2017年天津市和平区高考数学一模试卷(理科)(解析版).pdf

第 1 页（共 23 页）2017 年天津市和平区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 设集合 A=1，1，2，B=a+1，a22，若 AB=1，2，则 a 的值为（）A2 或1 B0 或 1 C2 或 1 D0 或22设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数z=3x+2y 的取值范围是（）A 6，22 B 7，22 C 8，22 D 7，233在 ABC中，若 AB=4，AC=BC=3，则 sinC的值为（）ABC D4阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）ABC D5“|x+1|+|x2|5”是“2x3”的（）A充分不必要条件 B 必要不充分条件第 2 页（共 23 页）C充要条件D既不充分也不必要条件6已知 A、B 分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右顶点，P为双曲线上一点，且ABP为等腰三角形，若双曲线的离心率为，则ABP的度数为（）A30B60C 120 D 30 或 1207如图，在平行四边形ABCD中，BAD=，AB=2，AD=1，若 M、N 分别是边 AD、CD上的点，且满足=，其中 0，1，则?的取值范围是（）A 3，1 B 3，1C 1，1D 1，38已知函数 f（x）=，若关于 x 的方程 f（x）m=0 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范围是（）A 0，4B（0，4）C （4，5）D（0，5）二、填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分）.9已知复数=a+bi，则 a+b=10（）8的展开式中 x2的系数为（用数字作答）11已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为第 3 页（共 23 页）cm312在直角坐标系 xOy，直线 l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程式=4cos，则圆 C的圆心到直线 l 的距离为13已知 f（x）=x3+3x2+6x，f（a）=1，f（b）=9，则 a+b 的值为14若不等式 3x2+y2mx（x+y）对于?x，yR恒成立，则实数m 的取值范围是三、解答题：本大题共6 小题，共 48 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程15已知函数 f（x）=2sin（ax）cos（ax）+2cos2（ax）（a0），且函数的最小正周期为（）求 a 的值；（）求 f（x）在 0，上的最大值和最小值16理科竞赛小组有9 名女生、12 名男生，从中随机抽取一个容量为7 的样本进行分析（）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可）第 4 页（共 23 页）（）如果随机抽取的7 名同学的物理、化学成绩（单位：分）对应如表：学生序号1234567物理成绩65707581858793化学成绩72688085908691规定 85 分以上（包括 85 份）为优秀，从这 7 名同学中再抽取 3 名同学，记这 3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为X，求随机变量 X的分布列和数学期望17如图，四棱锥 PABCD中，PA 底面 ABCD，ABDC，DAAB，AB=AP=2，DA=DC=1，E为 PC上一点，且 PE=PC（）求 PE的长；（）求证：AE平面 PBC；（）求二面角 BAE D 的度数18设 Sn是数列 an的前 n 项和，已知 a1=1，an+1=2Sn+1（nN*）（）求数列 an 的通项公式；（）若=3n1，求数列 bn 的前 n 项和 Tn19已知椭圆 E：+=1（ab0）经过点（2，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形（）求椭圆 E的方程；第 5 页（共 23 页）（）设 P（x，y）是椭圆 E上的动点，M（2，0）为一定点，求|PM|的最小值及取得最小值时 P点的坐标20设函数 f（x）=x2+alnx（a0）（1）若函数 f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线斜率为，求实数 a 的值；（2）求 f（x）的单调区间；（3）设 g（x）=x2（1a）x，当 a1 时，讨论 f（x）与 g（x）图象交点的个数第 6 页（共 23 页）2017 年天津市和平区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 设集合 A=1，1，2，B=a+1，a22，若 AB=1，2，则 a 的值为（）A2 或1 B0 或 1 C2 或 1 D0 或2【考点】交集及其运算【分析】由交集定义得到或，由此能求出 a 的值【解答】解：集合 A=1，1，2，B=a+1，a22，AB=1，2，或，解得 a=2 或 a=1故选：C2设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数z=3x+2y 的取值范围是（）A 6，22 B 7，22 C 8，22 D 7，23【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件，作可行域如图由 