【福建省龙岩市】2017年高考一模数学(理科)试卷-答案.pdf

1/15 福建省福建省龙岩龙岩市市 2017 年高考一模数学（年高考一模数学（理理科）试卷科）试卷 答答 案案 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）15CACDC 610AADCB 1112BC 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）1343 310 1443 1501或 16110 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17解：（1）由题意可知，313()(1cos2)sin2222f xxx=sin(2)3x，令2 22+,232kkxkZ，可得5+,1212kxkkZ 即 f（x）的递增区间为5,+,1212kkkZ（2）由3()2f A 得，3sin(2)32A，A 为锐角，22333A，233A，解得3A，由4bc和余弦定理得，22222cos()3163abccbAbcbcbc，2()42bcbc，当且仅当bc时取等号，2163163 44abc，解得2a.又4abc，a 的取值范围为24a.18解：（1）证法一：在梯形 ABCD 中，ABCD，2ADDCCB，60ABC，120ADCDCB，30DCADAC，90ACB，即BCAC，又ACEFABCD平面平面，ACEFABCDAC平面平面，2/15 BCACEF平面 （2）取 G 为 EF 中点连 CG 四边形 ACEF 是菱形，60CAF，CGEFCGAC即 与（1）同理可知 CG 平面 ABCD 如图所示，以 C 为坐标原点建立空间直角坐标系，则有(2 3,0,0)A，(0,2,0)B，(3,1,0)D，(3,0,3)F，(2 3,2,0)AB ，(3,0,3)AF ，(0,1,3)DF 设111(,)mx y z是平面 ABF 的一个法向量，则00AB mAFm，即111130330 xyxz，取(3,3,1)m 设222(,)nxy z是平面 ADF 的一个法向量，则00AFnDFn，即222233030 xzyz，取(3,3,1)n 设平面 ABF 与平面 ADF 所成锐二面角为，则|55cos13|1313m nmn，即平面 ABF 与平面 ADF 所成锐二面角的余弦值为513 19（本小题满分 12 分）解：（1）记事件 A“该公司在星期一至少有 2 辆车出车”，则321321332111111 2()1()()()()()()()232323 3p ACC 3/15 =1341727272 =89（2）X 的可能取值为 0，1，2，3，4，5，23111(0)()()3272P X；13213232 11117(1)()()()3323272P XCC；23113223233212 111119(2)()()()()()323323272P XCCC；21312323323212 111125(3)()()()()()323323272P XCCC；2231332212 1116(4)()()()3233272P XCC；23214(5)()()3272P X；X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 172 772 1972 2572 1672 472 17192516417()0123457272727272726E X 20解：（1）圆 M：22270 xyy的圆心为(0,1)M，半径为2 2 点(0,1)N在圆 M 内，因为动圆 P 经过点 N 且与圆 M 相切，所以动圆 P 与圆 M 内切设动圆 P 半径为 r，则2 2|rPM 因为动圆 P 经过点 N，所以|rPN，|2 2|PMPNMN，所以曲线 E 是 M，N 为焦点，长轴长为2 2的椭圆 由2a，1c，得22 1 1b ，所以曲线 E 的方程为2212yx.（2）直线 BC 斜率为 0 时，不合题意 设11(),B x y，22(),C xy，直线 BC：xtym，联立方程组2212xtymyx得222(12)4220tymtym，122412mtyyt，21222212my yt 又124k k，知1212124(1)(1)4(1)(1)y yxxtymtym=22121244(1)()4(1)t y ymt yym 4/15 代入得222222224(14)4(1)4(1)1212mmttmmtt 又1m，化简得222(1)(1 4)2(4)2(1)(1 2)mtmtmt，解得3m，故直线 BC 过定点(3,0)由0，解得24t，22212222214444422|9212392(4)244ABCttSyytttt（当且仅当2172t 时取等号）综上，ABC面积的最大值为23 21（本小题满分 12 分）解：（1）284()84(0)mxxmg xxxxx，令()0g x得2840 xxm，因为()g x存在两个极值点 x1，x212()xx，所以方程在(0,)上有两个不等实根 x1，x2，所以1632008mm 解得102m，且1212xx，104m，所以121111111()2(,0)()()e2224xxxxxxfxx，当11(,)24x 