶。试求向正北行驶。试求向正北行驶。试求:岸上的人将看到船以多大的岸上的人将看到船以多大的岸上的人将看到船以多大的岸上的人将看到船以多大的速率速率速率速率v v v v，向什么方向航行，向什么方向航行，向什么方向航行，向什么方向航行?解：解：解：解：以岸为以岸为以岸为以岸为K K K K系，江水为系，江水为系，江水为系，江水为K K K K 系系系系船相对于岸的速度船相对于岸的速度船相对于岸的速度船相对于岸的速度方向方向方向方向 例例例例4444有一水平飞行的飞机，速度有一水平飞行的飞机，速度有一水平飞行的飞机，速度有一水平飞行的飞机，速度V V V V0 0 0 0，在飞机上以在飞机上以在飞机上以在飞机上以水平速率水平速率水平速率水平速率V V V V向前发射一枚炮弹并计时，略去空气阻向前发射一枚炮弹并计时，略去空气阻向前发射一枚炮弹并计时，略去空气阻向前发射一枚炮弹并计时，略去空气阻力，假设发炮过程不影响飞机的速度。求力，假设发炮过程不影响飞机的速度。求力，假设发炮过程不影响飞机的速度。求力，假设发炮过程不影响飞机的速度。求（1 1 1 1）以地面为参照系，炮弹的运动方程轨迹方程）以地面为参照系，炮弹的运动方程轨迹方程）以地面为参照系，炮弹的运动方程轨迹方程）以地面为参照系，炮弹的运动方程轨迹方程？（2 2 2 2）以飞机为参照系，炮弹的运动方程轨迹方程）以飞机为参照系，炮弹的运动方程轨迹方程）以飞机为参照系，炮弹的运动方程轨迹方程）以飞机为参照系，炮弹的运动方程轨迹方程？解解 建立如图所示坐标系：建立如图所示坐标系：X X（)Y Y（）：由伽利略变换由伽利略变换T=0T=0时刻时刻由匀加速直线运动的位移时间关系，由匀加速直线运动的位移时间关系，以地球为参照系以地球为参照系，炮弹的运动方程，炮弹的运动方程轨道方程轨道方程以飞机为参照系以飞机为参照系，炮弹的运动方程，炮弹的运动方程轨道方程轨道方程3.3.3.3.运动量非运动量非运动量非运动量非 t t t t 的函数问题的函数问题的函数问题的函数问题-分离变量方法分离变量方法分离变量方法分离变量方法(1).(1).(1).(1).已知已知已知已知 a a a a=a a a a(x x x x)，求，求，求，求 v v v v(x x x x)即即即即a a a a为常数时为常数时为常数时为常数时(2).(2).(2).(2).已知已知已知已知 v v v v=v v v v(x x x x)，求，求，求，求 x x x x(t t t t)()()()(运动学下运动学下