z=3x+2y，结合图形可知，当直线分别经过可行域内的点A，B 时，目标函数取得最值，第 7 页（共 23 页）由：，可得 A（4，5），由可得 B（1，2）时，目标函数取得最小值和最大值，分别为 zmax=34+25=22，zmin=31+22=7目标函数的范围：7，22 故选：B3在 ABC中，若 AB=4，AC=BC=3，则 sinC的值为（）ABC D【考点】余弦定理【分析】由已知利用余弦定理可求cosC的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求 sinC的值【解答】解：在 ABC中，AB=4，AC=BC=3，cosC=，sinC=故选：D4阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）第 8 页（共 23 页）ABC D【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S、i 的值，当 i=5 时，满足条件 i4，退出循环，输出S的值即可【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0，k=1；k=1，不满足条件 i4，S=1，i=2；k=，不满足条件 i4，S=，i=3；k=，不满足条件 i4，S=，i=4；k=，不满足条件 i4，S=，i=5；k=，满足条件 i4，退出循环，输出S=故选：C5“|x+1|+|x2|5”是“2x3”的（）A充分不必要条件 B 必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件第 9 页（共 23 页）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】对 x 分类讨论，解出不等式|x+1|+|x2|5，即可判断出结论【解答】解：由|x+1|+|x2|5，x2 时，化为 2x15，解得 2x3；1x2 时，化为 x+1（x2）5，化为：35，因此 1x2；x1 时，化为 x1x+25，解得 2x1综上可得：2x3“|x+1|+|x2|5”是“2x3”的充要条件故选：C6已知 A、B 分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右顶点，P为双曲线上一点，且ABP为等腰三角形，若双曲线的离心率为，则ABP的度数为（）A30B60C 120 D 30 或 120【考点】双曲线的简单性质【分析】双曲线的离心率为，则 a=b，双曲线方程为x2y2=a2，利用 ABP为等腰三角形，分类讨论，即可求出ABP的度数【解答】解：双曲线的离心率为，则 a=b，双曲线方程为 x2y2=a2，若|AB|=|BP|=2a，设 P（m，n），则，m=2a，PBx=60 ，ABP=120 ；若|AB|=|AP|=2a，设 P（m，n），则，m=2a，PAB=120 ，ABP=30 ，故选 D7如图，在平行四边形ABCD中，BAD=，AB=2，AD=1，若 M、N 分别是边 AD、CD上的点，且满足=，其中 0，1，则?的取值范围是第 10 页（共 23 页）（）A 3，1 B 3，1C 1，1D 1，3【考点】平面向量数量积的运算【分析】画出图形，建立直角坐标系，求出B，A，D 的坐标，利用比例关系和向量的运算求出，的坐标，然后通过二次函数的单调性，求出数量积的范围【解答】解：建立如图所示的以A 为原点，AB，AD所在直线为 x，y 轴的直角坐标系，则 B（2，0），A（0，0），D（，）满足=，0，1，=+=+（1）=+（1）=（，）+（1）（2，0）=（2，）；=+=+（1）=（2，0）+（1）（，）=（，（1），则?=（2，）?（，（1）=（2）（）+?（1）=2+3=（+）2，因为 0，1，二次函数的对称轴为：=，则 0，1 为增区间，故当 0，1 时，2+3 3，1 故选：A第 11 页（共 23 页）8已知函数 f（x）=，若关于 x 的方程 f（x）m=0 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范围是（）A 0，4B（0，4）C （4，5）D（0，5）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】关于 x 的方程 f（x）m=0 恰有五个不相等的实数解，则y=f（x）与y=m 有五个不同的交点，数形结合可得答案【解答】解：作出函数的图象，如图所示，关于 x 的方程 f（x）m=0 恰有五个不相等的实数解，则y=f（x）与 y=m 有五个不同的交点，0m4，故选 B二、填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分）.9已知复数=a+bi，则 a+b=2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简求出a，b 的值，则 a+b 的答案可第 12 页（共 23 页）求【解答】解：=，则 a+b=故答案为：210（）8的展开式中 x2的系数为70（用数字作答）【考点】二项式系数的性质【分析】利用通项公式即可得出【解答】解：Tr+1=（1）r，令 8=2，解得 r=4，展开式中 x2的系数=70故答案为：7011已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为20cm3【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图知该几何体是直三棱柱，切去一个三棱锥，结合图中数据求出它的体积第 