【黑龙江省哈尔滨师大附中】2017届高三上学年期期中考试(文)数学年试题.pdf

1/14 黑龙江省哈尔滨师大附中黑龙江省哈尔滨师大附中 2017 届高三上学期期中考试（文）数学试卷届高三上学期期中考试（文）数学试卷 答答 案案 15DAABD 610DACAC 1112DB 13177,178 142(2,2)33kkkZ 153 164 17（1）由(,)aa c(1 2cos,2cos1)bAC且/ab 得(2cos1)(1 2cos)aCcA 由正弦定理得sin(2cos1)sin(1 2cos)ACCA 化简为2sincos2cossinsinsinACACAC，即2sin()sinsinACAC ABC中ABC，所以2sinsinsinBAC 由正弦定理得2bac，由5b，得10ac；（2）1tan22B得4tan3B，ABC中43sin,cos55BB，所以43sin(),cos()55ACAC 又2sinsinsinBAC，843sinsin()sincossin555AACAAAA 化简为22sincosAA，所以2cossin2AA，代入22sincos1AA 得cos0A或4cos5A 又A为ABC的最大内角，所以coscosAB，所以cos0A，所以2A 18、（1）又222nnaS，得2844,nnnSaa 所以2n时，11()(4)0nnnnaaaa 数列 na各项为正数，所以140nnaa，又1n 时218448nnnSaaa，所以12a，所以通项公式为42nan（2）1111111()(42)(42)4(21)(21)8 2121nnnba annnnnn 2/14 11111111(1)(1)83352121821nTnnn 19（1）根据题意，样本中应抽取女士11002002000=110 人，男士200 11090人；110(10253535)5x，90(1530253)17y；消费金额在8000,10000（单位：元）的网购者有女士 5 人，男士 3 人，从中任选 2 名，基本事件为2828C 种，其中选出的 2 名都是男士的基本事件为 3 种，所求的概率为328P；（2）女士 男士 总计 网购达人 40 20 60 非网购达人 70 70 140 总计 110 90 200 2200(2800 1400)4.7143.841110 90 60 40k 可以在犯错误率不超过0.05的前提下，认为“是否为网购达人与性别有关”20（1）222(1)(),()1(1)xxee x xf xfxxxxx()00fxx或1x；()001fxx 函数()f x在(,0),(1,)单调递增，在(0,1)单调递减（2）当1x 时，()1f x 总成立，即当1x 时11xebx恒成立，因为0 xe，所以10bx 在1x 恒成立，所以0b 所以只需1x 时1xebx恒成立，需1xebx在1x 时恒成立，设1(),xeg xx则2(1)1()xexg xx，1x 时，2(1)1()0 xexg xx，所以1()xeg xx在1,单调递增，1x 时，()(1)1g xge，所以1be，综上01be 3/14 21（1）()1 cos2,fxx 0,时()03fxx；()003fxx 函数()f x在0,3单调递减，在,3单调递减增 0,时，min()()333fxf(0)0,(),ffmax()()fxf（2）存在(0,)2x，不等式 f xax成立 存在(0,)2x，2sinxxax成立 设()()2sin,(0)0()12cosg xf xaxxxaxgg xax 则且(0,)2x时，1 2cos(1,1)x 所以()12cos1,1g xaxaa 若10,a 即1a 时，(0)10ga 因为()12cosg xax 在(0,)2单调递增，所以存在区间0,(0,)2t，使0,xt时，()0g x，所以()g x在0,t单调递减，0,xt时()0g x 即 f xax 所以1a 22（1）若1a，()230+232f xxxax即 解集为2+3，（2，）；（2）恒成立()3f xx，即32xax恒成立，3()(3)3xaxxaxa，所以只需32a，需15a 23（1）由柯西公式222()(49)(23)xyxy，则2313,132313xyxy所以-4/14 （2）由2222220abcabc，得222(1)(1)(1)3abc，有柯西公式2222(1)(1)(1)(4 1 1)2(1)(1)(1)abcabc 得求证：218(2)abc，所以23 2abc 5/14 黑龙江省哈尔滨师大附中黑龙江省哈尔滨师大附中 2017 届高三上学期期中考试（文）数学试卷届高三上学期期中考试（文）数学试卷 解解 析析 1【专题】转化思想；数系的扩充和复数。【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出。【解答】解：复数=1i 的虚部为1 故选：D 2【专题】计算题；函数思想；定义法；集合。【分析】先分别求出集合 A 和 B，由此能求出 AB【解答】解：集合，A=x|x0 或 x1，B=y|y1，AB=（1，+）。故选：A 3【分析】利用奇函数的性质，f（1）=f（1），即可求得答案。【解答】解：函数 f（x）为奇函数，x0 时，f（x）=x2+，f（1）=f（1）=2，故选 A 4【分析】先求出不等式对应的解集，结合几何概型的概率公式进行求解即可。【解答】解：0 x，x，区间长度为，则对应的概率 P=，故选：B 5【分析】作，以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB，则=。