函数定义域-值域求法以及分段函数.doc

(一）函数得概念
1.函数得概念：
设A、B就是非空得数集，如果按照某个确定得对应关系f,使对于集合Ａ中得任意一个数x，在集合B中都有唯一确定得数f（x)与它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合Ｂ得一个函数(ｆunction)．
记作： ﻩ ｙ=f(x)，x∈A．
其中，ｘ叫做自变量,x得取值范围A叫做函数得定义域(ｄomａin);与ｘ得值相对应得y值叫做函数值，函数值得集合｛f（x）| x∈A　｝叫做函数得值域(range）．
注意:
“ｙ=ｆ（x）”就是函数符号,可以用任意得字母表示,如“y＝g(x)”；
函数符号“ｙ＝f(x）”中得f（ｘ）表示与x对应得函数值，一个数，而不就是f乘x.
2． 构成函数得三要素:
定义域、对应关系与值域
3．区间得概念
ﻩ(1)区间得分类：开区间、闭区间、半开半闭区间;
ﻩ(2)无穷区间;
ﻩ（3）区间得数轴表示.
4．一次函数、二次函数、反比例函数得定义域与值域讨论
（二）映射
一般地,设A、B就是两个非空得集合，如果按某一个确定得对应法则f,使对于集合A中得任意一个元素ｘ,在集合B中都有唯一确定得元素y与之对应,那么就称对应f：AＢ为从集合A到集合B得一个映射（ｍappiｎg）。
记作“f:ＡＢ”
说明：
(1)这两个集合有先后顺序，Ａ到B得射与B到A得映射就是截然不同得.其中f表示具体得对应法则,可以用汉字叙述.
(2)“都有唯一"什么意思?
包含两层意思：一就是必有一个；二就是只有一个,也就就是说有且只有一个得意思.
1． 例题分析：下列哪些对应就是从集合A到集合B得映射？
（１)A={P ｜　P就是数轴上得点},B=R，对应关系f：数轴上得点与它所代表得实数对应；
(2)A＝{ P |　P就是平面直角体系中得点｝，B=｛（x，ｙ)| x∈R,ｙ∈Ｒ}，对应关系ｆ:平面直角体系中得点与它得坐标对应;
(3）A＝｛三角形｝,Ｂ＝｛x | x就是圆},对应关系f：每一个三角形都对应它得内切圆;
(4)A＝｛x ｜ x就是新华中学得班级｝,Ｂ={x ｜ x就是新华中学得学生｝，对应关系ｆ：每一个班级都对应班里得学生.
思考:
将（3）中得对应关系f改为：每一个圆都对应它得内接三角形；(4）中得对应关系ｆ改为:每一个学生都对应她得班级，那么对应f： BA就是从集合B到集合A得映射吗?
（三)函数得表示法
常用得函数表示法：(1）解析法；
（2）图象法；
(3)列表法。
三、典例解析
1、定义域问题
例１ 求下列函数得定义域:
①　;②　；③
解:①∵x—2=0，即x=2时,分式无意义,
而时,分式有意义，∴这个函数得定义域就是、
②∵３x+２＜0,即x＜-时,根式无意义,
而，即时,根式才有意义，
∴这个函数得定义域就是｛|}、
③∵当，即且时，根式与分式 同时有意义，
∴这个函数得定义域就是{|且｝
另解:要使函数有意义,必须： Þ
例２ 求下列函数得定义域：
①　 　 ②
③ 　 　 　 　 ④
⑤
解：①要使函数有意义，必须: 　即：
∴函数得定义域为:　[］
②要使函数有意义，必须：

∴定义域为：｛ x|}
③要使函数有意义,必须:　 　Þ
　∴函数得定义域为:
④要使函数有意义，必须： 　
　 ∴定义域为：
⑤要使函数有意义，必须：　　
即 ｘ〈　或　　ｘ〉 ∴定义域为：
例3 　若函数得定义域就是R,求实数a　得取值范围
解：∵定义域就是Ｒ,∴
∴
例4　若函数得定义域为［-1,1］，求函数得定义域
解:要使函数有意义,必须:

