2014年高考理科数学江苏卷-答案.pdf

1/12 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学答案解析 一、填空题 1.【答案】1,3【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为1和 3，所以答案为 1,3【提示】根据集合的基本运算即可得到结论【考点】交集及其运算 2.【答案】21【解析】222(52i)52 5 2i(2i)21 20iz ，实部为 21，虚部为20【提示】根据复数的有关概念，即可得到结论【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算 3.【答案】5【解析】根据流程图的判断依据，本题220n是否成立，若不成立，则n从 1 开始每次判断完后循环时，n赋值为1n；若成立，则输出n的值.本题经过 4 次循环，得到5n，5223220n成立，则输出的n的值为 5【提示】算法的功能是求满足220n的最小的正整数 n 的值，代入正整数 n 验证可得答案【考点】程序框图 4.【答案】13【解析】将随机选取 2 个数的所有情况“不重不漏”的列举出来：(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,6)，共 6 种情况，满足题目乘积为 6 的要求的是(1,6)和(2,3)，则概率为13【提示】首先列举并求出“从 1，2，3，6 这 4 个数中一次随机抽取 2 个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取 2 个数的乘积为 6”的事件的个数，利用概率公式计算即可【考点】古典概型及其概率计算公式 5.【答案】6【解析】根据题目中两个函数的图象有一个横坐标为3的交点，所以将3分别代入两个函数，得到1cossin(2)323，通过正弦值为12，解出22,()36kkZ或252,()36kkZ，化 2/12 简解得2,()2kk Z或2,()6kkZ，结合题目中0,的条件，确定出6 6.【答案】24【解析】从图中读出底部周长在80,90的频率为0.015 100.15，底部周长在90,100的频率为0.025 100.25，样本容量为 60 株，(0.150.25)6024株是满足题意的.【提示】根据频率小矩形的面积小矩形的高组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数样本容量频率求出底部周长小于100cm的频数【考点】频率分布直方图 7.【答案】4【解析】根据等比数列的定义，682aa q，462aa q，242aa q所以由8622aaa得6422222a qa qa q，消去22a q，得到关于2q的一元二次方程2 22()20qq，解得22q，42621 24aa q 【提示】利用等比数列的通项公式即可得出【考点】等差数列与等比数列 8.【答案】32【解析】由题意，221112222294SrrSrr，所以1232rr，圆柱的侧面积2Srh侧，1 122122r2ShSr h侧侧，则122123hrhr，11 1222923432VS hVS h【提示】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，旋转体（圆柱、圆锥、圆台）9.【答案】2555【解析】根据直线和圆的位置关系，直线与圆相交，求弦长，构建“黄金三角形”勾股定文，圆心为(2,1)，2r，圆心到直线的距离22|223|35512d，弦长=229222 4555rd【提示】求出已知圆的圆心为(2,1)C，半径2r 利用点到直线的距离公式，算出点 C 到直线 l 的距离 d，由垂径定理加以计算，可得直线230 xy 被圆截得的弦长【考点】直线与圆的位置关系 10.【答案】2,02 3/12 【解析】二次函数开口向上，在区间,1m m上始终满足()0f x，只需()0(1)0f mf m即可，22210(1)(1)10mmmm m ，解得2222302mm，则2,02m 【提示】由条件利用二次函数的性质可得22()210(1)(1)(1)10f mmf mmm m ，由此求得 m 的范围【考点】二次函数的性质 11.【答案】12【解析】根据P点在曲线上，曲线在点P处的导函数值等于切线斜率，22byaxx，72k ，将(2,5)P带入得5427442baba ，解得322ab，则12ab【提示】由曲线2byaxx（a，b 为常数）过点 P2,5（），且该曲线在点 P 处的切线与直线7230 xy平行，可得2|5xy，且27|2xy，解方程可得答案【考点】导数研究曲线上某点切线方程 12.【答案】22【解析】以AB，AD为基底，因为3CPPD，2AP BP，14APADDPADAB，34BPBCCPADAB 则13244AP BPADABADAB 2213216ADAD ABAB 因为8AB，5AD 则3122564162AB AD，故22AB AD【提示】由3CPPD，可得14APADAB，34BPADAB，进而由8AB，5AD，3CPPD，2AP BP，构造方程，进而可得答案【考点】向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算 13.【答案】10,2 4/12 【解析】根据题目条件，零点问题即转化为数形结合，通过找()yf x与ya的图象交点去推出零点，先画出(0,3)上2122yxx的图象，再将x轴下方的图象对称到上方，利用周期为 3，将图象平移至(3,4)，发现若()f x图象要与ya有 10 个不同的交点，则10,2a【提示】在同一坐标系中画出函数的图象与直线ya的图象，利用数形结合判断 a 的范围即可【考点】根的存在性及根的个数判断 14.