【河南省南阳、信阳等六市】2017年高考一模数学(理科)试卷-答案.pdf

1/13 河南省南阳、信阳等六市河南省南阳、信阳等六市 2017 年高考一模数学（年高考一模数学（理理科）试卷科）试卷 答答 案案 一、选择题 15CADBB 610CBCAC 1112BA 二、填空题 132 1430 1512 163 3,8 4 三、解答题 17解：（1）依题意1(2)nnaan n，22a，232431()()(2)(1)(1)222()23nnnaaaaaaaannn，所以2111(2)22nannn；（2）因为1nna b，所以2222112()21nbnnnnnn，23411111112()()()2(1)212231nbbbnbnn 18（1）证明：连接1AC交1AC于E，因为1AAAC，又1 A A 平面ABCD，所以1AAAC，所以11A ACC为正方形，所以11ACAC，在ACD中，2ADCD，60ADC，由余弦定理得2222 cos60ACADCDAC DC，所以3ACCD，所以222ADACCD，所以CDAC，又1AACD所以11CDA ACC平面，所以1CDAC，所以111ACABCD平面（2）如图建立直角坐标系，则(2,0,0)D，(0,2 3,0)A，1(0,0,2 3)C，1(0,2 3,2 3)A，1(2,0,2 3)DC，1(2,2 3,2 3)DA 对平面1AC D，因为(2,2 3,0)AD，1(0,2 3,2 3)AC 2/13 所以法向量1(3,1,)n，平面1CCD的法向量为2(0,1,0)n，由1221215cos5|3 1nnnn，得1，所以1AAAC，此时，2CD，12 3AAAC，所以111111(2 32 3)2432CACDD ACCVV 19解：（1）这 8 位同学中恰有 3 位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理 4 个优秀分数中选出 3 个与数学分数对应，不同的种数是3343C A（或34A），然后剩下的 5 个数学分数和物理分数任意对应，不同的种数是55A；根据乘法原理，满足条件的不同种数是335435C A A；这 8 位同学的物理分数和数学分数分别对应种数共有88A，故所求的概率为33543588114C A APA；（2）变量y与x、z与x的相关系数分别是6887550.990.9932.4 21.432.4 23.5rr、，可以看出：物理与数学、化学与数学成绩都是高度正相关；设y与x、z与x的线性回归方程分别是ybxazbxa 、，根据所给的数据，计算出6880.66,850.66 77.533.851050ba，7550.72,81 0.72 77.525.251055ba，3/13 所以y与x、z与x的回归方程分别是 0.6633.850.7225.20yxzx、，当50 x 时，66.85,61.2yz，当该生的数学为50分时，其物理、化学成绩分别约为66.85分、61.2分 20解：（1）把(1,2)Q代入22ypx，得24p，所以抛物线方程为24yx，准线l的方程为1x （2）由条件可设直线AB的方程为(1),0yk xk-由抛物线准线1l x:，可知(1,2)Mk，又(1,2)Q，所以32211 1kkk，把直线AB的方程(1)yk x-，代入抛物线方程24yx，并整理，可得22222(2)0k xkxk-，设11(),A x y，22(),B xy，则21212224,1kxxx xk，又(1,2)Q，故12111222,11yykkxx因为A，F，B三点共线，所以AFBFkkk，即121211yykxx，所以12121212121212222(22)()242(1)11()1yykx xkxxkkkkxxx xxx，即存在常数2，使得1232kkk成立 21（）解：因为(1)ef，故()eeab，故1ab；依题意，(1)2e 1f；又3221 ln()e(e3e)xxxxfxabxxx，故(1)e 1 4 e2e 1fab，故42ab，联立解得2a，1b，（）证明：由（）得3ln()2eexxxf xxx 要证()2f x，即证3ln2ee2xxxxx；令3()2eexxg xx，32322()e(32)e32e(1)(22xxxg xxxxxxxx（），故当(0,1)x时，e0 x，10 x；令2()22p xxx，因为()p x的对称轴为1x，且(0)(1)0pp，4/13 故存在0(0,1)x，使得0()0p x；故当0(0,)xx时，2()220p xxx，2()e(1)(22)0 xg xxxx，即()g x在0(0,)x上单调递增；当0,(1)xx时，2()220p xxx，故2()e(1)(22)0 xg xxxx，即()g