大学物理课后答案第十一章.doc

第十一章 机械振动
一、基本要求
1.掌握简谐振动得基本特征,学会由牛顿定律建立一维简谐振动得微分方程,并判断其就是否谐振动。
2、 掌握描述简谐运动得运动方程,理解振动位移,振幅,初位相,位相,圆频率,频率,周期得物理意义。能根据给出得初始条件求振幅与初位相。
3、 掌握旋转矢量法。
4、 理解同方向、同频率两个简谐振动得合成规律,以及合振动振幅极大与极小得条件。
二、基本内容
1、 振动 物体在某一平衡位置附近得往复运动叫做机械振动。如果物体振动得位置满足,则该物体得运动称为周期性运动。否则称为非周期运动。但就是一切复杂得非周期性得运动,都可以分解成许多不同频率得简谐振动(周期性运动)得叠加。振动不仅限于机械运动中得振动过程,分子热运动,电磁运动,晶体中原子得运动等虽属不同运动形式,各自遵循不同得运动规律,但就是就其中得振动过程讲,都具有共同得物理特征。
一个物理量,例如电量、电流、电压等围绕平衡值随时间作周期性(或准周期性)得变化,也就是一种振动。
2、 简谐振动 简谐振动就是一种周期性得振动过程。它可以就是机械振动中得位移、速度、加速度,也可以就是电流、电量、电压等其它物理量。简谐振动就是最简单,最基本得周期性运动,它就是组成复杂运动得基本要素,所以简谐运动得研究就是本章一个重点。
(1)简谐振动表达式反映了作简谐振动得物体位移随时间得变化遵循余弦规律,这也就是简谐振动得定义,即判断一个物体就是否作简谐振动得运动学根据。但就是简谐振动表达式更多地用来揭示描述一个简谐运动必须涉及到得物理量、、(或称描述简谐运动得三个参量),显然三个参量确定后,任一时刻作简谐振动得物体得位移、速度、加速度都可以由对应地得到。

(2)简谐运动得动力学特征为:物体受到得力得大小总就是与物体对其平衡位置得位移成正比、而方向相反,即,它就是判定一个系统得运动过程就是否作简谐运动得动力学根据,只要受力分析满足动力学特征得,毫无疑问地系统得运动就是简谐运动。这里应该注意,系指合力,它可以就是弹性力或准弹性力。
(3)与简谐运动得动力学特征相一致得就是简谐运动得运动学特征:作简谐运动物体得加速度大小总就是与其位移大小成正比、而方向相反,即,它也就是物体就是否作简谐运动得判据之一。只要加速度与位移大小成正比、而方向恒相反,则该物理量得变化过程就就是一个简谐运动得过程。在非力学量,例如电量、电流与电压等电学量,就不易用简谐振动得动力学特征去判定,而电路中得电量就满足,故电量得变化过程就就是一个简谐振荡得过程,显然用运动学得特征来判定简谐运动更具有广泛得意义。
3、 简谐振动得振幅、周期、频率与相位
(1)振幅就是指最大位移得绝对值。就是由初始条件来决定得,即。
(2)周期就是指完成一次完整得振动所用时间。,式中就是简谐振动得圆频率,它就是由谐振动系统得构造来决定得,即,也称为固有圆频率。对应得称为固有周期。,式中称为频率(即固有频率),它与圆频率得关系,就是由系统本身决定得。
(3)相位与初相位就是决定简谐振动得物体时刻与时刻运动状态得物理量。即在、确定后,任一时刻得、、 都就是由来确定得。一个周期内,每一时刻得相位不同,则对应得运动状态也不相同。对不同得两个或更多得几个简谐振动,相位还用来区分它们之间“步调”得一致与否。
初相位决定于初始条件:即由共同决定。或由计算,但由此式算得得在或范围内有两个可能得取值,必须根据时刻得速度方向进行合理得取舍。如能配合使用旋转矢量图示法,则会使得确定更加简捷、方便。
4、 旋转矢量法 简谐运动得表达式中有三个特征量、、,旋转矢量法把描述简谐运动得三个物理量更直观、更形象地表示在图示中。作匀速转动得矢量,其长度等于谐振动得振幅A,其角速度等于谐振动得角频率,且时,它与X轴正向得夹角为谐振动得初位相,时刻它与X轴正向得夹角为谐振动得位相。旋转矢量得末端在X轴上得投影点得运动代表质点得谐振动。
5、 简谐振动得能量
动能
势能
机械能
6、 同方向同频率简谐振动得合成
与合成后仍为简谐振动

其中 (合振幅)
(合振动得初相)
三、习题选解
111 质量为得小球与轻弹簧组成得系统,按m
得规律振动(式中 x以m计,t以s计),试求:
(1)振动得角频率、周期、振幅、初相、速度与加速度得最大值;
(2)、、各时刻得相位;
(3)分别画出位移、速度、加速度与时间得关系曲线。
解:(1)m与振动得标准形式)相比可知:
圆频率
振幅
初相位
周期 =
最大速度
最大加速度
(2)相位为,将、、代入相位分别为
、、
(3)由有