【答案】624【解析】根据题目条件，由正弦定文将题目中正弦换为边，得22abc，再由余弦定理，用a，b去表示c，并结合基本不等式去解决，化简22ab为ab，消去ab就得出答案.22222222222312312242242cos22224ababababababcCabababab2231226242244abab【提示】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论【考点】余弦定理，正弦定理 15.【答案】（）1010（）43 310【解析】（）,2，5sin52 5cos5 10sinsincoscossin44410 （）,2，5sin5.23cos212sin5，4sin22sin cos5 555331443 3cos2coscos2sinsin2666252510 .5cos26的值为：43 310.5/12 【提示】（）通过已知条件求出cos，然后利用两角和的正弦函数求sin4的值；（）求出cos2，然后利用两角差的余弦函数求5cos26的值【考点】两角和与差的正弦函数，两角和与差的余弦函数 16.【答案】（）D，E，分别为 PC，AC，的中点，DEPA 又DEPAC平面，PAPAC平面，PADEF直线平面（）E，F 分别为棱 AC，AB 的中点，且8BC，由中位线知4EF D，E，分别为 PC，AC，的中点，且6PA，由中位线知3DE，又5DF 25DFEFDE，DEEF，又DEPA，PAEF，又PAAC，又 ACEFE，ACABC平面，EFABC平面，PAABC平面，DEABC平面，DEBDED平面，BDEABC平面平面【提示】（）由 D、E 为 PC、AC 的中点，得出DEPA，从而得出PADEF平面；（）要证平面BDEABC平面，只需证DEABC平面，即证DEEF，且DEAC即可【考点】平面与平面垂直的判定，直线与平面垂直的判定 17.【答案】（）2212xy（）55【解析】（）222=2BFbc，将点4 1,3 3C代入椭圆22221(0)xyabab，6/12 221611(0)99abab，且cba 2a，1b，椭圆方程为2212xy（）直线 BA 方程为byxba，与椭圆22221(0)xyabab联立得2222220acaxxcc 点2322222,a cbAacac，点2322222,a cbCacac1(,0)Fc 直线 CF1斜率3333bka cc，又1FCAB，32313bbca cc 222222()1(3)accac，55e 【提示】（）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出 a，b 的值（）求出 C 的坐标，利用1FCAB建立斜率之间的关系，解方程即可求出 e 的值【考点】椭圆的简单性质，椭圆的标准方程 18.【答案】（）150m（）10【解析】（）过点 B 作BEOC于点 E，过点 A 作ADBE于点 F.4tan3BCO，设5BCx，3CEx，4BEx，4OEAFx，60EFAO，3BFx 又ABBC，且90BAFABF，90CBEBOC，90ABFCBE，90CBEBAF，3460tan41703BFxBAFAFx，7/12 30 x，5150mBCx 新桥 BC 的长为150m.以 OC 方向为 x 轴，OA 为 y 轴建立直角坐标系.设点(0,)Mm，点(0,60)A，(80,120)B，(170,0)C直线 BC方程为4(170)3yx，即436800 xy，半径68035mR，又因为古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m，80RAM且80ROM，6803(60)805mm，1035m，68031305mR此时圆面积最大.当10OM 时圆形保护区面积最大.【提示】（）在四边形 AOCB 中，过 B 作BEOC于 E，过 A 作AFBE于 F，设出 AF，然后通过解直角三角形列式求解 BE，进一步得到 CE，然后由勾股定理得答案；（）设 BC 与M 切于 Q，延长 QM、CO 交于 P，设OMxm，把 PC、PQ 用含有 x 的代数式表示，再结合古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m 列式求得 x 的范围，得到 x 取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大.【考点】圆的切线方程，直线与圆的位置关系 19.【答案】（）见解析（）13m （）11(1)2aeeee,，时，()0h a，即1(1)lnaea，从而11aeea，当ae时，11eaae，当(,)(1,)aee 时，当1ae 时，()()0h ah e，即(1)(1)lnaea，从而11.aeea【解析】（）xR，且()()()xxfxeef x ()f x是 R 上的偶函数（）若关于 x 的不等式()1xmf xem在(0,)上恒成立，即(1)1xxxm eee，0 x，10 xxee，即11xxxemee在(0,)上恒成立，设xte，(1)t，则211tmtt 在(1,)上恒成立，221111111(1)(1)1113tttttttt ，当且仅当2t 时等号成立，13m .8/12 （）令3()(3)xxg xeeaxx，则2()3(1)xxg xeea x，当1x，()0g x，即函数()g x在1,)上单调递增，故此时()g x的最小值1(1)2geae，由于存在01)x，使 得3000()3)f xaxx成 立，故120eae，即112aee，令()(1)ln1h xxex，则1()1eh xx，由1()10eh xx，解得1xe，当01xe 时，()0h x，此时函数单调递减，当1xe 时，()0h x，此时函数单调递增，()h x在(0,)上的最小值为(1)h e，注意到(1)()0hh e，当(1,1)(0,1)xee时，(1)()(1)0h eh xh，当(1,)(1,)xeee 时，()()0h xh e，()0h x，对任意的(1,)xe成立.11(1,)2aeeee,时，()0h a，即1(1)lnaea，从而11aeea，当ae时，11eaae，当(,)(1,)aee 时，当1ae 时，()()0h ah e，即(1)(1)lnaea，从而11.aeea【提示】（）根据函数奇偶性的定义即可证明()f x是R上的偶函数；（）利用参数分离法，将不等式()1xmf xem在(0,)上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m 的取值范围（）利用a的取值范围进行分类讨论，即可得到答案；【考点】导数的综合应用 20.