时，()0fx，当1(,0)4x 时，()0fx，所以12()f xx的最小值为141()e4f （2）由（1）可知，102m，1212xx，12121 11(0,)84 42mx xxx，由12()g xax得12()g xax，所以2111121()44ln(2)12g xxxmxxx =2111211448ln(2)12xxx xxx 5/15 =21111111448()ln(2)212xxxxxx =211111(21)12(2)(12)ln(2)1(12)2xxxxx =111112(12)2(2)ln(2)12xxxx 令11()2(1)2 ln(0)12xxxxxx，则21()212ln(1)xxx 因为102x，所以1112x ，21(1)14x，()0 x，即()x在1(0,)2递减，1(x)()32ln22 ，综上，实数 a 的取值范围为(,3n22l 请考生在第请考生在第 22、23 题二题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所题二题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分做第一个题目计分 选修 44：坐标系与参数方程（共 2 小题，满分 10 分）22（1）解：因为2 cos()104，所以cossin10 由cosx，siny，得10 xy 因为244xtyt 消去t得24yx，所以直线 l 和曲线 C 的普通方程分别为10 xy 和24yx（2）点 M 的直角坐标为(1,0)，点 M 在直线 l 上，设直线 l 的参数方程：21222xtyt（t 为参数），A，B 对应的参数为 t1，t2 24 280tt，6/15 124 2tt，1 28t t ，2121 2121 21 2()4|1132321|8ttt tttMAMBt tt t 选修 45：不等式选讲（共 2 小题，满分 10 分）23解：（1）依题意得()|2|1|4g xxx 当1x 时，原不等式化为：2(1)4xx，解得12x；当01x时，原不等式化为：2(1)4xx，解得01x 当0 x 时，原不等式化为：2(1)4xx，解得203x 综上可得，不等式的解集为223|xx；（2）()(2)|2|2|()f xg xxxaaR 2a 时，322,2()22,2322,xaxf xxaxaxaxa ；2a 时，36,2()36,2xxf xxx；2a 时，322,22,2322()2,xa xaxaaxf xxax；所以 f（x）的最小值为 f（2）或 f（a）；则()1(2)1f af，即|2|12|2|1aa所以|2|1a，解得1a 或3a 7/15 福建省龙岩福建省龙岩市市 2017 年年高考一模数学（高考一模数学（理理科）试卷科）试卷 解解 析析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1【考点】交集及其运算【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A，求出 B 中 x 的范围确定出 B，找出两集合的交集即可【解答】解：A=y|y=x=（，+），由 B 中 y=ln（x1），得到 x10，即 x1，B=（1，+），则 AB=（1，+），故选：C 2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义、纯虚数的定义即可得出【解答】解：（12i）z=1+ai，（1+2i）（12i）z=（1+2i）（1+ai），5z=12a+（2+a）i，即 z=+i，z 为纯虚数，则=0，0，解得 a=故选：A 3【考点】等差数列的前 n 项和【分析】由韦达定理得 a3+a7=4，从而an的前 9 项和 S9=，由此能求出结果【解答】解：等差数列an中，a3，a7是函数 f（x）=x24x+3 的两个零点，a3+a7=4，an的前 9 项和 S9=故选：C 4【考点】程序框图【分析】模拟程序框图运行过程，总结规律，A 的取值周期为 3，由于 2017=6663+1，可得当 i=2018 时满足条件 i2017，退出循环，输出 A 的值为【解答】解：模拟程序的运行，可得 i=0，A=3，执行循环体，i=1，A=，不满足条件 i2017，执行循环体，i=2，A=8/15 不满足条件 i2017，执行循环体，i=3，A=3 不满足条件 i2017，执行循环体，i=4，A=观察规律可得 A 的取值周期为 3，由于 2017=6663+1，可得：不满足条件 i2017，执行循环体，i=2017，A=不满足条件 i2017，执行循环体，i=2018，A=满足条件 i2017，退出循环，输出 A 的值为 故选：D 5【考点】命题的真假判断与应用【分析】A，命题“若 x23x+2=0，则 x=2”的逆否命题为“若 x2，则 x23x+20”；B，只要 a1 时，函数 f（x）=logax 在区间（0，+）上为增函数；C，”“的否定是”“；D，根据指数函数图象可判定；【解答】解：对于 A，命题“若 x23x+2=0，则 x=2”的逆否命题为“若 x2，则 x23x+20”正确；对于 B，只要 a1 时，函数 f（x）=logax 