2017年高考天津理科数学试题及答案(word解析版).pdf

12017 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）参考公式：如果事件A，B互斥，那么P ABP AP B；如果事件A，B相互独立，那么P ABP A P B；柱体的体积公式VSh，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高；锥体体积公式13VSh，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高第卷（共 40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2017 年天津，理1，5 分】设集合1,2,6,2,4,|15ABCxxR，则()ABC（）（A）2（B）1,2,4（C）1,2,4,6（D）|15xxR【答案】B【解析】()1,2,4,61,51,2,4ABC，故选 B（2）【2017 年天津，理 2，5 分】设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,xyxyxy则目标函数zxy 的最大值为（）（A）23（B）1（C）32（D）3【答案】D【解析】目标函数为四边形ABCD及其内部，其中32 4(0,1),(0,3),(,3),(,)23 3ABCD，所以直线zxy过点B时取最大值3，故选 D（3）【2017 年天津，理3，5 分】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】C【解析】依次为8N，7,6,2NNN，输出2N，故选 C（4）【2017 年天津，理4，5 分】设R，则“|1212”是“1sin2”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】10sin121262，0，1sin2，不满足1212，所以是充分不必要条件，故选A（5）【2017 年天津，理5，5 分】已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点为F，离心率为2 若经过 F 和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）（A）22144xy（B）22188xy（C）22148xy（D）22184xy【答案】B【解析】由题意得224,14,2 2188xyabcabc，故选 B2（6）【2017 年天津，理 6，5分】已知奇函数()fx 在 R 上是增函数，()()g xxf x 若2(log 5.1)ag，0.8(2)bg，(3)cg，则 a，b，c 的大小关系为（）（A）abc（B）cba（C）bac（D）bca【答案】C【解析】因为 fx 是奇函数且在R上是增函数，所以在0 x时，0fx，从而 g xxfx 是R上的偶函数，且在0,上是增函数，5.15.122loglogagg，0.822，又45.18，5.122log3，所以即0.85.1202log3，0.85.122log3ggg，所以bac，故选 C（7）【2017 年天津，理 7，5 分】设函数()2sin()f xx，xR，其中0，|若5()28f，()08f，且()f x 的最小正周期大于2，则（）（A）23，12（B）23，12（C）13，24（D）13，24【答案】A【解析】由题意125282118kk，其中12,k kZ，所以2142(2)33kk，又22T，所以01，所以23，11212k，由得12，故选 A（8）【2017 年天津，理8，5 分】已知函数23,1,()2,1.xxxf xxxx设aR，若关于x 的不等式()|2xf xa 在R 上恒成立，则a 的取值范围是（）（A）47,216（B）47 39,16 16（C）2 3,2（D）39 2 3,16【答案】A【解析】不等式2xfxa为*2xfxafx，当1x时，*式即为22332xxxaxx，2233322xxaxx，又2214732416xxx（14x时取等号），223339393241616xxx（34x时取等号），所以47391616a，当1x，*式为222xxaxxx，322222xxxaxx，又32322 322xxxx（当2 33x时取等号），222222xxxx（当2x时取等号），所以2 32a，综上47216a，故选 A二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分（9）【2017 年天津，理9，5 分】已知aR，i 为虚数单位，若i2ia为实数，则a 的值为【答案】2【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555aiaiiaaiaaiiii为实数，则20,25aa（10）【2017 年天津，理10，5 分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为【答案】923【解析】设正方体边长为a，则226183aa，外接球直径为344279233,3382RaVR（11）【2017年天津，理 11，5分】在极坐标系中，直线 4cos()106与圆2sin的公共点的个数为【答案】2【解析】直线为2 3210 xy，圆为22(1)1xy，因为314d，所以有两个交点（12）【2017 年天津，理12，5 分】若,a bR，0ab，则4441abab的最小值为【答案】4【解析】442241414aba babab，当且仅当2,1ab时取等号（13）【2017 年天津，理 13，5 分】在ABC中，60A，3AB，2AC 若2BDDC，()AEACABR，且4ADAE，则的值为【答案】311【解析】32cos603AB AC，1233ADABAC，则1233ADAEABACACAB212334934333311（14）【2017 年天津，理14，5 分】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个（用数字作答）【答案】1080【解析】413454541080AC C A三、解答题：本大题共6 题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）【2017 年天津，理15，13 分】在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c已知 ab，5,6ac，3sin5B（1）求 b 和 sin A 的值；（2）求sin(2)4A的值解：（1）在ABC中，ab，故由3sin5B，可得4cos5B由已知及余弦定理，2222cos13bacacB，所以13b 由正弦定理sinsinabAB，得sin3 13sin13aBAb 所以b值为13，sinA的值为3 1313（2）由（1）及ac，得2 13cos13A，所以12sin 22sincos13AAA，25cos212sin13AA故7 2sin(2)sin2coscos2sin44426AAA（16）【2017 年天津，理16，13 分】从甲地到乙地要经过3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为1 1 1,2 3 4（1）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这2 辆车共遇到1 个红灯的概率解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，31111(0)(1)(1)(1)2344P X，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X，41111111111(2)(1)(1)(1)2342342344P X，1111(3)23424P