【答案】（）见解析（）1（）见解析【解析】解：（）当2n时，111222nnnnnnaSS，当1n 时，112aS.当1n 时，11Sa.当2n时，1nnSa 数列na是“H”数列.（）1(1)(1)22nn nn nSnadnd，对*n N，*m N使nmSa，即(1)1(1)2n nndmd，取2n 时，得1(1)dmd，解得12md，0d，2m，又*mN，1m，1d 9/12 （）设na的公差为 d，令1111)(2nbanan a，对*n N，11nnbba，1(1)()ncnad对*n N，11nnccad，则1(1)nnnbcanda，且数列 nb和 nc是等差数列.数列 nb的前 n 项和11(1)()2nn nTnaa，令1(2)nTm a，则1(1)()2n nmad.当1n 时，1m；当2n 时，1m 当3n时，由于 n 与3n的奇偶性不同，即(3)n n为非负偶数，*mN.因此对*n N，都可找到*mN，使nmTb成立，即 nb为 H 数列.数列 nc的前 n 项和(1)12nn nR，令1(1)()mncmadR，则(1)12n nm.对*n N，(3)n n为非负偶数，*mN.因此对*n N，都可找到*mN，使nmRc成立，即 nc为 H 数列.因此命题得证.数学 21.【答案】A 证明：OCOB，OCBB，BD，OCBD B.72 矩阵121Ax，1121B，向量2y ，AB，22224yyxyy，12x ，4y，72xy C.直线 l 的参数方程为212222xtyt，化为普通方程为3xy，与抛物线24yx联立，可得21090 xx，10/12 交点(1,2)A，(9,6)B，22|888 2AB D.证明：由均值不等式可得22313xyxy，22313xyx y 分别当且仅当21xy，21xy时等号成立，两式相乘可得22(11)9xyxyxy)(22.【答案】（）518（）()E X 209 X 2 3 4 P 11 13 1 14 63 126【解析】解（）一次取 2 个球共有2936C种可能，2 个球颜色相同共有2936C种可能情况 取出的 2 个球颜色相同的概率1053618P.（）X 的所有可能值为 4，3，2，则44491(4)126CP XC，3131453649(3)CCCCP XC 于是11(2)1(3)(4)14P XP XP X，X 的概率分布列为 X 2 3 4 P 11 13 1 14 63 126 故 X 数学期望1113120()23414631269E X 【提示】（）先求出取 2 个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（）先判断 X 的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可.【考点】散型随机变量的期望与方差，古典概型及其概率计算公式 23.【答案】（）0i(s n)xfxx，0)n(sixfxx，则两边求导，0()(sin)xfxx，)(nfx为1()nfx的导数，*nN，11/12 01()cosfxxf xx，两边再同时求导得，12(2)sinf xxfxx，将2x 代入上式得，1212222ff （）由（）得，01)cossin(2(fxxf xxx，恒成立两边再同时求导得，122)sinsi(n()f xxfxxx，再对上式两边同时求导得，23(33)cossin2fxxfxxxx，同理可得，两边再同时求导得，344)sinsin(2)(f xxfxxx，猜想得，1()sin2nnnnfxxfxx对任意*nN恒成立，下面用数学归纳法进行证明等式成立：当1n 时，01()()cossin2fxxf xxx成立，则上式成立；假设01()()cossin2fxxf xxx*(1)nk kkN且时等式成立，即1()()sin2kkkkfxxfxx，111()()()(1)kkkkkkkkfxxfxkfxfxxfxkfxxfx sin=cos222kkkxxx cossin2222kkkxxx ，那么*1(1)nkkkN且*1(1)nkkkN且时.等式11(1)()()sin2kkkkfxxfxx也成立，由得，1()sin2nnnnfxxfxx对任意*nN恒成立，12/12 令4x 代入上式得，12cos4444242nnnnffsin ，所以，对任意*nN，等式124442nnnff都成立.【提示】（）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：0)n(sixfxx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：12(2)sinf xxfxx，把2x 代入式子求值；（）由（）得，01()cosfxxf xx和12(2)sinf xxfxx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把4x 代入所给的式子求解验证【考点】三角函数中的恒等变换应用，导数的运算