在区间（0，+）上为增函数，故正确；对于 C，若命题 p：nN，2n1000，则p：nN，2n1000，故错；对于 D，根据幂函数图象得“x（，0）时，2x3x”，故正确；故选：C 6【考点】二项式定理的应用【分析】利用二项展开式的通项公式，求求得（x+2）6的展开式中 x3、x4的系数，可得（x1）（x+2）6的展开式中 x4的系数【解答】解：由于（x+2）6的展开式的通项公式为 Tr+1=x6r2r，令 6r=3，r=3，（x+2）6的展开式中 x3 的系数为 8=160；令 6r=4，r=2，可得（x+2）6的展开式中 x4的系数为4，可得（x1）（x+2）6的展开式中 x4的系数为 84=16060=100，故选：A 7【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解：=32cos60=3，=m+n，且，（m+n）=（m+n）=（mn）m+n=0，3（mn）9m+4n=0，9/15 =故选：A 8【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成即可得出【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成 由题意得：（5.4x）31+x=13.5，x=1.2 故选：D 9【考点】简单线性规划【分析】做出不等式组对应的可行域，由于函数 y=kx+1 的图象是过点 A（0，2），斜率为 k 的直线 l，故由图即可得出其范围【解答】解：由不等式组，作出可行域如图，如图因为函数 y=kx2 的图象是过点 A（0，2），且斜率为 k 的直线 l，由图知，当直线 l 过点 B（1，3）时，k 取最大值=5，当直线 l 过点 C（2，2）时，k 取最小值=2，故实数 k 的取值范围是2，5 故选：C 10【考点】球的体积和表面积【分析】由题意把 A、B、C、P 扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与 A 的距离为球的半径，然后求出球的表面积【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把 A、B、C、P 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与 A 的距离为球的半径，PA=2AB=2，OE=，ABC 是正三角形，AB=，AE=1 10/15 AO=2 所求球的表面积为：422=16 故选 B 11【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线 C 一条渐近线方程为 y=x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得 a=8，进而得到双曲线的实轴长【解答】解：设 F2（c，0），双曲线 C 一条渐近线方程为 y=x，可得|F2M|=b，即有|OM|=a，由 S=16，可得ab=16，即 ab=32，又 a2+b2=c2，且=，解得 a=8，b=4，c=4，即有双曲线的实轴长为 16 故选：B 12【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由题意设 g（x）=（x+1）f（x），求出 g（x）后由条件判断出符号，由导数与函数单调性的关系判断出 g（x）在（，1）上递增，由条件和图象平移判断出：函数 f（x1）的图象关于点（0，0）中心对称，由奇函数的图象可得：函数 f（x1）是奇函数，令 h（x）=g（x1）=xf（x1），判断出 h（x）的奇偶性和单调性，再等价转化不等式，求出不等式的解集【解答】解：由题意设 g（x）=（x+1）f（x），则 g（x）=f（x）+（x+1）f（x），当 x1 时，（x+1）f（x）+（x+1）f（x）0，当 x1 时，f（x）+（x+1）f（x）0，则 g（x）在（，1）上递增，函数 f（x）的定义域为 R，其图象关于点（1，0）中心对称，11/15 函数 f（x1）的图象关于点（0，0）中心对称，则函数 f（x1）是奇函数，令 h（x）=g（x1）=xf（x1），h（x）是 R 上的偶函数，且在（，0）递增，由偶函数的性质得：函数 h（x）在（0，+）上递减，h（1）=f（0），不等式 xf（x1）f（0）化为：h（x）h（1），即|x|1，解得1x1，不等式的解集是（1，1），故选 C 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13【考点】两角和与差的正弦函数【分析】构造思想，cos=cos（+），为钝角，sin（+）=0，可得+在第三象限可得 cos（+），即可求解【解答】解：由题意，为钝角，sin（+）=0，+在第三象限 那么：cos（+）=，故得 cos=cos（+）=cos（+）cos）+sin（+）sin=+=故答案为：14【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，设出直线 l 的方程，和抛物线方程联立，化为关于 y 的一元二次方程后利用根与系数的关系得到 A，B 