2013年高考理科数学陕西卷-答案.pdf

1/14 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学答案解析（理科）第卷 一、选择题 1.【答案】D【解析】要使函数2()1f xx有意义，则210 x，11x，则,11M ，,1()(1,)RM 故选 D【提示】求出函数()f x的定义域得到集合 M，然后直接利用补集概念求解【考点】函数的定义域，集合的基本运算 2.【答案】C【解析】由算法语句可知0.550250.65050 xxyxx，当60 x 时，250.66050(25631)y.故选 C【提示】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数0.550250.6(50)50 xxyxx，的函数值【考点】分段函数，选择结构的程序框图 3.【答案】C【解 析】若|a ba b若a，b中 有 零 向 量，显 然a b；若a，b中 均 不 为 零 向 量，则|cos,|a ba ba ba b cos,1,a ba b 或 0，a b，即|a ba ba b 若a b，则,a b 或 0，|cos,|a ba ba ba b，其中若a，b中有零向量也成立，即|a ba ba b；综上知：“|a ba b|”是“a b”的充分必要条件【提示】讨论平面向量的共线条件，进一步结合充分、必要的条件求解【考点】平面向量的数量积运算，充分、必要条件 2/14 4.【答案】B【解析】抽样间隔：8404220，把 1，2，840 分成 42 段，不妨设第 1 段抽取的号码为 l，则第 k 段抽取的号码为：(1)20lk，120l，142l；令，得125372020llk 由120l，则2 53 6k.满足条件的 k 共有 12 个【提示】根据系统抽样方法，从 840 人中抽取 42 人，那么从 20 人抽取 1 人从而得出从编号481720共240 人中抽取的人数即可【考点】系统抽样 5.【答案】A【解析】取面积为测度，则所求概率为：212 1 124124ABCDADECBFABCDSSSPS 矩形扇形扇形矩形【提示】根据题意，算出扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF 的面积之和为2，结合矩形 ABCD 的面积为 2，可得在矩形 ABCD 内且没有信号的区域面积为22，再用几何概型计算公式即可算出所求的概率【考点】几何概型 6.【答案】D【解析】选项 A，若12|0zz，则12zz，故12zz，真命题；选项 B，若12zz，则122zzz，真命题；选项 C，2212121222|zzzzz zz z，真命题；选项 D，如令1i1z ，2i1z ，满足12|zz，而212iz，222iz，假命题【提示】题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断每一个命题的真假，只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案【考点】复数的基本概念 7.【答案】B【解析】coscossinbCcBaA，由正弦定理得2sin cossin cossinBCCBA，2sin()sinBCA，即2sinsinAA又sin0A，sin1A，2，故ABC 为直角三角形【提示】由条件利用正弦定理可得sin cossin cossin sinBCCBAA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sin1A，可得2A，由此可得ABC 的形状 3/14 【考点】利用正弦定理判断三角形的形状 8.【答案】A【解析】61(0)0 xxxxf xx，当0 x 时，()0f xx，则6611()()fxxxfxf xx，6632216661C()(1)C(1)CrrrrrrrrrrrTxxxxx ，令30r，得3r，此时4()1 320T【提示】依题意，可求得6()1f xxxf，利用二项展开式的通项公式即可求得()f f x表达式的展开式中常数项【考点】分段函数，二项式定理 9.【答案】C【解析】设矩形另一边长为 y，如图所示：由三角形相似知：404040 xy，40yx 300 xy，(40)300 xx，解得1030 x，故选 C 第 9 题图【提示】设矩形的高为 y，由三角形相似可得，且400 x，400y，300 xy，再由，得40yx，代入 300 xy 得到关于 x 的二次不等式，解此不等式即可得出答案【考点】几何证明 10.【答案】D【解析】选项 A，取1.5x，则 1.52 1.51xx 显然 xx 选项 B，取1.5x，则1221.512x选项 C，取1.5x 则 4/14 2 2 2 3xxx，2 21.52x 显然2 2 xx故选 D【提示】本题考查的是取整函数问题在解答时要先充分理解 x的含义，从而可知针对于选项注意对新函数的加以分析即可，注意反例的应用【考点】定义新运算 第卷 二、填空题 11.【答案】3【解析】由题意知，2164aa，又54cea5c 22225 169bca，3b 即3m【提示】利用双曲线的离心率计算公式221cbeaa即可得出【考点】双曲线的简单几何性质 12.【答案】3【解析】由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径1r，高2SO，则21 12323SABV几何体 第 12 题图【提示】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积【考点】由三视图求几何体的体积 13.【答案】4【解析】如图，由111|11|xyxxxx，及2y 画出可行域如图阴影部分所示，令2xyz，2yxz，画直线 l0：2yx并平移到过点2()1,A 的直线 l，此时z最小，即min2(1)24z .5/14 第 13 题图【提示】先根据曲线|1|yx与2y 所围成的封闭区域画出区域 D，再利用线性规划的方法求出目标函数2xy的最大值即可【考点】二元线性规划求目标函数最值 14.【答案】2222121121234.