x在0(),1x上单调递减；因为(0)2g，(1)eg，故当(0,1)x时，()(0)2g xg，又当(0,1)x时，ln0 xx，ln22xx 所以3ln2ee2xxxxx，即()2f x 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 44：坐标系与参数方程 22解：（1）由4cos，得出24 cos，化为直角坐标方程：224xyx 即曲线C的方程为22(2)4xy-，直线l的方程是：0 xy（2）将曲线C横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线1C的方程为2244xy，设曲线1C上的任意点(cos,2sin)到直线l距离|cos2sin|5|sin()|22d 当()0sin时 到直线l距离的最小值为0 选修 45：不等式选讲 23解：（1）由()2f xx得：1112xxxx 或11112xxxx 或1112xxxx ，即有12x或01x 或x，解得02x，所以()2f xx的解集为0,2；（2）|1|21|1111|1|2|12|3|aaaaaaa，5/13 当且仅当11(1)(2)0aa时，取等号 由不等式|1|21|()|aaf xa对任意实数0a 恒成立，可得1|1|3|xx，即123xx或1123x 或123xx，解得3322xx-或，故实数x的取值范围是33(,)22，6/13 河南省南阳、信阳等六市河南省南阳、信阳等六市 2017 年高考一模数学（理科）试卷年高考一模数学（理科）试卷 解解 析析 一、选择题 1【考点】交集及其运算【分析】先利用交集定义求出集合 C，由此能求出 C 的子集的个数【解答】解：集合，C=AB=（x，y）|=（，），C 的子集的个数是：21=2 故选：C 2【考点】复数求模【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、实部与虚部的定义即可得出【解答】解：（1i）=|1+i|，（1i）（1+i）=（1+i），=+i 则复数 z 的实部与虚部之和=+=故选：A 3【考点】平面与平面之间的位置关系【分析】对 4 个命题分别进行判断，即可得出结论【解答】解：若 m，n，mn，则、位置关系不确定，故不正确；若 m，则 中存在直线 c 与 m 平行，mn，n，则 c，c，不正确；若 m，n，mn，则、可以相交，不正确；若 m，mn，则 n，n，正确，故选：D 4【考点】命题的真假判断与应用【分析】，已知 X 服从正态分布 N（0，2），可得正态曲线关于 y 轴对称，当 P（2X2）=0.6 时，则 P（X2）=0.2；，若命题，则p：x1，+），x2x10；，当 a=b=0 时，l1l2，【解答】解：对于，已知 X 服从正态分布 N（0，2），可得正态曲线关于 y 轴对称，当 P（2X2）=0.6 时，则 P（X2）=0.2，正确；对于，若命题，则p：x1，+），x2x10，故错；对于，当 a=b=0 时，l1l2，故错，故选：B 7/13 5【考点】两角和与差的正切函数【分析】先通过 cosB，求得 sinB，进而可求得 tanB，进而根据 tanC=tan（A+B），利用正切的两角和公式求得答案【解答】解：cosB=，sinB=，tanB=，tanC=tan（A+B）=1 故选：B 6【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 m 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件；故输出的 m 值为 45，故选：C 7【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，结合目标函数 z=2x+y 的最大值是最小值的 4倍，建立方程关系，即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=2x+y 得 y=2x+z，平移直线 y=2x+z，由图象可知当直线 y=2x+z 经过点 A 时，直线的截距最大，此时 z 最大，由，解得：，即 A（1，1），此时 z=21+1=3，当直线 y=2x+z 经过点 B 时，直线的截距最小，此时 z 最小，由，解得：，即 B（a，a），此时 z=2a+a=3a，目标函数 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍，3=43a，即 a=，故选：B 8/13 8【考点】抽象函数及其应用【分析】根据 f（x）=f（x+）将 x 换为 x+，再将 x 换为 x+1，得到函数的最小正周期为 2，由当 x2，3时，f（x）=x，求出 x0，1的解析式，再由 f（x）是定义在 R 上的偶函数，求出 