13 页（共 23 页）【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是直三棱柱，切去一个三棱锥，如图所示；该几何体的体积为V=344234=20cm3故答案为：2012在直角坐标系 xOy，直线 l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程式=4cos，则圆 C的圆心到直线 l 的距离为【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】直线 l 的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，即可得出结论【解答】解：直线 l的参数方程为（t为参数），普通方程为 xy+1=0，圆=4cos 即 2=4cos，即 x2+y2+4x=0，即（x+2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心，半径等于2 的圆圆 C的圆心到直线 l 的距离为=，故答案为13已知 f（x）=x3+3x2+6x，f（a）=1，f（b）=9，则 a+b 的值为2【考点】函数的值第 14 页（共 23 页）【分析】推导出函数f（x）的图象关于（1，4）对称，（a，f（a），（b，f（b）恰好关于（1，4）对称，由此能求出a+b 的值【解答】解：f（x）=x3+3x2+6x，f（a）=1，f（b）=9，f（x）=（x+1）33x1+6x=（x+1）3+3x1=（x+1）3+3（x+1）4，函数 f（x）的图象关于（1，4）对称，f（a）=1，f（b）=9，（a，f（a），（b，f（b）恰好关于（1，4）对称，a+b=2故答案为：214若不等式 3x2+y2mx（x+y）对于?x，yR恒成立，则实数m 的取值范围是 6，2【考点】函数恒成立问题【分析】把 y 当作常数，得出关于x 的一元二次不等式（3m）x2my?x+y20恒成立，根据二次函数的性质列出不等式组解出m 的范围【解答】解：3x2+y2mx（x+y）恒成立，即（3m）x2my?x+y20 恒成立，解得 6m2故答案为 6，2 三、解答题：本大题共6 小题，共 48 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程15已知函数 f（x）=2sin（ax）cos（ax）+2cos2（ax）（a0），且函数的最小正周期为（）求 a 的值；第 15 页（共 23 页）（）求 f（x）在 0，上的最大值和最小值【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法【分析】（）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（x+）的形式，再利用周期公式求a 的值（）x 0，时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质求，可求 f（x）最大值和最小值【解答】解：函数 f（x）=2sin（ax）cos（ax）+2cos2（ax）（a0），化简可得：f（x）=sin（2ax）+cos（2ax）+1=cos2ax+sin2ax+1=2sin（2ax+）+1函数的最小正周期为即 T=由 T=，可得 a=2a 的值为 2故 f（x）=2sin（4x+）+1；（）x 0，时，4x+0，当 4x+=时，函数 f（x）取得最小值为=1当 4x+=时，函数 f（x）取得最大值为 21+1=3f（x）在 0，上的最大值为 3，最小值为 116理科竞赛小组有9 名女生、12 名男生，从中随机抽取一个容量为7 的样本进行分析（）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可）（）如果随机抽取的7 名同学的物理、化学成绩（单位：分）对应如表：第 16 页（共 23 页）学生序号1234567物理成绩65707581858793化学成绩72688085908691规定 85 分以上（包括 85 份）为优秀，从这 7 名同学中再抽取 3 名同学，记这 3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为X，求随机变量 X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（）如果按照性别比例分层抽样，则从9 名女生、12 名男生，从中随机抽取一个容量为7 的样本，抽取的女生为 3 人，男生为 4 人利用组合数的意义即可得出（II）这7名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为3人，抽取的3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数X可能取值为 0，1，2，3，可得 P（X=k）=，即可得出分布列与数学期望计算公式【解答】解：（）如果按照性别比例分层抽样，则从9 名女生、12 名男生，从中随机抽取一个容量为7 的样本，抽取的女生为 3 人，男生为 4 人可以得到个不同的样本（II）这 7 名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为3 人，抽取的 3 名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数X可能取值为 0，1，2，3，则 P（X=k）=，可得 P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=其 