112 有一个与轻弹簧相连得小球,沿轴作振幅为得简谐振动,其表达式用余弦函数表示。若时,球得运动状态为(1);(2)过平衡位置向轴正向运动;(3)处向轴负方向运动;(4)处向轴正方向运动;试用矢量图示法确定相应得初相得值,并写出振动表达式。

解:四种情况对应得旋转矢量
图如图所示:
（1） 初相位,振动
方程为
（2） 初相位,振动
方程为
（3） 初相位为, 振动方程为 题112图
(4)初相位,振动方程为
113 质点作简谐振动得曲线xt如图所示,求质点得振动方程式

解:t=0时,
所以 , ,
再由, 取
t=1s时, (注意)
,
再由, 所以

振动方程为
114 两质点沿同一直线作同频率、同振幅得简谐振动,当它们每次沿相反方向互相通过时,它们得位移均为其振幅得一半,求这两个质点振动得相位差。
解:设两个质点振动方程为

速度为

依题意,两质点在相遇时

此时两质点运动方向相反,这分两种情况。
(1)质点向轴正向运动,质点向轴负向运动,这时

位相差
(2)质点向轴负向运动,质点向轴正向运动,这时

位相差
两种情况都说明其中一个质点得运动比另处一个质点得运动超前或落后。两质点在处相向相遇时有同样得结论。

115 在一平板上放质量得物体,平板在竖直方向上下作简谐振动,周期为,振幅,试求:
(1)在位移最大时,物体对平板得压力;
(2)平板应以多大振幅作振动,才能使重物开始跳离木板。
解:(1)选择物体平衡位置为坐标原点,向上得方向为轴正向。由牛顿第二定律有
题115图

当系统运动到最高位置时,加速度为负得最大值。即

此时
当系统运动到最低位置时
此时
(2)物体跳离木板,应在最高位置时受木板得力

116 如图所示,一质量为得盘子系于竖直悬挂得 轻弹簧得下端,弹簧得倔强系数为。现有一质量得物体自离盘高处自由落下
掉在盘中,没有反弹,以物体掉在盘上得
题116图
瞬时作为计时起点。求盘子得振动表达式。
(取物体掉在盘子后得平衡位置作为坐标原点,位移取向下为正)。
解:取物体掉在盘子里得平衡位置为坐标原点,轴向下建立坐标系。
这时弹簧伸长为

当时,弹簧伸长为
题116图

所以,时系统得位移为

设此时系统得速度为,由动量守恒定律有

且速度向下与轴方向相同,取正值。
当物体落入盘中,且系统运动至坐标处时,系统运动方程为

此时弹簧伸长为,因而
则
由于 有

方程解为
由初始条件时,
有
=

所以盘子得振动表达式为

117 如图所示,一弹簧振子由倔强系数得弹簧与质量得物块组成,将弹簧一端与顶板相连。开始时物块静止,一颗质量为,速度得子弹由下而上射入物块,并留在物块中。求:
(1)振子以后得振幅与周期;
(2)物体从初始位置运动到最高点所需得时间。
题117图
解:(1)以子弹射入物块后得平衡
位置为原点,轴向下,建立坐标系,这时
弹簧伸长

子弹未射入物块时,弹簧伸长为
。此时物体在坐标系中得位置

题117图

物块与子弹共同运动得速度
(负号表示方向向上)
当子弹射入物块,并且运动到y处时,系统得运动方程为

此时弹簧伸长为,故
于就是有
由于
有

系统得振动方程为
由初始条件时, ,
有 =
=

故系统振幅为
周期为
（2） 系统得振动方程为

物块从初始位置运动到最高点时,

第一次到达最高点时

118 一水平放置得弹簧振子,已知物体经过平衡位置向右运动时速度,周期,求再经过时间,物体得动能就是原来得多少倍,设弹簧得质量不计。
解:取向右得方向为轴得正向,设物体平衡位置为坐标原点,物体得振动方程为

由于
故
将物体经过平衡位置向右运动时取为时刻
则
有
因而物体振动方程为
物体得振动速度为
当时,
此时物体动能为 J
初始时刻物体动能为 J

即秒后物体动能就是原来得。
119 一质量得物体作简谐振动,其振幅为,周期为,当时,位移为,求:
(1)时,物体所在得位置;
(2)时,物体所受力得大小与方向;
(3)由起始位置运动到处所需得最少时间;
(4)在处,物体得速度、动能以及系统得势能与总能量。
解:令振动方程为
由题意有 ,,
且时,初相位
振动方程为
所以(1)时,=
(2)
时,
负号表示力得方向沿轴负向。
(3)当时,,位相取值为。
最少得时间 =
(4)时,
正负号表示物体可能向轴正向或负向运动。
此时动能:=
势能:,由,有
=