x1，0的解析式，再将 y=f（x），x0，1的图象向左平移 2 个单位即得 x2，1的图象，合并并用绝对值表示2x0 的解析式【解答】解：xR，f（x）=f（x+），f（x+1）=f（x1），f（x+2）=f（x），即 f（x）是最小正周期为 2 的函数，令 0 x1，则 2x+23，当 x2，3时，f（x）=x，f（x+2）=x+2，f（x）=x+2，x0，1，f（x）是定义在 R 上的偶函数，f（x）=x+2，x1，0，令2x1，则 0 x+21，f（x）=x+2，x0，1，f（x+2）=x+4，f（x）=x+4，x2，1，当2x0 时，函数的解析式为：f（x）=3|x+1|故选 C 9【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】由函数的图象平移求得函数 g（x）的解析式，进一步求出函数（x）的单调增区间，结合函数 g（x）在区间0，和2a，上均单调递增列关于 a 的不等式组求解【解答】解：将函数 f（x）=2cos2x 的图象向右平移个单位后得到函数 g（x）的图象，得 g（x）=2cos2（x）=2cos（2x），9/13 由，得 当 k=0 时，函数的增区间为，当 k=1 时，函数的增区间为 要使函数 g（x）在区间0，和2a，上均单调递增，则，解得 a，故选：A 10【考点】双曲线的简单性质【分析】首先求出 F2到渐近线的距离，利用 F2关于渐近线的对称点恰落在以 F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形 MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率【解答】解：由题意，F1（0，c），F2（0，c），一条渐近线方程为 y=x，则 F2到渐近线的距离为=b 设 F2关于渐近线的对称点为 M，F2M 与渐近线交于 A，|MF2|=2b，A 为 F2M 的中点，又 0 是 F1F2的中点，OAF1M，F1MF2为直角，MF1F2为直角三角形，由勾股定理得 4c2=c2+4b2 3c2=4（c2a2），c2=4a2，c=2a，e=2 故选 C 11【考点】球的体积和表面积【分析】由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体 此四面体的外接球的半径为正方体的对角线长为利用球的表面积计算公式即可得出【解答】解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体 此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为 此四面体的外接球的表面积为表面积为=3 故选：B 10/13 12【考点】命题的真假判断与应用；函数的图象【分析】过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，故正确；作函数的大致图象，从而判断的正误；将圆的圆心放在正弦函数 y=sinx 的对称中心上，则正弦函数 y=sinx 是该圆的“优美函数”；即可判断的正误；函数 y=f（x）的图象是中心对称图形，则 y=f（x）是“优美函数”，但函数 y=f（x）是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，作图举反例即可【解答】解：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，故对于任意一个圆 O，其“优美函数”有无数个，故正确；函数的大致图象如图 1，故其不可能为圆的“优美函数”；不正确；将圆的圆心放在正弦函数 y=sinx 的对称中心上，则正弦函数 y=sinx 是该圆的“优美函数”；故有无数个圆成立，故正确；函数 y=f（x）的图象是中心对称图形，则 y=f（x）是“优美函数”，但函数 y=f（x）是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图 2，故选：A 二、填空题 13【考点】平面向量数量积的运算【分析】可先求出向量的坐标，根据条件得到，从而可求出 x=1，进而求出向量的坐标，从而求得该向量的长度【解答】解：，且；=x2+2x1=0；x=1；11/13 故答案为：14【考点】二项式系数的性质【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再根据通项公式，讨论 r 的值，即可求得 x3项的系数【解答】解：（2x2+x1）5=（2x2+x）15展开式的通项公式为 Tr+1=（2x2+x）5r（1）r，当 r=0 或 1 时，二项式（2x2+x）5r展开式中无 x3项；当 r=2 