专题11-方程、不等式和函数的应用综合(解析版).doc

专题11-方程、不等式和函数的应用综合(解析版)

41

一、选择题
1.（泸州）已知抛物线与轴有两个不同的交点，则函数的大致图像是【 】

【答案】A.
【解析】

考点：1.二次函数图象与x轴的交点问题；2.一元二次方程根的判别式；3.反比例函数的性质.
2.（黔西南）已知如图，一次函数y=ax+b和反比例函数的图象相交于A、B两点，不等式ax+b＞的解集为【 】

A. x＜﹣3 B. ﹣3＜x＜0或x＞1 C. x＜﹣3或x＞1 D. ﹣3＜x＜1
【答案】B．
【解析】
试题分析：观察函数图象得到当﹣3＜x＜0或x＞1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，即有ax+b＞，因此，不等式ax+b＞的解集为﹣3＜x＜0或x＞1．故选B．
考点：1.反比例函数与一次函数的交点问题；2.不等式的图象解．
3.（贺州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是【 】

【答案】D．
【解析】

故选D．
考点：1.二次函数、一次函数、反比例函数的图象和系数的关系；2.不等式的性质.
4.（镇江）已知过点的直线不经过第一象限.设，则s的取值范围是【 】
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】

考点：1.一次函数图象与系数的关系；2.直线上点的坐标与方程的关系；3.不等式的性质.
5.（德阳）已知方程，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是（　　）
A．-1＜b≤3 B．2＜b≤3 C．8≤b＜9 D．3≤b＜4
【答案】D
【解析】

考点：分式方程的解；一元一次不等式组的整数解．
二、填空题
1(阜新) 如图，二次函数的图象经过点，那么一元二次方程的根是 .

【答案】x1=0, x2=2.
【解析】
试题分析：由已知得，，所以，
方程变为：-x2+2x=0，解得x1=0, x2=2.
考点：1、二次函数；2、解一元二次方程.
三、解答题
1.（阜新）在“玉龙”自行车队的一次训练中，1号队员以高于其他队员10千米/时的速度独自前行，匀速行进一段时间后，又返回队伍，在往返过程中速度保持不变.设分开后行进的时间为（时），1号队员和其他队员行进的路程分别为（千米），并且与的函数关系如图所示：

（1）1号队员折返点的坐标为 ，如果1号队员与其他队员经过t小时相遇，那么点的坐标为 ；（用含t的代数式表示）
（2）求1号队员与其他队员经过几小时相遇？
（3）在什么时间内，1号队员与其他队员之间的距离大于2千米？
【答案】（1）A（，10）,B(t,35t) .
（2）1号队员与其他队员经过小时相遇.
（3）.
【解析】
试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据函数值，可得相应的自变量，根据自变量的值，
（3）1号队员行进时关系式y1=45t，返回时关系式y1=-45t+20，其他队员行进时关系式为y2=35t，所以1号队员与其他队员距离为y1-y2>2，
即 ，
∴.
考点：一次函数的应用．
2.（牡丹江））某工厂有甲种原料69千克，乙种原料52千克，现计划用这两种原料生产A，B两种型号的产品共80件，已知每件A型号产品需要甲种原料0.6千克，乙种原料0.9千克；每件B型号产品需要甲种原料1.1千克，乙种原料0.4千克．请解答下列问题：
（1）该工厂有哪几种生产方案？
（2）在这批产品全部售出的条件下，若1件A型号产品获利35元，1件B型号产品获利25元，（1）中哪种方案获利最大？最大利润是多少？
（3）在（2）的条件下，工厂决定将所有利润的25%全部用于再次购进甲、乙两种原料，要求每种原料至少购进4千克，且购进每种原料的数量均为整数．若甲种原料每千克40元，乙种原料每千克60元，请直接写出购买甲、乙两种原料之和最多的方案．
【答案】（1）有3种购买方案：
方案1，生产A型号产品38件，生产B型号产品42件；
方案2，生产A型号产品39件，生产B型号产品41件；