由|+|=|=2|6/14|，可得四边形 OACB 为矩形，利用=即可得出。【解答】解：作，以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB，则=。|+|=|=2|，四边形 OACB 为矩形，=，向量+与的夹角为。故选：B 6【分析】可设an的公比为 q，利用 a1+a2=1，a4+a5=8，可求得 q，从而可求得 a5+a6与 a7+a8【解答】解：设an的公比为 q，a1+a2=1，a4+a5=q3（a1+a2）=8，q=2，a5+a6=q（a4+a5）=16，a7+a8=q3（a4+a5）=64，=4 故选：B 7【分析】先根据x的定义可知，x=y|xy|1，而取 x=19，y=21，此时满足|xy|=0.21，但xy，根据若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件进行判定即可。【解答】解：x=y1xy1 即|xy|1 而取 x=19，y=21，此时|xy|=0.21，而x=1，y=2，xy“x=y”是“|xy|1”的充分而不必要条件 故选 A 8 7/14 【分析】由题意作出其平面区域，将 z=3x+y 化为 y=3x+z，z 相当于直线 y=3x+z 的纵截距，由几何意义可得。【解答】解：由题意作出的平面区域：将 z=x+y 化为 y=x+z，z 相当于直线 y=x+z 的纵截距，由，可得，即 B（2，0）。当直线 y=x+z 经过 B 时，z 有最小值，此时 z 的最小值 2+0=2；故选：C 9【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令 x+=即可得到答案。【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程。10【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 m 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案。【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；8/14 故输出的 m 值为 6，故选：C；11【分析】由条件化简可得 3（cos+sin）=2，平方可得 1+sin2=，从而解得 sin2 的值。【解答】解：（，），且 3cos2=4sin（），3（cos2sin2）=4（cossin），化简可得：3（cos+sin）=2，平方可得 1+sin2=，解得：sin2=，12【专题】方程思想；转化思想；导数的综合应用；等差数列与等比数列。【分析】函数 f（x）的导函数 f（x）=2+sinx，可设 f（x）=2xcosx+c，利用 f（0）=1，可得：f（x）=2xcosx。由数列an是以为公差的等差数列，可得 an=a2+（n2）。由 f（a2）+f（a3）+f（a4）=3，化简可得 6a2=。利用单调性可得 a2，即可得出。【解答】解：函数 f（x）的导函数 f（x）=2+sinx，可设 f（x）=2xcosx+c，f（0）=1，1+c=1，可得 c=0.f（x）=2xcosx。数列an是以为公差的等差数列，an=a1+（n1），f（a2）+f（a3）+f（a4）=3，2（a2+a3+a4）（cosa2+cosa3+cosa4）=3，6a2+cosa2=3，6a2=。令 g（x）=6xcos，则 g（x）=6+sin在 R 上单调递增，又=0.a2=。9/14 则=2015 13【专题】计算题；数形结合；数形结合法；概率与统计。【分析】由茎叶图得这 20 名学生的身高从小到大依次排列，能求出这 20 名学生的身高的中位数和众数。【解答】解：由茎叶图得这 20 名学生的身高从小到大依次为：168，174，174，175，175，175，175，176，176，176，178，178，178，178，178，182，185，185，185，188 位于中间的两个数是 176 和 178，这 20 名学生的身高的中位数是：=177，出现次数最多的是 178，这 20 名学生的身高的众数为 178 故答案为：177，178 14【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f（x）=sin（x+），令 2kx+2k+，kZ，即可解得单调递增区间。【解答】解：=sinx+sinx+cosx=sin（x+），令 2kx+2k+，kZ，解得：2kx2k+，kZ，函数的单调递增区间为：。故答案为：。15【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计。【分析】求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出 m 的值。【解答】解：=5，=，这组数据的样本中心点是（5，），关于 y 与 x 的线性回归方程，=0.8550.25，解得 m=3，10/14 m 的值为 3 16【分析】将 x2+2xy+4y2=（x+2y）22xy=6，那么（x+2y）2=2xy+6，z=x2+4y2=（x+2y）24xy，利用基本等式的性质，即可求解。【解答】解：由题意 x2+2xy+4y2=（x+2y）22xy=6，那么（x+2y）2=2xy+6，（x+2y）24x2y=8xy，当且仅当 x=2y 时取等号。