∴函数得定义域为：
例５　已知ｆ（x)得定义域为［—1，1]，求f（2x－1)得定义域。
分析:法则f要求自变量在［－1，1]内取值,则法则作用在２x-1上必也要求2x-1在 [－１,1]内取值，即-1≤２ｘ—1≤1，解出x得取值范围就就是复合函数得定义域；或者从位置上思考f(2x－1）中2x-1与f（x）中得x位置相同，范围也应一样,∴－1≤2ｘ－１≤1，解出x得取值范围就就是复合函数得定义域。
（注意：f(ｘ）中得x与f（2x-1）中得ｘ不就是同一个x，即它们意义不同。)
解：∵f(ｘ)得定义域为［—1,1］,
∴－１≤2x—1≤1，解之0≤x≤1,
∴f(2x—1）得定义域为［0，１].
例6已知已知ｆ(ｘ）得定义域为［—1,1］,求f（ｘ2)得定义域。
答案:－1≤ｘ2≤1 x2≤1—1≤x≤1
练习:设得定义域就是［-３，]，求函数得定义域
解:要使函数有意义，必须: 　得:　
∵　≥０ 　∴ 　　
∴ 函数得定域义为:
例7已知f（2x－1）得定义域为[0,1］，求f（x）得定义域
因为2x—1就是R上得单调递增函数，因此由2ｘ-１， x∈［０，１］求得得值域[－1，１］就是f(x)得定义域。
已知f（3x—１)得定义域为[－１，２),求f（2ｘ+1)得定义域。）
（提示:定义域就是自变量ｘ得取值范围)
练习:
已知ｆ(ｘ2)得定义域为[－1,1］，求ｆ（ｘ)得定义域
若得定义域就是，则函数得定义域就是ﻩ( 　）
Ａ。 ﻩB C. ﻩﻩＤ。
已知函数得定义域为A,函数得定义域为Ｂ，则 ﻩﻩ(　 ）
Ａ。 B。B Ｃ。 ﻩﻩＤ。
2、值域问题
利用常见函数得值域来求(直接法）
一次函数y=aｘ+b（a0）得定义域为Ｒ,值域为Ｒ;
反比例函数得定义域为｛x|ｘ0｝,值域为{ｙ｜y0｝;
二次函数得定义域为Ｒ，
当a〉0时，值域为｛｝；当a＜0时,值域为｛｝、
例１ 求下列函数得值域
① y=3ｘ＋２（-1x1）　 　　 ②
③　(记住图像） 　　　 　
解:①∵—1x１，∴-33x3，
∴—1３x+25，即—1ｙ5,∴值域就是[-1,5］
②略
③ 　当ｘ〉０，∴=,
当ｘ<0时,＝－
∴值域就是[2,+）、（此法也称为配方法）
函数得图像为：
二次函数在区间上得值域(最值）：
例2 　 求下列函数得最大值、最小值与值域:
①； 　　 　　 ②；
③;　 ④;
解:∵,∴顶点为（２，－３），顶点横坐标为2、　
①∵抛物线得开口向上，函数得定义域R,
∴x＝２时，ymｉｎ=—3　，无最大值；函数得值域就是{y｜y-3　}、
②∵顶点横坐标2[３，4］,
当x=3时,ｙ＝ —2;x=4时,ｙ＝1;　
∴在[３，4］上，=－2,=１;值域为[－2,1］、
③∵顶点横坐标2 ［0，1]，当x＝0时，y=1;x＝1时,y=－２，
∴在［0，１］上,=—2，=1；值域为[—２，1］、
④∵顶点横坐标2 [0,5］，当x=０时，ｙ=1；x＝２时,y=-3， ｘ=5时，y=6，
∴在［0，1］上,=－3，=6;值域为［-3，6]、
注:对于二次函数,
⑴若定义域为R时，
①当a＞0时，则当时，其最小值;
②当a〈0时,则当时其最大值、
⑵若定义域为x　[a，b］，则应首先判定其顶点横坐标x0就是否属于区间［a,b]、
①若［a，b],则就是函数得最小值（ａ>0)时或最大值（a＜０)时，
再比较得大小决定函数得最大(小）值、
②若[a,b]，则［a,b]就是在得单调区间内，只需比较得大小即可决定函数得最大（小)值、
注:①若给定区间不就是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标就是字母时，则应根据其对应区间特别就是区间两端点得位置关系进行讨论、
练习:1、求函数ｙ＝3+√(2—3ｘ)得值域
解：由算术平方根得性质,知√（2－3x）≥0，
　 故３+√（2—３x)≥３。

　 　 ∴函数得值域为　　、
2、求函数 得值域
解： 对称轴

例3　 求函数y＝4x—√1－3x(ｘ≤１/3)得值域。
解:法一:（单调性法）设f（x)=4x,g(x）＝ —√1－3x ，(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(ｘ)＋g(x）=　4x－√１—3ｘ　
在定义域为ｘ≤1／3上也为增函数，而且y≤f（1/3）+g（1/３）=4/３,因此，
所求得函数值域为｛y｜ｙ≤４／3｝。
　 小结:利用单调性求函数得值域，就是在函数给定得区间上,或求出函数隐含得区间，结合函数得增减性，求出其函数在区间端点得函数值，进而可确定函数得值域.
练习:求函数y=3+√４—x　 得值域。（答案：{y|y≥3｝）
法二：换元法
例4 求函数 得值域
解：（换元法)设，则

