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一次函数知识点完整

一次函数知识点总结
【基本要点】
1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
例题：在匀速运动公式中,表示速度,表示时间,表示在时间内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
注：这是课本对于函数 的定义，在理解与实际运用中我们要注意以下几点：
1、函数只能描述两个变量之间的关系，多一个少一个变量都是不对的；如：y=xz 中有三个变量，就不是函数；y=0中只有一个变量，也不是函数；而y=0（x＞0）却是函数，因为括号中标明了自变量的取值范围；
2、当自变量去每一个确定的值时因变量只能取唯一确定的值相对应，反之，当因变量取每一个确定的值时自变量可以去若干个值相对应；因为这两个变量有先变与后变的问题，让后变的先取一个值，先变的就不一定只取一个值；
3、我们只能说函数值是自变量的函数，或用自变量来表示函数值，如：a是b的函数就说明a是函数值，b是自变量；用y表示x就说明y是自变量，x是函数值；任何函数都要标明谁是谁的函数不能随便说一个解析式是不是函数，如：
Y=x，只能说y是x的函数，就不能说x是y的函数；
4、函数解析式的表示：只有函数值写在等号左边，含有自变量的式子写在等号右边；注意不能写成2y=3x-3或y=3x-3的形式；
5、任何函数都包含自变量的取值范围，如果没指明说明自变量的取值范围是任意实数。自变量的取值范围从以下几个方面把握：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
例题：写出下列函数中自变量x的取值范围
y= ___________. y=___________. y=___________. y=·___________.
3、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
4、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
5、描点法画函数图形的一般步骤
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
6、函数的表示方法
列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
7、正比例函数及性质
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零
当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
(1) 解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
(2) 必过点：（0，0）、（1，k）
(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限
(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
例题：1、正比例函数，当m 时，y随x的增大而增大.
2、若是正比例函数，则b的值是 （ ）
A.0 B. C. D.
3、函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( )
A. B. C. D.
4、东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是_______________．
平行四边形相邻的两边长为x、y，周长是30，则y与x的函数关系式是__________．
8、一次函数及性质
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)
（2）必过点：（0，b）和（-，0）
（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限
（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
例题：1、若关于x的函数是一次函数，则m= ，n .
2、函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）

3、将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线 ；将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线 .
4、若直线和直线的交点坐标为(),则____________.
5、已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（ ）
Ａ．3m+1 Ｂ．3m Ｃ．m Ｄ．3m－1
9、一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），（-，0即横坐标或纵坐标为0的点.
例题：1、已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（ ） A. x1>x2 B. x10，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选A。
2、若m＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过 （ ）
A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3、一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A .
10、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.

11、一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
12、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.
13、一次函数与二元一次方程组
（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同.
（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点.
【考点指要】
一次函数常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法；为方便大家计算以及分析题目，现介绍一些解题过程中可以运用的公式与性质，希望大家能反复揣摩、理解、运用以期熟练地掌握，这样可以化繁为简！这里要强调的是以下这些公式不要随便外传！切记！
1、一次函数解析式的几种类型
①ax+by+c=0[一般式]
②y=kx+b[斜截式] （k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）
③y-=k(x-)[点斜式] （k为直线斜率,( , )为该直线所过的一个点）
④= [两点式] （ ）与（, ）为直线上的两点）
⑤ =0[截距式] （a、b分别为直线在x、y轴上的截距）
2、求函数图像的k值： （（, ）与（, ）为直线上的两点）
3、求任意线段的长：（ （, ）与（, ）为直角坐标系任意两点）
4、求任意两点所连线段的中点坐标：（，）
5、若两条直线y =kx+b 与y=kx+b互相平行，那么k= k，b≠b
6、若两条直线y =kx+b与y=kx+b互相垂直，那么k×k=-1
7、将y=kx+b向上平移n个单位后变成y=kx+b+n；向下平移n个单位变成y=kx+b-n
8、将y=kx+b向左平移n个单位后变成y=k（x+n）+b；将y=kx+b向右平移n个单位后变成y=k（x-n）+b（任何图像的平移都遵循上加下减，左加右减的规则 ）
9、若y =kx+b 与y=kx+b关于x轴对称，那么k+ k=0、b+b=0
10、若y =kx+b 与y=kx+b关于y轴对称，那么k+ k=0、b=b
11、同理，y =kx与y=kx关于平行、垂直、平移、对称也满足以上性质
12、y=kx+b与坐标轴围成的三角形面积为
13、y=kx（k是常数，k≠0）必过点：（0，0）、（1，k）
14、y=kx+b必过点：（0，b）和（-，0）
【例题讲解】
例题1：若是的一次函数，图像过点（－3,2），且与直线交于轴上一点，求此函数的解析式。

变式练习1：求满足下列条件的函数解析式：与直线平行且经过点(1, -1)的直线的解析式；

例题2：已知直线经过且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的表达式。

变式练习2：一次函数与正比例函数的图象都经过点（2，-1），
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）求这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积。

O
x
y
A
B

2

巩固练习】
1，一次函数y= -2x+4的图象与x轴交点坐标是 ，与y轴交点坐标是
2，如图，一次函数图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，
则该一次函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．

3．已知一次函数的图象与轴交于（0，3），且随值的增大而增大，则的值为（ ）
A．2 B．-4 C．-2或-4 D．2或-4
4，将直线向右平移2个单位所得的直线的解析式是（ ）。
A、y＝2x＋2 B、y＝2x－2 C、y＝2(x－2) D、y＝2(x＋2)
5，把直线向下平移两个单位，再向右平移3个单位后所得直线的解析式是 。
6，若函数与x轴交于点A，直线上有一点M，若△AOM的面积为8，则点M的坐标
7，已知直线的图像经过点（2，0），（4，3），（，6），求的值。
8，已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）
（1）求此一次函数表达式；
（2）求此一次函数与x轴、y轴的交点坐标；
（3）求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积。

9，已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1, -5),且与正比例函数y= x的图象相交于点(2,a),求
(1)a的值
(2)k,b的值
(3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积.

10，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（-6，0），与y轴交于点B，若△AOB的面积是12，且y随x的增大而减小，求这个一次函数的关系式。
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