，
解得：38≤x≤40．
∵x为整数，
∴x=38，39，40，
∴有3种购买方案：

40m+60n=2400
2m+3n=120．
∵m+n要最大，
∴n要最小．
∵m≥4，n≥4，
∴n=4．
∴m=9．
∴购买甲种原料9千克，乙种原料4千克．
考点：1、一次函数的应用；2、一元一次不等式组的应用．
3.（龙东地区）【题文】如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（03），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

中.考.资.源.网
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），
根据题意得 ，
解得 ，
所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．

考点：1、抛物线与x轴的交点；2、待定系数法；3、二次函数与不等式（组）．
4.（龙东地区）【题文】我市为改善农村生活条件，满足居民清洁能源的需求，计划为万宝村400户居民修建A、B两种型号的沼气池共24个．政府出资36万元，其余资金从各户筹集．两种沼气池的型号、修建费用、可供使用户数、占地面积如下表：
沼气池
修建费用（万元/个）
可供使用户数（户/个）
占地面积（平方米/个）
A型
3
20
10
B型
2
15
8
政府土地部门只批给该村沼气池用地212平方米，设修建A型沼气池x个，修建两种沼气池共需费用y万元．
（1）求y与x之间函数关系式．
（2）试问有哪几种满足上述要求的修建方案．
（3）要想完成这项工程，每户居民平均至少应筹集多少钱？中.考.资.源.网

∴每户至少筹集500元才能完成这项工程中费用最少的方案
考点：1、一次函数的应用；2、一元一次不等式组的应用
5.（龙东地区）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）．
（1）求点D的坐标．中.考.资.源.网
（2）求直线BC的解析式．
（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】
【解析】

解得x1=3，x2=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
过D作DE⊥y于点E，
∵正方形ABCD，[来源:中.考.资.源.网WWW.ZK5U.COM]

∴CM=OB=3，BM=OA=4，
∴OM=7，
∴C（7，3），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），
代入B（3，0），C（7，3）得，，

考点：1、解一元二次方程；2、正方形的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、一次函数
6.（泸州）某工厂现有甲种原料280千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件.已知生产一件A产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B产品需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元。设生产A、B两种产品总利润为y元，其中A种产品生产件数是x.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）如何安排A、B两种产品的生产件数，使总利润y有最大值，并求出y的最大值.

（2）由题意得，解得16≤x≤30.
∵y=﹣500x+60000的y随x的增大而减小，
∴当x=16时，y最大=58000，
答：生产B种产品34件，A种产品16件，总利润y有最大值，y最大=58000元．
考点：一次函数和一元一次不等式组的应用．
7.（凉山）我州某校计划购买甲、乙两种树苗共1000株用以绿化校园，甲种树苗每株25元，乙种树苗每株30元，通过调查了解，甲，乙两种树苗成活率分别是90%和95%．
（1）若购买这种树苗共用去28000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？
（2）要使这批树苗的总成活率不低于92%，则甲种树苗最多购买多少株？
（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．
【答案】（1）购甲种树苗400株，乙种树苗600株；（2）甲种树苗最多购买600株；（3）购买家中树苗600株．乙种树苗400株时总费用最低，最低费用为27000元．
【解析】

答：购甲种树苗400株，乙种树苗600株.
（2）设购买甲种树苗a株，则购买乙种树苗（1000﹣a）株，由题意，得
90%a+95%（1000﹣a）≥92%×1000，解得：a≤600．
答：甲种树苗最多购买600株.
（3）设购买树苗的总费用为W元，由题意，得
W=25a+30（1000﹣a）=﹣5a+30000．
∵k=﹣5＜0，∴W随a的增大而减小，
∵0＜a≤600，∴a=600时，W最小=27000元．
∴购买家中树苗600株．乙种树苗400株时总费用最低，最低费用为27000元．
考点：1.二元一次方程组的应用；2.一元一次不等式的应用；3.一次函数的应用.
8.（河南）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍。设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.
①求y与x的关系式；
②该商店购进A型、B型各多少台，才能使销售利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台。若商店保持两种电脑的售价不变，请你以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.
【答案】（1）每台A型、B型电脑的销售利润分别为100元， 150元；（2）①y＝－50x＋15000，②商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大；（3）商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大利润．
【解析】

∴每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元..
（2）①根据题意得y＝100x＋150(100－x)，即y＝－50x＋15000.