(1)(1)nnn nn 【解析】第 n 个等式的左边第 n 项应是12(1)nn，右边数的绝对值为1123.2n nn ，故有2222121121234.(1)(1)nnn nn 【提示】等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第 n 个等式左边为 222212123 4.(1)nn再分 n 为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可【考点】合情推理（归纳推理）15.A（不等式选做题）【答案】2【解析】2222()()()ambn bmanabmab mnabn 222222()2()22()ab mnababmnab 2242()abab 222(2)aabb 22()ab 2 当且仅当2mn时，取得“”所求最小值为 2【提示】利用二维形式的柯西不等式的代数形式：设 a，b，c，dR均为实数，则22222()()()abcdacbd其中等号当且仅当abcd时成立，即可求出()()ambn bman的最小值【考点】基本不等式求最值 6/14 B（几何证明选做题）【答案】6【解析】C 与A 在同一个圆 O 中，所对的弧都是弧BDCA 又PEBC，CPEDAPED 又PP，PEDPAE，则PEPDPAPE，2PEPA PD 又22PDDA，3PAPDDA，23 26PE ，6PE 【提示】利用已知条件判断EPDAPE，列出比例关系，即可求解 PE 的值【考点】三角形相似 C（坐标系与参数方程选做题）【答案】2cossin cosxy（为参数）【解析】由三角函数定义知tan(0)tanxyxxy 由222220tan0 xyxxxx，221cos1tanx，则2tancostansin cosyx，又2时，0 x，0y 也适合题意，故参数方程为2cossin cosxy（为参数）【提示】将圆的方程化为标准方程，找出圆心与半径，利用三角函数定义表示出 OP，进而表示出 x 与 y，即为圆的参数方程【考点】坐标系与参数方程 三、解答题 16.【答案】（）（）12【解析】（）1()cos,(3sin,cos2)2f xxx 13cos sincos22xxx 31sin2cos222xx cossin2sincos266xx 7/14 sin 26x()f x最小正周期为222T，即函数()f x的最小正周期为（）02x，52666x 由正弦函数图象的性质得，当262x，即3x 时，()f x取得最大值 1 当266x，即0 x 时，1(0)2f 当5266x，即2x 时，122f，()f x的最小值为12 因此，()f x在0,2上的最大值是 1，最小值是12【提示】（）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求()f x的最小正周期（）通过 x 在0,2，求出()f x的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值【考点】平面向量的数量积运算，三角恒等变化 17.【答案】（）设na的前 n 项和为 Sn，当1q 时，1111.nSaaana；当1q 时，211111.nnSaa qa qa q，2111.nnqSa qa qa q，得，11(1)nnq Saa q，111nnaqSq，111111nnnaqSaqqq，（）证明：假设1na 是等比数列，则对任意的kN，2121()()()11kkkaaa，21122211kkkkkkaaa aaa，2211111111121kkkkkka qa qa qa qa qa q，8/14 10a，112kkkqqq 又0q，2210qq，1q，这与已知矛盾，假设不成立，故1na 不是等比数列【提示】（）分1q 与1q 两种情况讨论，当1q，0 时，利用错位相减法即可得出；（）分当存在*nN，使得10na 成立时，显然不成立；当*(2)nn N，使得10na 成立时，使用反证法即可证明【考点】等比数列的 n 项和公式，反证法 18.【答案】（）证法一：由题设易知 OA，OB，OA1两两垂直，以 O 为原点建立直角坐标系，如图，12ABAA，11OAOBOA，()1,0,0A，()0,1,0B，1,()0,0C，()0,1,0D，10,()0,1A 11ABAB，11,()1,1B 1(1),0,1AC，(0,)2,0BD，1(1),0,1BB，10AC BD，110AC BB，1ACBD，11ACBB，111ACBB DD平面 第 18 题（）图 证法二：1AOABCD平面，1AOBD 9/14 又四边形 ABCD 是正方形，BDAC，1BDAOC平面，1BDAC 又OA1是 AC 的中垂线，112A AAC，且2AC，22211ACAAAC，AA1C 是直角三角形，11AAAC 又11BBAA，11ACBB，又1BBBDB，111ACBB DD平面（）设平面 OCB1的法向量,()nx y z，(1),0,0OC，11,1,1()OB ，100n OCxn OBxyz 0 xyz 取0,1(),1n，由（）知，1(1,0,1)AC 是平面 BB1D1D 的法向量，1coscos,11|222n AC 又02，3【提示】（）要证明111ACBB DD平面，只要证明1AC垂直于平面11BB D D内的两条相交直线即可，由已知可证出1ACBD，取11B D的中点为1E，通过证明四边形11AOCE为正方形可证11ACEO由线面垂直的判定定理问题得证（）以 O 为原点，分别以 OB，OC，1OA所在直线为 x，y，Z 轴建立空间直角坐标系，然后求出平面1OCB 10/14 与平面11BB D D的法向量，利用法向量所成的角求平面1OCB与平面11BB D D的夹角的大小【考点】线面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系，空间向量的应用 19.