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七年级因式分解

【因式分解】讲义
知识点1：分解因式的定义
1、分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。
例如：判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式：
①（ ） ② （ ）
③ （ ） ④ （ ）
知识点2：公因式
公因式： 定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式的确定：
（1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号）
（2）系数：取系数的最大公约数； （3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的；
（4）所有这些因式的乘积即为公因式；
例如：、_________
2、多项式分解因式时，应提取的公因式是
3、的公因式是__________

知识点3：用提公因式法分解因式
提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成
几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例如：1、可以直接提公因式的类型：
（1）=_____________
（2）=____________
（3）=_____________
（4）不解方程组，求代数式的值
2、式子的第一项为负号的类型：
（1）① =_____________
②=
（2）若被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解（特别是用到平方差公式时）
如：=
1、多项式:的一个因式是,那么另一个因式是
2、分解因式－5(y－x)3－10y(y－x)3

3、公因式只相差符号的类型：公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的
因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。（若同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次
里面的字母的位置，如：
例：( 1)（b－a）2+a（a－b）+b（b－a）（2）（a+b－c）（a－b+c）+（b－a+c）·（b－a－c）

（3）

1、把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于
2、多项式的分解因式结果
3、分解因式：（1） )
（2）－6(x－y)4－3y(y－x)5
知识点4、公式法分解因式
公式法分解因式：如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法
叫做公式法。
一、平方差公式分解因式法
平方差公式：两个数的平方差，等于这两个的和与这两个数的差的积。即a2-b2=(a+b)(a-b)
特点：a.是一个二项式，每项都可以化成整式的平方. b.两项的符号相反.
例如：1、判断能否用平方差公式的类型
（1）下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）
A、-a2+b2 B、x2-y2 C、49x2y2-z2 D、16m4-25n2p2
（2）下列各式中，能用平方差分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
2、直接用平方差的类型：

3、整体的类型：

4、提公因式法和平方差公式结合运用的类型
m3—4m = ． ．
练习：将下列各式分解因式
100x2－81y2 9(a－b)2－(x－y)2；

二、完全平方式分解因式法
完全平方公式：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
即 a2+2ab+b2=(a+b)2 ; a2-2ab+b2=(a-b)2

特点：（1）多项式是三项式； （2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；
（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.
1、判断一个多项式是否可用完全平方公式进行因式分解
如：下列多项式能分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
2、关于求式子中的未知数的问题
如：1、若多项式是完全平方式，则k的值为

2．若是关于x的完全平方式，则k=

3. 若是关于x的完全平方式则m=__________

3、直接用完全平方公式分解因式的类型
； ； ；

4、整体用完全平方式的类型
(x－2)2＋12(x－2)＋36；

5、用提公因式法和完全平方公式分解因式的类型
-4x3+16x2-16x； ax2y2+2axy+2a

已知：，求的值

练习：分解因式
（1） （2） （3）

（4） （5）

（6） （7）

知识点5、十字相乘法分解因式
十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式：（x+a）（x+b） =，用来把某些多项式分解因
式，这种分解因式的方法叫做十字相乘法。
1、 二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式—进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例题讲解1、分解因式：
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5 1 2
解：= 1 3
= 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例题讲解2、分解因式：
解：原式= 1 -1
= 1 -6
（-1）+（-6）= -7
练习
分解因式(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

2、二次项系数不为1的二次三项式——
条件：（1）
（2）
（3）
分解结果：=
例题讲解1、分解因式：
分析： 1 -2
3 -5
（-6）+（-5）= -11
解：=
分解因式：（1） （2）

（3） （4）

3、二次项系数为1的齐次多项式
例题讲解、分解因式：
分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b
1 -16b
8b+(-16b)= -8b
解：==

分解因式(1) (2) (3)

4、二次项系数不为1的齐次多项式
例题讲解
1 -2y 把看作一个整体 1 -1
2 -3y 1 -2
(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3
解：原式= 解：原式=

分解因式：（1） （2）

如: 分解因式： a2 +6ab +5b2

x2+5x+6 x2-5x+6 x2-5x-6
练习题：
x2+7x+12 x2-8x+12 x2-x-12 x2+4x-12

y223y+22 x2-8x-20 x2+9xy-36 y2 x2+5x-6

知识点6、分组的方法分解因式
如：

练习题：
（1） （2） （3）

（4） （5）
小结：因式分解的常规方法和方法运用的程序，可用“一提二公三叉四分”这句话来概括。
“一提”是指首先考虑提取公因式；“二公”即然后考虑运用公式（两项用平方差公式或立方和、立方差公式，三项的用完全和平方、差平方公式）；“三叉”就是二次三项式能否进行十字相乘法；“四分”是四项以上考虑分组分解法。