∴x=70时，y取得最大值．
即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大利润．
考点：1.一次函数、二元一次方程组及一元一次不等式的应用；2.分类思想的应用.
9.（河池）小明购买了一部新手机，到某通讯公司咨询移动电话资费情况，准备办理入网手续，该通讯公司工作人员向他介绍两种不同的资费方案：
方案代号
月租费（元）
免费时间（分）
超过免费时间的通话费（元/分）
一
10
0
0.20
二[来源:中.考.资.源.网WWW.ZK5U.COM]
30
80
0.15
（1）分别写出方案一，二中，月话费（月租费与通话费的总和）y（单位：元）与通话时间x（单位：分）的函数关系式；
（2）画出（1）中两个函数的图象；
（3）若小明通话时间为200分钟左右，他应该选择哪种资费方案最省钱.
【答案】（1）方案一： y=0.2x+10；方案二：；（2）作图见解析；（3）方案二.
【解析】
试题分析：（1）根据月话费=月租费+通话费分别列式.
（2）根据（1）的函数关系式作图.
（3）分别求出两种方案的月话费作出比较即可.

考点：1.一次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.分类思想的应用.
10.（北海）某经销商从市场得知如下信息：

A品牌手表
B品牌手表
进价（元/块）
700
100
售价（元/块）
900
160[来源:W]
他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌手表共100块，设该经销商购进A品牌手表x块，这两种品牌手表全部销售完后获得利润为y元．
（1）试写出y与x之间的函数关系式；
（2）若要求全部销售完后获得的利润不少于 1.26万元，该经销商有哪几种进货方案？
（3）选择哪种进货方案，该经销商可获利最大？最大利润是多少元？

（3）∵140＞0，∴y随x的增大而增大.
∴x=50时y取得最大值.
又∵140×50+6000=13000，
∴选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是13000元．
考点：1.由实际问题列函数关系式；2.一元一次不等式的应用；3.一次函数的应用．
11.（百色）有2条生产线计划在一个月（30天）内组装520台产品（每天产品的产量相同），按原先的组装速度，不能完成任务；若加班生产，每条生产线每天多组装2台产品，能提前完成任务．
（1）每条生产线原先每天最多能组装多少台产品？
（2）要按计划完成任务，策略一：增添1条生产线，共要多投资19000元；策略二：按每天能组装最多台数加班生产，每条生产线每天共要多花费350元；选哪一个策略较省费用？

∵x的值应是整数，
∴x最大为17．
答：每条生产线原先每天最多能组装17台产品．
（2）策略一：增添1条生产线，共要多投资19000元；
策略二：520÷19×350×2≈28×350×2=19600元；
所以策略一较省费用．
考点：1、一元一次不等式（组）的应用；2、一次函数的应用
12.（无锡）某发电厂共有6台发电机发电，每台的发电量为300万千瓦/月．该厂计划从今年7月开始到年底，对6台发电机各进行一次改造升级．每月改造升级1台，这台发电机当月停机，并于次月再投入发电，每台发电机改造升级后，每月的发电量将比原来提高20%．已知每台发电机改造升级的费用为20万元．将今年7月份作为第1个月开始往后算，该厂第x（x是正整数）个月的发电量设为y（万千瓦）．
（1）求该厂第2个月的发电量及今年下半年的总发电量；
（2）求y关于x的函数关系式；
（3）如果每发1千瓦电可以盈利0.04元，那么从第1个月开始，至少要到第几个月，这期间该厂的发电盈利扣除发电机改造升级费用后的盈利总额ω1（万元），将超过同样时间内发电机不作改造升级时的发电盈利总额ω2（万元）？
【答案】（1）1560千瓦，9900千瓦；（2）y=60x+1440（1≤x≤6）；（3）17.
【解析】