两点纵坐标的和与积，结合|AF|=3|BF|，转化为关于直线斜率的方程求解【解答】解：抛物线 C 方程为 y2=4x，可得它的焦点为 F（1，0），设直线 l 方程为 y=k（x1），由，消去 x 得y2yk=0 设 A（x1，y1），B（x2，y2），可得 y1+y2=，y1y2=4|AF|=4|BF|，12/15 y1+4y2=0，可得 y1=4y2，代入得3y2=，且4y22=4，解得 y2=1，解，得 k=故答案为：15【考点】数列递推式【分析】n=1 时，a1=a11，1，解得 a1=n2 时，an=SnSn1，化为：=由于an为递增数列，对 分类讨论即可得出【解答】解：n=1 时，a1=a11，1，解得 a1=n2 时，an=SnSn1=an1（an11），化为：=an为递增数列，1 时，=1，恒成立，因此 1 1 时，=（0，1），解得 0 故答案为：0 或 1 16【考点】函数的最值及其几何意义【分析】由题意可得 b=lna+2a2，d=3c2分别令 y=f（x）=lnx+2x2，y=g（x）=3x2，转化为两个函数 f（x）与 g（x）的点之间的距离的最小值设与直线 y=3x2 平行且与曲线 f（x）相切的切点为 P（x0，y0），求出切点 P 到直线 y=3x2 的距离 d，则（ac）2+（bd）2的最小值为 d2【解答】解：实数 a，b，c，d 满足=1 可得 b=lna+2a2，d=3c2，分别令 y=f（x）=lnx+2x2，y=g（x）=3x2，转化为两个函数 f（x）与 g（x）的点之间的距离的最小值，f（x）=+4x，设与直线 y=3x2 平行且与曲线 f（x）相切的切点为 P（x0，y0），则+4x0=3，x00，解得 x0=1，可得切点 P（1，2），切点 P（1，2）到直线 y=3x2 的距离 d=（ac）2+（bd）2的最小值为 d2=13/15 故答案为：三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17【考点】余弦定理；正弦函数的单调性【分析】（1）根据二倍角公式以及变形、两角差的正弦公式化简解析式，由整体思想和正弦函数的递增区间求出 f（x）的单调增区间；（2）由（）化简，由 A 的范围和特殊角的三角函数值求出 A，由条件和余弦定理列出方程，化简后由基本不等式、三边关系求出 a 的范围 18【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）证明 BCAC，由平面 ACEF平面 ABCD，平面 ACEF平面 ABCD=AC，得 BC平面 ACEF （2）以 C 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出法向量即可 19【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）记事件 A“该公司在星期一至少有 2 辆车出车”，利用独立重复试验的概率的乘法，转化求解即可（2）X 的可能取值为 0，1，2，3，4，5，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可 20【考点】轨迹方程【分析】（1）利用圆与圆的位置关系，得出曲线 E 是 M，N 为焦点，长轴长为的椭圆，即可求曲线 E的方程；（2）联立方程组得（1+2t2）y2+4mty+2m22=0，利用韦达定理，结合 k1k2=4，得出直线 BC过定点（3，0），表示出面积，即可求ABC 面积的最大值 21【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，g（x）存在两个极值点 x1，x2（x1x2），推出，求出 m 的范围，化简 x1x2，通过时，f（x）0，当时，f（x）0，求解f（x1x2）的最小值（2）通 过g（x1）ax2得，化 简=，构造（x）=（），求出导函数，利用函数的单调性求解最值即可 14/15 请考生在第 22、23 题二题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分。选修 44：坐标系与参数方程（共 1 小题，满分 10 分）22【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（）直线 l 的极坐标方程化为 cossin1=0，由 x=cos，y=sin，能求出直线 l 的普通方程；曲线 C 的参数方程消去参数能求出曲线 C 的普通方程（）点 M 的直角坐标为（1，0），点 M 在直线 l 上，求出直线 l 的参数方程，得到，由此利用韦达定理能求出的值 选修 45：不等式选讲 23【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法【分析】（1）由题意可得 g（x）=|x|+2|x1|4，讨论当 x1 时，当 0 x1 时，当 x0 时，去掉绝对值，解不等式即可得到所求解集；（2）求得 f（x）=g（x2）=|x2|+2|xa|（aR），讨论 a=2，a2，a2，运用分段函数求出 f（x），所以 f（x）的最小值为 f（2）或 f（a），由恒成立思想可得 a 的不等式，解不等式即可得到所求范围 15/15