X所以，随机变量X 的分布列为X0 1 2 3 P14112414124随机变量X的数学期望1111113()012342442412E X（2）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)(0)(1)(1)(0)P YZP YZP YZP YP ZP YP Z1111111142424448所以，这2辆车共遇到1 个红灯的概率为1148（17）【2017 年天津，理 17，13 分】如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，90BAC点DEN，分别为棱PAPCBC，的中点，M是线段AD的中点，4PAAC，2AB（1）求证：/MN平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值；（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长解：如图，以A为原点，分别以AB，AC，AP 方向为x轴、y轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系依题意可得0,0,0A，2,0,0B，0,4,0C，0,0,4P，0,0,2D，0,2,2E，0,0,1M，1,2,0N（1）0,2,0DE，2,0,2DB设(,)x y zn，为平面BDE的法向量，则00DEDBnn，即20220yxz不妨设1z，可得(1,0,1)n又1,2,1MN，可得0MN n因为MN平面BDE，所以/MN平面BDE（2）易知1(1,0,0)n为平面CEM的一个法向量设2(,)x y zn为平面EMN的法向量，则2200EMMNnn，因为(0,2,1)EM，(1,2,1)MN，所以2020yzxyz不妨设1y，可得2(4,1,2)n因此有1212124cos,|21nnn n|nn，于是12105sin,21n n 二面角CEMN的正弦值为10521（3）依题意，设AHh（04h），则0,0,Hh，进而可得(1,2,)NHh，(2,2,2)BE由已知，得2|22|7|cos,|21|52 3NHBEhNH BENHBEh，整理得2102180hh，解得85h，或12h所以，线段AH的长为85或12（18）【2017 年天津，理 18，13 分】已知na为等差数列，前n项和为()nS nN，nb是首项为2 的等比数列，且公比大于0，2312bb，3412baa，11411Sb（1）求na和nb的通项公式；（2）求数列221nna b的前n项和nN解：（1）设等差数列na的公差为d，等比数列 nb的公比为 q 由2312bb，得21()12b qq，而12b，所以260qq又因为0q，解得2q所以，2nnb由3412baa，可得138da5由114=11Sb，可得1516ad，联立，解得11a，3d，由此可得32nan所以，数列na的通项公式为32nan，数列nb的通项公式为2nnb（2）设数列221nna b的前n项和为nT，由262nan，1214nnb，有221(31)4nnna bn，故23245484(31)4nnTn，23414245484(31)4nnTn，上述两式相减，得231324343434(31)4nnnTn112(14)4(31)414nnn1(32)48nn得1328433nnnT所以，数列221nna b的前n项和为1328433nn（19）【2017 年天津，理19，14 分】设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12已知 A是抛物线22(0)ypx p的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设 l 上两点 P，Q 关于x轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B（B异于点 A），直线 BQ 与x轴相交于点 D 若APD的面积为62，求直线AP 的方程；解：（1）设 F 的坐标为,0c依题意，12ca，2pa，12ac，解得1a，12c，2p，22234bac所以，椭圆的方程为22413yx，抛物线的方程为24yx（2）设直线 AP 的方程为1(0)xmym，与直线 l 的方程1x联立，可得点2(1,)Pm，故2(1,)Qm将1xmy与22413yx联立，消去x，整理得22(34)60mymy，解得0y，或2634mym由点 B 异于点 A，可得点222346,3434mmBmm由21,Qm，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434mmxymmmm，令0y，解得222332mxm，故2223(,0)32mDm所以2222236|13232mmADmm又因为APD 的面积为62，故2216262|232mmm，整理得232 6|20mm，6|3m，63m直线AP 的方程为3630 xy，或 3630 xy（20）【2017 年天津，理 20，14 分】设 aZ，已知定义在R 上的函数432()2336f xxxxxa 在区间1,2内有一个零点0 x，g x 为 fx 的导函数（1）求 g x 的单调区间；（2）设001,)(,2mxx，函数0h xg xmxf m，求证：00h m h x；（3）求证：存在大于 0 的常数 A，使得对于任意的正整数,p q，且001,)(,2,pxxq满足041|pxqAq解：（1）由432()2336f xxxxxa，可得32()()8966g xfxxxx，可得2()24186gxxx令()0gx，解得1x，或14x当 x 变化时，,gxg x 的变化情况如下表：x,111,41,4gx+-+g x6所以，g x 的单调递增区间是,1，1,4，单调递减区间是11,4（2）由0()()()()h xg xmxf m，得0()()()()h mg m mxf m，000()()()()h xg xmxf m 令函数10()()()()Hxg xxxf x，则10()()()Hxg xxx由（1）知，当1,2x时，()0gx，故当01,)xx时，1()0Hx，1()Hx 单调递减；当0(,2xx时，1()0Hx，1()Hx 单调递增因此，当001,)(,2xxx时，1100()()()0HxHxf x，可得1()0Hm，()0h m令函数200()()()()Hxg xxxf x，则20()()()Hxg xg x 由（1）知，()g x 在 1,2 上单调递增，故当01,)xx时，2()0Hx，2()Hx 单调递增；当0(,2xx时，2()0Hx，2()Hx 单调递减因此，当001,)(,2xxx时，220()()0HxHx，可得2()0Hm，0()0h x 所以，0()()0h m h x（3）对于任意的正整数p，q，且001)(,2pxxq，令pmq，函数0()()()()hgmxxxmf由（2）知，当01),mx时，()h x 在区间0(,)m x内有零点；当0(,2mx时()h x 在区间0(),xm 内有零点所以()h x 在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为1x，则110()()()()0pphgxfqxqx由（1）知()g x 在 1,2 上单调递增，故10()()12()gxgg，于是432234041()|()|2336|()()(2)2ppffppp qp qpqaqqqxqg xggq因为当1 2,x时，()0g x，故()f x 在 1,2 上单调递增，所以()f x 在区间 1,2 上除0 x 外没有其他的零点，而0pxq，故()0pfq又因为 p，q，a均为整数，所以432234|2336|pp qp qpqaq是正整数，从而432234|2336|1pp qp qpqaq041|2|()pxqgq只要取()2Ag，就有041|pxqAq