【答案】（）415（）2815【解析】（）设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手”，B 表示事件“观众乙选中 3 号歌手”，则1223C2(A)C3P，2435C3()C5P B 事件 A 与 B 相互独立，观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为：224()()3()()5151P AP A PP ABP B（）或13242335C C4C C15P AB（）设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手”，则2435C3()C5P C，X 可能的取值为 0，1，2，3，且取这些值的概率分别为：1224(0)()35575P XP ABC 22213212320(1)()()()35535535575P XP ABCP ABCP ABC 23222313333()()()()355355357525ABCABP XPPCABCP23318()355753()P XP ABC X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 475 2075 3375 1875 X 的数学期望4203318140280123757575757515EX 【提示】（）设事件 A 表示：“观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手”，观众甲选中 3 号歌手的概率为，观众乙未选中 3 号歌手的概率为32155，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论；（）由题意，X 可取 0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到 X 的分布列与数学期望【考点】古典概型，离散型随机变量的分布列及期望 11/14 20.【答案】（）如图（a），设动圆圆心1,()O x y，由题意，11|O AOM，当 O1不在 y 轴上时，过 O1作1OHMN交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点，221|4OMx，又221|4O Axy 222244xyx ，化简得28(0)yx x 又当 O1在 y 轴上时，O1与 O 重合，点 O1的坐标(0,0)也满足方程28yx，动圆圆心的轨迹 C 的方程为28yx 第 20 题（）图（a）（）如图（b），由题意，设直线 l 的方程为(0)ykxb k，11(,)P x y，22(,)Q xy，将ykxb代入28yx中，得222(28)0k xbkxb，32640kb 由求根公式得，12282bkxxk，2122x xbk，x 轴是PBQ 的角平分线，121211yyxx，即1221110()()y xy x，12211()(1)0()()kxb xkxb x，12122()()20kx xbk xxb，将，代入得222()(82)20kbkbbkk b，kb，此时0，直线 l 的方程为(1)yk x，即直线 l 过定点(1,0)12/14 第 20 题（）图（b）【提示】（）设圆心 O(,)x y，过点 C 作CEy轴，垂足为 H，利用垂径定理可得|MHMN，又2222|OAOMMHHC，利用两点间的距离公式即可得出（）设11(,)P x y，22(,)Q xy，由题意可知120yy，120y y.2118yx，2228yx利用角平分线的性质可得PBQBkk，可化为化为1280y y又直线 PQ 的方程为，代入化简整理为12()88y yyx，令0y，则1x 即可得到定点【考点】圆的方程，直线与圆的位置关系，圆锥曲线中的定点问题 21.【答案】（）()f x的反函数为()lng xx设直线1ykx与()lng xx的图像在00(,)P x y处相切，则有0001lnykxx，00)1(kg xx，解得20ex，21ek （）曲线exy 与2ymx的公共点个数等于曲线2exyx与ym的公共点个数 令2e()xxx，则3e2()xxxx ，(2)0.当2()0,x时，()0 x，()x在(0,2)上单调递减；当,()2x时，()0 x，()x在(2,)上单调递增，()x在(0,)上的最小值为2e(2)4 当2e04m时，曲线2exyx与ym无公共点；当2e4m 时，曲线2exyx与ym恰有一个公共点；当2e4m 时，在区间(0,2)内存在11xm，使得1()xm，在(2,)内存在22xme，使得2()xm 由()x的单调性知，曲线2exyx与ym在(0,)上恰有两个公共点 13/14 综上所述，当0 x 时，若2e04m，曲线()yf x与2ymx没有公共点；若2e4m，曲线()yf x与2ymx有一个公共点；若2e4m，曲线()yf x与2ymx有两个公共点（）解法一：证明2f af bf bf aba 事实上，eeee22abbaf af bf bf ababa ee2eebababa 2e12eeababa 21()2e1b ababa 令2()12e1xxx(0)x，(*)则2222212ee14ee1()02e12 e12 e1xxxxxxxx （仅当0 x 时等号成立），()x在0,)上单调递增，0 x 时，(0)0(x.令xba，即得(*)式，结论得证 解法二：eeee22babaf af bf bf ababa eeee2e2e2babababbaaba ()2(2e)2abababa，设函数()e2e0)2xxu xxxx，则()ee1 2exxxu xx，令()()h xu x，则()eee0ee2xxxxxh xxx（仅当0 x 时等号成立），()u x单调递增，当0 x 时，()(0)0u xu，()u x单调递增 当0 x 时，()(0)0u xu.令xba，则得()e()220b ab ababa，14/14 eeee02bababa，因此，2f af bf bf aba 【提示】（）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；（）由2()f xmx，令2e()(0)xh xxx，利用导数研究函数()h x的单调性即可得出；（III）利用作差法得 eeeeeeee2e2ee2222bababababaaf af bf bf abbaababababa ，令()2(2)e(0)g xxxx x，利用导数研究其单调性即可证明【考点】函数零点的求解，导数的几何意义，反函数