则：2xy+68xy 解得：xy1 z=x2+4y2=（x+2y）24xy8xy4yx=4 所以 z=x2+4y2的最小值为 4 故答案为：4 17【分析】（）利用平面向量平行的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可求sinA+sinC=2sinB，由正弦定理及已知即可得解。（）由已知利用倍角公式，同角三角函数基本关系式可求 sinB，cosB 的值，可求 2sinA+cosA=2，联立sin2A+cos2A=1 即可解得 cosA 的值，结合 A 是最大角，即可得解 A 的值。【解答】（本大题满分 12 分）解：（）因为：，所以，2sinAcosCsinA=sinC2sinCcosA，可得：2sinAcosC+2sinCcosA=2sin（A+C）=sinC+sinA，所以，sinA+sinC=2sinB，由正弦定理得 2b=a+c=10。6 分（），又因为 sinA+sinC=2sinB=sinA+sin（AB），则，2sinA+cosA=2，又 sin2A+cos2A=1，所以，解得，由于 A 是最大角，所以，。12 分 18【分析】（）由已知数列递推式可得，进一步得到（n2），两式作差可得 anan14=0，求出数列首项，代入等差数列通项公式得答案；11/14 （）把an的通项公式代入，由裂项相消法求数列bn的前 n 项和为 Tn。【解答】（）证明：由，得，n2 时，（n2），两式作差得：（an+an1）（anan14）=0，又数列an各项为正数，anan14=0，即数列an为等差数列。又 n=1 时，a1=2，通项公式为 an=4n2；（），。19【专题】综合题；转化思想；演绎法；概率与统计。【分析】（）根据分层抽样方法求出 x、y 的值，利用组合数计算基本事件数，即可求得相对应的概率；（）列出 22 列联表，计算得观测值 K2，对照表中数据，即可判断结论是否成立。【解答】解：（）根据题意，样本中应抽取女士 200=110 人，男士 200110=90 人；x110（10+25+35+35）=5，y=90（15+30+25+3）=17；消费金额在8000，10000（单位：元）的网购者有女士 5 人，男士 3 人，从中任选 2 名，基本事件为=28 种，其中选出的 2 名都是男士的基本事件为 3 种，所求的概率为；（）女士 男士 总计 网购达人 40 20 60 非网购达人 70 70 140 总计 110 90 200 12/14 可以在犯错误率不超过 0.05 的前提下，认为“是否为网购达人与性别有关”。20.【分析】（）通过 a=b=1，函数 f（x）的导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的单调区间；（）当 x1 时，f（x1 总成立，转化为 bx+10 在 x1 恒成立，推出 b0，即证明在x1 时恒成立，设，求出导函数，函数的最值即可推出结果。【解答】解：（），f（x）0 x0 或 x1；f（x）00 x1 函数 f（x）在（，0），（1，+）单调递增，在（0，1）单调递减。（）当 x1 时，f（x）1 总成立，即当 x1 时恒成立，因为 ex0，所以 bx+10 在 x1 恒成立，所以 b0 所以只需 x1 时 exbx+1 恒成立，需在 x1 时恒成立，设，则，x1 时，所以在1，+）单调递增，x1 时，g（x）g（1）=e1，所以 be1，综上 0be1 21【分析】（1）对 f（x）求导，利用导函数判断函数的单调性，即可求出最值；（2）存在，x2sinxax 成立，设 g（x）=f（x）ax=x2sinxax，根据 g（x）导函数判断 g（x）的单调性即可；【解答】（1）f（x）=1cos2x，0，时；函数 f（x）在单调递减，在单调递减增。13/14 x0，时，f（0）=0，f（）=，fmax（x）=f（）=；（2）存在，不等式 f（x）ax 成立；存在，x2sinxax 成立；设 g（x）=f（x）ax=x2sinxax，则 g（0）=0 且 g（x）=1a2cosx。时，12cosx（1，1）；所以 g（x）=1a2cosx（1a，1a）；若1a0，即 a1 时，g（0）=1a0；因为 g（x）=1a2cosx 在单调递增，所以存在区间，使 x（0，t）时，g（x）0，所以 g（x）在（0，t）单调递减，x（0，t）时，g（x）0 即 f（x）ax；所以：a1 22【分析】（）化简不等式，利用绝对值的几何意义求解即可。（）设 f（x）=|xa|x3|a3|，转化不等式为 a 的不等式，求解即可。【解答】（本大题满分 10 分）解：（）函数 f（x）=|xa|2若 a=1，不等式 f（x）+|2x3|0，化为：|x1|+|2x3|2 当 x时，3x6解得 x2，当 x（1，）时，可得x+22，不等式无解；当 x1 时，不等式化为：43x2，解得 x。不等式的解集为：5（）关于 x 的不等式 f（x）|x3|恒成立，可得|xa|2|x3|设 f（x）=|xa|x3|，因为|xa|x3|a3|，所以，f（x）max=|a3|即：|a3|2 所以，a 的取值范围为（1，5）10 23【分析】（）已知 x2+y2=1，由柯西公式（x2+y2）（4+9）（2x+3y）2，即可求 2x+3y 的取值范围；（）由柯西公式（a1）2+（1b）2+（1c）2（4+1+1）2（a+1）+（1b）+（1c）2，即可证明结论。14/14 【解答】（）解：由柯西公式（x2+y2）（4+9）（2x+3y）2，则|2x+3y|，2x+3y。（）证明：由 a2+b2+c22a2b2c=0，得（a1）2+（1b）2+（1c）2=3，由柯西公式（a1）2+（1b）2+（1c）2（4+1+1）2（a+1）+（1b）+（1c）2 得证：18（2abc）2，所以。