300×5+1560300×3+300×2×（1+20%）+300×2+300×3×（1+20%）+300×1+300×4×（1+20%）+300×5×（1+20%）
=1500+1560+1620+1680+1740+1800=9900．

考点：1.一次函数和不等式的应用；2.由实际问题列函数关系式．
13.（常州）某小商场以每件20元的价格购进一种服装，先试销一周，试销期间每天的销量（件）与每件的销售价x（元/件）如下表：
x（元/件）
38
36
34
32
30
28
26
t（件）
4
8
12
16
20
24
28
（1）试求t与x之间的函数关系式；
2）在商品不积压且不考虑其它因素的条件下，每件服装的销售定价为多少时，该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？（注：每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价-每件服装的进货价）
【答案】（1）；（2）x=30时，获得的毛利润最大，最大毛利润为200元．
【解析】

考点：1.一次函数和二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系．
14.（常德）在体育局的策划下，市体育馆将组织明星篮球赛，为此体育局推出两种购票方案（设购票张数为x，购票总价为y）：
方案一：提供8000元赞助后，每张票的票价为50元；
方案二：票价按图中的折线OAB所表示的函数关系确定．
（1）若购买120张票时，按方案一和方案二分别应付的购票款是多少？
（2）求方案二中y与x的函数关系式；
（3）至少买多少张票时选择方案一比较合算？

【答案】(1)14000,13200; （2）y=60x+6000．（3）200.
【解析】

（2）当0＜x≤100时，
设y=kx，代入（100，12000）得

所以至少买200张票时选择方案一比较合算．
【考点】一次函数的应用．
15.（抚顺）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？

【答案】（1）y=-2x+60（10≤x≤18）；（2）销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．（3）15元．
【解析】
试题分析：（1）设函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于18元/千克，得出自变量x的取值范围；
（2）根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可；
（3）先把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值．

答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．
考点：二次函数的应用．
16.（眉山）“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．
（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？
（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？
【答案】（1）每箱产品应涨价5元；
（2）每箱产品应涨价7.5元才能获利最高．
【解析】
试题分析：（1）设每箱应涨价x元，得出日销售量将减少2x箱，再由盈利额=每箱盈利×日销售量，依题意得方程求解即可；
（2）设每箱应涨价x元，得出日销售量将减少2x箱，再由盈利额=每箱盈利×日销售量，依题意得函数关
答：每箱产品应涨价7.5元才能获利最高．
考点：1.二次函数的应用2.一元二次方程的应用．
17.（资阳）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=-20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=-10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．
（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？
（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．
【答案】（1）5；（2）采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．
【解析】

，

解不等式①得，x≥11，
解不等式②得，x≤15，
所以，不等式组的解集是11≤x≤15，
∵x为正整数，
∴x可取的值为11、12、13、14、15，

答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．
考点：二次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
18.（乐山）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下：
甲印刷社收费y（元）与印制数x（张）的函数关系如下表：
印制x（张）[来源:中.考.资.源.网]
…
100
200
300
…
收费y（元）
…
15
30
45
…
乙印刷社的收费方式为：500张以内（含500张），按每张0.20元收费；超过500张部分，按每张0.10元收费．
（1）根据表中规律，写出甲印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式；
（2）若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？
（3）活动结束后，市民反映良好，兴趣小组决定再加印800张宣传单，若在甲、乙印刷社中选一家，兴趣小组应选择哪家印刷社比较划算？
【答案】
【解析】[来源:中.考.资.源.网]

考点：一次函数的应用．

41