时，二项式（2x2+x）5r展开式中 x3的系数为 1；当 r=3 时，二项式（2x2+x）5r展开式中 x3的系数为 4；当 r=4 或 5 时，二项式（2x2+x）5r，展开式中无 x3项；所求展开式中 x3项的系数为 1+4（）=30 故答案为：30 15【考点】正弦定理【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得 cosC=，C=根据ABC 的面积为 S=absinC=c，求得 c=ab再由余弦定理化简可得a2b2=a2+b2+ab3ab，由此求得 ab 的最小值【解答】解：在ABC 中，由条件里用正弦定理可得 2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，2sinBcosC+sinB=0，cosC=，C=由于ABC 的面积为 S=absinC=ab=c，c=ab 再由余弦定理可得 c2=a2+b22abcosC，整理可得a2b2=a2+b2+ab3ab，当且仅当 a=b 时，取等号，ab12，故答案为：12 16【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意求 A1、A2的坐标，设出点 P 的坐标，代入求斜率，进而求 PA1斜率的取值范围【解答】解：由椭圆的标准方程可知，上、下顶点分别为 A1（0，）、A2（0，），设点 P（a，b）（a2），则+=1即=直线 PA2斜率 k2=，直线 PA1斜率 k1=k1k2=；12/13 k1=直线 PA2斜率的取值范围是2，1，即：2k21 直线 PA1斜率的取值范围是 故答案为：三、解答题 17【考点】数列的求和；归纳推理【分析】（1）利用数列的关系归纳出 an+1与 an的关系式，利用累加法求解即可（2）利用放缩法化简通项公式，通过裂项消项法求解即可 18【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【分析】（I）连接 A1C 交 AC1于 E，证明 AA1AC，CDAC，推出 CD平面 A1ACC1，然后证明 AC1平面 A1 B1CD（II）如图建立直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面 AC1D 的法向量，平面 C1CD的法向量为，通过向量的数量积求出=1，然后利用等体积法求解体积即可 19【考点】线性回归方程；两个变量的线性相关【分析】（1）求出从这 8 位同学中恰有 3 位同学的数学和物理分数均为优秀的基本事件数，以及这 8 位同学的物理分数和数学分数分别对应基本事件数，计算所求的概率值；（2）变量 y 与 x、z 与 x 的相关系数，得出物理与数学、化学与数学成绩都是高度正相关；求出 y 与 x、z 与 x 的线性回归方程，由此计算 x=50 时 y 与 z 的值即可 20【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】（1）把 Q（1，2）代入 y2=2px，得 2p=4，即可求抛物线 C 的方程及准线 l 的方程；（2）把直线 AB 的方程 y=k（x1），代入抛物线方程 y2=4x，并整理，求出 k1+k2，k3，即可得出结论 21【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）根据函数 f（x）的图象在点（1，e）处的切线与直线 x（2e+1）y3=0 垂直，求得 a，b；（）由（）得，证 f（x）2，即证 2exexx32，构造函数，确定函数的单调性，即可证明结论 22【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）利用直角坐标与极坐标间的关系：cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得 C 的直角坐标方程，将直线 l 的参数消去得出直线 l 的普通方程（2）曲线 C1的方程为 4x2+y2=4，设曲线 C1上的任意点（cos，2sin），利用点到直线距离公式，建立关于 的三角函数式求解 23【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法【分析】（1）运用绝对值的含义，对 x 讨论，分 x1，1x1，x1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；13/13 （2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为 3，再由不等式恒成立思想可得 f（x）3，再由去绝对值的方法，即可解得 x 的范围