　　　点评：将无理函数或二次型得函数转化为二次函数,通过求出二次函数得最值，从而确定出原函数得值域。这种解题得方法体现换元、化归得思想方法。它得应用十分广泛.
练习:求函数y=√x-1　–x得值域。(答案：｛y|y≤-3/4｝
例６　 　求 得值域
解法一：(图象法）可化为 　 如图，
观察得值域
解法二：（零点法）画数轴 利用可得。
-1
0
3

练习:得值域呢? 　 　　 　 　 　　 　 　　 （）（三种方法均可)
例7 求函数　得值域
解：（换元法）设 ,则　　原函数可化为
1
0
x
y

例8求函数　得值域
解：(换元法)令,则
由指数函数得单调性知,原函数得值域为 　
例9 求函数　 得值域
解:(图象法）如图,值域为
例10 求函数 得值域
解法一：（逆求法）
解法二：（分离常数法)由 ,可得值域
小结:已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量得要求）内,值域为;如果就是条件定义域(对自变量有附加条件)，采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。
例11 　 求函数　得值域
0
1
1

解法一:(逆求法）　　
小结：如果自变量或含有自变量得整体有确定得范围，可采用逆求法.
解法二:(换元法）设 ，
则

0
1

练习:ｙ=；（y∈(-1，1)）、
例13 函数 得值域
解法一:(逆求法)

2
解法二：（换元法）设　,则

例13 求函数得值域
解令，则

　 　　　　 　所以，值域
　 练习:
１ 、；
解：∵x0，,∴y11、
另外，此题利用基本不等式解更简捷：（或利用对勾函数图像法）
2 、
0〈y5、
3 、求函数得值域
①; 　 ②
解：①令0,则,
原式可化为，
∵ｕ0，∴y，∴函数得值域就是(—，］、
②解:令 ｔ＝4x-0　得 0x4　
在此区间内 （４x-)=４　 ，（4x-） =0
∴函数得值域就是｛ y| 0ｙ2}
4、求函数ｙ=|ｘ+1|＋｜ｘ-2｜得值域、
解法１：将函数化为分段函数形式:,画出它得图象(下图)，由图象可知，函数得值域就是{y|y3}、
解法2：∵函数y=｜x+1|+｜x-2｜表示数轴上得动点x到两定点-１，2得距离之与,∴易见y得最小值就是3，∴函数得值域就是[3，＋]、　 如图

５、求函数得值域
解:设 则　t０ x=1-
代入得
　 　∵t0 ∴y4
3、分段函数
分段函数就是指自变量在两个或两个以上不同得范围内， 　有不同得对应法则得函数,　 它就是一个函数，　 却又常常被学生误认为就是几个函数；　 它得定义域就是各段函数定义域得并集, 其值域也就是各段函数值域得并集、　由于它在理解与掌握函数得定义、函数得性质等知识得程度得考察上有较好得作用， 　时常在高考试题中“闪亮"登场。
1.求分段函数得定义域与值域
例1。求函数得定义域、值域、
【解析】
作图, 利用“数形结合”易知得定义域为， 　值域为
2.求分段函数得函数值
例2。已知函数求、
【解析】
因为, 所以、
3。求分段函数得最值
例3．求函数得最大值、　
【解析】当时， ， 当时， , 当时, ， 综上有、
4．求分段函数得解析式
例4．在同一平面直角坐标系中, 函数与得图象关于直线对称，　　现将得图象沿轴向左平移２个单位, 再沿轴向上平移1个单位， 所得得图象就是由两条线段组成得折线(如图所示）,　 则函数得表达式为（ ）

【解析】
当时，　 ， 　将其图象沿轴向右平移2个单位， 再沿轴向下平移１个单位， 得解析式为，　 所以， 当时，　　，　 将其图象沿轴向右平移２个单位， 再沿轴向下平移1个单位，　 得解析式,　 所以， 综上可得， 故选A、
9。解分段函数得不等式
例１１．设函数, 若，　 则得取值范围就是( ）

【解析1】
首先画出与得大致图像, 易知时， 　所对应得得取值范围就是、
【解析2】
因为,　　当时， ， 解得, 当时, , 解得, 综上得取值范围就是、 故选Ｄ、　
例12.设函数, 　则使得得自变量得取值范围为( ）
A. 　 　 　 　 B、 　
C、　 　 D、
【解析】
当时， ,　　所以, 当时, 　，　 所以，　 综上所述， 　或， 故选A项、
【点评：】
以上分段函数性质得考查中，　 不难得到一种解题得重要途径,　 若能画出其大致图像， 　定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解，　方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化， 效果明显、