2012年高考文科数学上海卷-答案.pdf

-1-/9 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（文史类）答案解析 一、填空题 1.【答案】1 2i【解析】3i(3i)(1i)24i12i1i(1i)(1i)2 【提示】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1 i，再由进行计算即可得到答案。【考点】复数代数形式的乘除运算。2.【答案】1,12【解析】由题意得，1|21=|2Axxx x0，1|21=|2Axxx x 0，AB 1,12，故答案为：1,12【提示】由题意，可先化简两个集合 A，B，再求两个集合的交集得到答案。【考点】交集及其运算。3.【答案】【解析】解：sin21()sin cos2sin221cos2xf xxxxx 22T 函数sin2()1cosxf xx的最小正周期是。【提示】先根据二阶行列式的公式求出函数的解析式，然后利用二倍角公式进行化简，最后根据正弦函数的周期公式进行求解即可。【考点】二阶矩阵，三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法。4.【答案】1arctan2【解析】设直线的倾斜角为，则11tanarctan22，。【提示】根据直线的方向向量的坐标一般为(1,)k可得直线的斜率，根据tank，最后利用反三角可求出倾斜角。【考点】直线的方向向量，直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示。5.【答案】6 -2-/9 【解 析】根 据 该 圆 柱 的 底 面 周 长 得 底 面 圆 的 半 径 为1r，所 以 该 圆 柱 的 表 面 积 为：222426Sr lr圆柱表。【提示】求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可。【考点】空间几何体的表面积公式。6.【答案】2log 3【解析】根据方程：14230 xx，化简得2(2)2 230 xx，令2(0)xt t，则原方程可化为：2230tt，解得3t 或1()t 舍，即223,log 3xx。所以原方程的解为2log 3。【提示】根据指数幂的运算性质可将方程14230 xx-变形为222 230 xx（）然后将2x看作整体，解关于2x的一元二次方程即可。【考点】指数型方程，指数的运算，指数与对数形式的互化，换元法在求解数学问题中的运用。7.【答案】87【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，12为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以 1 为首项，18为公比的等比数列，因此，1218lim()1718nnVVV。【提示】由题意可得，正方体的体积1318nnnVa是以1为首项，以18为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求。【考点】无穷递缩等比数列的极限，等比数列的通项公式，等比数列的定义。8.【答案】20【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333461C20Txx。【提示】对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成。【考点】二项式定理。9.【答案】3【解析】因为函数()yf x为奇函数，所以有()()fxf x，即(1)(1)2gf，又(1)1g，所以(1)1f，(1)(1)1(1)(1)2123ffgf，。【提示】由题意()yf x是奇函数，()()2g xf x得到()()()2()24g xgxf xfx，再令1x即可得到1(1)4g，从而解出答案。-3-/9 【考点】函数的奇偶性，函数的值 10.【答案】2【解析】根据题意得到0,0,22;xyxy或0,0,22;xyxy或0,0,22;xyxy 或0,0,22.xyxy 其可行域为平行四边形ABCD区域，（包括边界）目标函数可以化成yxz，z的最小值就是该直线在y轴上截距的最小值，当该直线过点(2,0)A时，z有最小值，此时min2z。【提示】准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点(2,0)A时，z有最小值，此时min2z，结合图形可求。【考点】简单线性规划。11.【答案】23【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为23。【提示】先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可。【考点】古典概型及其概率计算公式，列举法计算基本事件数及事件发生的概率。12.【答案】1,4【解析】以向量AB所在直线为x轴，以向量AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为21ABAD，所以(0,0)(2,0)(2,1)(0,1).ABCD，设(2,)(,1)MbN x，(02)x，根据题意，22xb，所以(,1)ANx，22,2xAM。所以312AM ANx02x，所以31142x，即105510642246y=x+zBDAC-4-/9 14AM AN。