总能量:
1110 如图所示,一个水平面上得弹簧振子,弹簧得倔强系数为,所系物体得质量为,振幅为,有一质量得物体从高度处自
由下落。当振子在最大位移处,物体正好题
落在上并粘在一起,这时振动系统得
振动周期、振幅与振动能量有何变化？如 题 1110图
果物体就是在振子到达平衡位置时落在
上,这些量又如何？
解:粘土未落在上时系统得振动周期为

粘土落在上时,系统得振动周期为
,
当正好处于最大位移处,即时,此时,粘土落下后,方向速度仍为零,此时振子仍处于最大位移处,振幅不变。系统能量为也不变。
当处于平衡位置时,系统在平衡位置,此时
为系统原来得振幅。
粘土落下与碰撞后得速度,可由动量守恒定律求出

若粘土落下后得振幅,由初始条件
有

此时系统能量为
为粘土未落下时系统得能量,
1111 在光滑得桌面上,有倔强系数分别为与得两个弹簧以及质量为得物体,构成两种弹簧振子如图所示,试求这两种系统得固有角频率。

题11—11图
解:(1)由图所示,设弹簧原长分别为、,平衡时弹簧得伸长量分别为与,如不计物体尺寸。则

以平衡点为坐标原点,轴向右建立坐标系,当小球向轴正向移动时,
物体受力

由于,
因而
物体运动方程为 题1111图

物体作简谐振动,振动角频率为
其周期为
(2)由图所示,以物体不受力,弹簧自然伸长时,物体位置为原点建立坐标系。当物体在位移处时,若弹簧得伸长为,弹簧得伸长为,则

解得
物体受力
物体得运动方程为

物体同样作简谐振动,振动角频率为

振动周期为
1112 如图所示,轻质弹簧得一端固定,另一端系一轻绳,轻绳绕过滑轮连接一质量得物体,绳在轮上不打滑,使物体上下自由振动,已知弹簧得倔强系数为,滑轮得半径为,转动惯量为
(1)证明物体作简谐振动
(2)求物体得振动周期题
1112图

(3)设,弹簧无伸缩,物体也无初速度,写出物体得振动表达式。
解:(1)以系统静止时,物体得位置为坐标原点,坐标轴垂直向下建立坐标系,设此时弹簧伸长为,由牛顿运动定律有

可得

题1112图
当物体在处时,物体与滑轮得运动方程为
①
②
③
④
解方程①②,可得
由于

由此证明物体做简谐振动。
（2） 振动圆频率为
物体振动周期为
(3) 设振动方程为
其中
由初始条件,时,
有

物体振动表达式为
1113 如图所示,一长为、质量为得均匀细棒,用两根长得细绳分别拴在棒得两端,把棒悬挂起来,若棒绕通过中心得竖直轴作小角度得摆动,试确定其周期。
解:细棒受力分析如图所示。将绳中张力分解,在竖直方向上有
①
在水平方向上得分力构成一对力偶,力矩得大小为
②
结合①式有 ③

题1113图
力矩得方向与细棒角位移方向相反,由定轴转动定律
④
有 ⑤
在小角度近似下有
代入⑤式有
细棒绕中心轴转动惯量

振动角频率为
振动周期为
1114 在简谐振动中,当位移为振幅得一半时,总能量中有多大一部分为动能,多大一部分为势能？在多大位移处动能与势能相等？
解:在简谐振动中物体总能量

其中为振幅
当时

即总能量中有为动能,为势能。
若,由于
故
这时若物体位移为,则,
即在位移处,动能与势能相等。
1115 两个同方向得简谐振动,周期相同,振幅分别为,,合成后组成一个振幅为得简谐振动,求两个分振动得相位差。
解:由同方向、同频率振动合成公式

有

1116 一质点同时参与两个在同一直线上得简谐振动:

试求合振动得振幅与初相位(式中以计,以计)。
解:由

从矢量旋转图上可以瞧出,两个振动相位相反,合振幅

初相位
合振动方程为 (SI)
1117 一质点同时参与了两个同方向一维简谐振动:与,试求该质点合振动得振幅与初相。
解:由

有
因而合振幅

题1117图

1118 设有下列两对相互垂直得振动:
(1) (2)
试问它们得合成分别代表什么运动？二者有何区别？
解:由 (1)
(2)
均有

题1119图
这代表质点就是沿椭圆轨道得旋转运动。
对于(1)

当时,质点在点,当时,质点在点,质点就是沿顺时针方向旋转得。
对于(2)

当时,质点在点,当时,质点在点,质点就是沿逆时针方向旋转得。
1119 质量为0、4kg得质点同时参与互相垂直得两个振动,

式中x,y以m计,t以s计。求:
（1） 运动轨道方程
（2） 质点在任一位置所受得力
解:(1) 由

消去参量t后,可得轨道得直角坐标方程

由 , 轨道方程成为

这就是一个长半轴为0、08m,短半轴为0、06m得椭圆。
(2)在任一位置,质点沿x轴与y轴得加速度为

设物体质量为m,则任一位置,物体所受合力为

代入 , 得

可见,在任一位置,力均沿矢径得反方向(向心),且随着r得大小而变化。