【提示】先以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为x轴，建立坐标系，写出要用的点的坐标，根据两个点的位置得到坐标之间的关系，表示出两个向量的数量积，根据动点的位置得到自变量的取值范围，做出函数的范围，即要求得数量积的范围。【考点】平面向量的基本运算，概念，平面向量的数量积的运算律。13.【答案】14【解析】根据题意，得到12,02()122,12xxf xxx，从而得到2212,02()122,12xxyxf xxxx，所以围成的面积为112210212(22)4Sxdxxx dx，所以围成的图形的面积为14。【提示】先利用一次函数的解析式的求法，求得分段函数(x)f的函数解析式，进而求得函数(x)(01)yxfx的函数解析式，最后利用定积分的几何意义和微积分基本定理计算所求面积即可。【考点】函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用。14.【答案】3 13 526【解析】据题1()1f xx，并且2()nnaf a，得到211nnaa，11a，312a，20102012aa，得到2010201011aa，解得2010512a（负值舍去）。依次往前推得到：20113 13 526aa。105510642246CADBMN -5-/9 【提示】根据1()1f xx，各项均为正数的数列na满足11a，2()nnaf a，可确定11a，312a，523a，735a，958a，11813a，利用20102012aa，可得2010512a（负值舍去），依次往前推得到2010512a，由此可得结论。【考点】数列的概念，组成和性质，函数的概念。二、选择题 15.【答案】D【解析】根据实系数方程的根的特点知12i也是该方程的另一个根，所以12i12i2b，即2b，(12i)(12i)3c，故答案选择 D【提示】由题意，将根代入实系数方程20 xbxc整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数ab，的方程组102 220bcb，解方程得出ab，的值即可选出正确选项。【考点】复数代数形式的混合运算，复数相等的充要条件。16.【答案】B【解析】方程221mxny的曲线表示椭圆，常数,m n的取值为00mnmn，所以，由0mn得不到程221mxny的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn，因而必要。所以答案选择 B【提示】先根据0mn看能否得出方程221mxny的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程221mxny的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出0mn，即可得到结论。【考点】充分条件和必要条件，充要条件，椭圆的标准方程的理解。17.【答案】A【解析】由正弦定理，得sinsinsin222abcABCRRR，代入得到222abc，由余弦定理的推理得222cos02abcCab，所以 C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形。故选择 A【提示】利用正弦定理将222sinsinsinABC，转化为222abc，再结合余弦定理作出判断即可。-6-/9 【考点】正弦定理及其推理，余弦定理的运用。18.【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项。【提示】解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的 14 项的和为 0，这就是规律。【考点】正弦函数的图象和性质和间接法解题。三、解答题 19.【答案】（1）解：12 2 32 32ABCS，三棱锥-P ABC的体积为：1142 323333ABCVSPA（2）解：取PB的中点E，连接DE、AE，则EDBC，所以ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角。在ADE中，=2DE，2AE，2AD，222223cos2224ADE，所以3arccos4ADE。因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是3arccos4。【提示】（1）首先根据三角形面积公式，算出直角三角形ABC的面积：2 3ABCS，然后根据PA底面ABC，结合锥体体积公式，得到三棱锥PABC的体积；（2）取PB的中点E，连接DE、AE，在BCP中，根据中位线定理得到DEBC，所以ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角。然后在ADE中，利用余弦定理得到3cos4ADE，所以3arccos4ADE是锐角，因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是3arccos4。【考点】直线与直线，直线与平面的位置关系，空间中两条异面直线所成的角的求解，空间几何体的体积公式的运用。20.【答案】（1）解：由220,10 xx 得11x。由220lg(22)lg(1)lg11xxxx，得：22101xx1。因为10 x，所以11010 xxx 2-2，得2133x。由112133xx，得2133x。（2）解：当1,2x时，20,1x，因此，()(2)(2)(2)lg(3)yg xg xgxfxx，由单调性可得0,lg2y。-7-/9 因为3 10yx ，所以所求反函数是3 10,0,lg2xyx。【提示】（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解。【考点】函数的概念，性质等基础知识以及数形结合思想。21.【答案】（1）解：0.5t 时，P的横坐标772pxt，代入抛物线方程21249yx，得P的纵坐标3py。由9492AP，得救援船速度的大小为949海里 时，由7tan30OAP，得7arctan30OAP。故救援船速度的方向为北偏东7arctan30弧度。（2）解：设救援船的时速为v海里，经过t小时遇上失事船，此时位置为2(7,12)tt。由222(7)(1212)vttt，整理得：2221144337vtt。因为2212tt，当且仅当1t 等号成立。所以22144 233725v ，即25v。因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船。【提示】（1）0.5t 时，确定P的横坐标，代入抛物线方程21249yx中，可得P的纵坐标，利用9492AP，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为2(7,12)tt，从而可得 222(7)(1212)vttt，整理得2221144337vtt，利用基本不等式，即可得到结论。【考点】函数的概念，性质及导数等基础知识。22.【答案】（1）解：双曲线2212:1xCy，左焦点6,02F。设(,)M x y，则222262322MFxyx，由M点是右支上的一点，知22x，所以232 22MFx，得62x。所以6,22M。-8-/9 （2）解：左顶点2,02A，渐近线方程为：2yx。过点A与渐近线2yx平行的直线方程为：22,212yxyx即。解方程组2,21yxyx 得2,412xy。所求平行四边形的面积为24SOA y。（3）证明：设直线PQ的方程是ykxb。因直线PQ与已知圆相切，故2|11bk，即221()bk。由2221ykxbxy，得22(2)210kxkbx，设12(,)P x x、12(,)Q x x，则12221222212kbxxkbx xk 又1212()()y ykxb kxb，所以0OP OQ，所以0OP OQ。2222222221212121222211211()222kbk bbkOP OQx xy ykx xkb xxbbkkk 由()知，0OP OQ，所以OPOQ。【提示】（1）求出双曲线的做焦点F的坐标，设(,)M x y，利用22262MFxy，求x出的范围，推出M的坐标。（2）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出平行四边形的面积。（3）设直线PQ的方程是ykxb，通过直线PQ与已知圆相切，得到221bk，通过求解0OP OQ。证明OPOQ。【考点】双曲线的概念，标准方程，几何性质及其直线与双曲线的关系。23.【答案】（1）解：数列na为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5 -9-/9 （2）证明：因为12max,kkba aa，1121max,kkkba aaa，所以1kkbb。因为1km kabC，1km kabC，所以110kkm km kaabb，即1kkaa。因此，kkba。（3）解：对1,2,25k，243(43)(43)kaakk；242(42)(42)kaakk；241(41)(41)kaakk；24(4)4kaakk。比较大小，可得4243kkaa。因为112a，所以4142(1)(83)0kkaaak，即4241kkaa；4422(21)(41)0kkaaak，即442kkaa。又414kkaa，从而4343kkba，4242kkba，4142kkba，44kkba。因此 1122100100()()()bababa=3377101041419999()()()()()kkbababababa=236791042419899()()()()()kkaaaaaaaaaa=2542411()kkkaa=251(1)(83)kak=2525(1)a。【提示】（1）根据题意，可得数列na为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5（2）依题意可得1kkbb，又1km kabC，1km kabC，从而可得110kkm km kaabb，整理即证得结论；（3）根据(1)22(1)n nnnaan，可发现，243(43)(43)kaakk，242(42)(42)kaakk，241(41)(41)kaakk，24(4)4kaakk，通过比较大小，可得4241kkaa，442kkaa，而4 14kkaa，4142(1)(83)kkaaak，从而可求得1122100100()()()bababa=236791042419899()()()()()kkaaaaaaaaaa=2542411()kkkaa=2525(1)a【考点】数列的通项公式，等差，等比数列的基本性质等基础知识。