X分布列为：X0123P数学期望 E（X）=0+1+2+3=17如图，四棱锥 PABCD中，PA 底面 ABCD，ABDC，DAAB，AB=AP=2，第 17 页（共 23 页）DA=DC=1，E为 PC上一点，且 PE=PC（）求 PE的长；（）求证：AE平面 PBC；（）求二面角 BAE D 的度数【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）利用勾股定理求出AC长，从而得到 PC长，由此能求出PE（）以 A 为原点，AB为 x轴，AD 为 y 轴，AP为 z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AE 平面 PBC（）求出平面 ABE的法向量和平面 ADE的法向量，利用向量法能求出二面角BAE D的度数【解答】解：（）四棱锥 PABCD中，PA 底面 ABCD，ABDC，DAAB，AB=AP=2，DA=DC=1，E为 PC上一点，且 PE=PC，AC=，PC=，PE=PC=证明：（）以 A 为原点，AB为 x 轴，AD 为 y 轴，AP为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，2），E（），B（2，0，0），第 18 页（共 23 页）=（），=（2，0，2），=（1，1，2），=0，=0，AE PB，AE PC，又 PB PC=P，AE平面 PBC 解：（）D（0，1，0），=（2，0，0），=（0，1，0），=（），设平面 ABE的法向量=（x，y，z），则，取 y=1，得=（0，1，1），设平面 ADE的法向量=（a，b，c），则，取 a=1，得=（1，0，1），设二面角 BAE D 的度数为 ，则 cos=60，二面角 BAE D 的度数为 60 第 19 页（共 23 页）18设 Sn是数列 an的前 n 项和，已知 a1=1，an+1=2Sn+1（nN*）（）求数列 an 的通项公式；（）若=3n1，求数列 bn 的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）由条件得 an=2Sn1+1（n2），与条件式相减可得=3，再验证即可得 an 为等比数列，从而求出通项公式；（II）化简得 bn=（3n1）?3n1，使用错位相减法求和即可【解答】解：（I）an+1=2Sn+1，an=2Sn1+1，（n2），两式相减得：an+1an=2an，即=3又 n=1时，a2=2a1+1=3，第 20 页（共 23 页）an 是以 1 为首项，以 3 为公比的等比数列an=3n1（II）bn=（3n1）an=（3n1）?3n1，Tn=2?30+5?31+8?32+（3n1）?3n1，3Tn=2?31+5?32+8?33+（3n1）?3n，2Tn=2+32+33+34+3n（3n1）?3n=1（3n1）?3n=（）?3n，Tn=（）?3n+19已知椭圆 E：+=1（ab0）经过点（2，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形（）求椭圆 E的方程；（）设 P（x，y）是椭圆 E上的动点，M（2，0）为一定点，求|PM|的最小值及取得最小值时 P点的坐标【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（）由题意求得2b=a，将点（2，1），代入椭圆方程，即可求得a和 b 的值，求得椭圆方程；（）利用两点之间的距离公式，求得丨PM 丨2=（x2）2+y2，由 P在椭圆上，则 y2=4，代入利用二次函数的性质，即可求得|PM|的最小值及 P点坐标【解答】解：（）由题意可知：2b=a，将（2，1）代入椭圆方程：，解得：b2=4，a2=16，椭圆 E的方程；（）由丨 PM 丨2=（x2）2+y2，由 P（x，y）在椭圆上，（4x4）则 y2=4，第 21 页（共 23 页）丨 PM 丨2=x24x+4+4=x4x+8=（x+）+，当 x=时，丨 PM 丨取最小值，最小值为，当 x=，解得：y=，|PM|的最小值，P点的坐标（，）20设函数 f（x）=x2+alnx（a0）（1）若函数 f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线斜率为，求实数 a 的值；（2）求 f（x）的单调区间；（3）设 g（x）=x2（1a）x，当 a1 时，讨论 f（x）与 g（x）图象交点的个数【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出 f（x）的导数，由题意可得切线的斜率，即有a 的方程，解方程可得 a的值；（2）求出函数的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；（3）令 F（x）=f（x）g（x），问题转化为求函数F（x）的零点个数，通过讨论 a 的范围，求出函数F（x）的单调性，从而判断函数F（x）的零点个数即f（x），g（x）的交点即可第 22 页（共 23 页）【解答】解：（1）函数 f（x）=x2+alnx的导数为 f（x）=x+，由函数 f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线斜率为，可得 2+=，解得 a=3；（2）函数 f（x）的定义域为（0，+），f（x）=，当 a0 时，f（x）=，当 0 x时，f（x）0，函数 f（x）单调递减；当 x时，f（x）0，函数 f（x）单调递增综上，当 a0 时，f（x）的增区间是（，+），减区间是（0，）；（3）令 F（x）=f（x）g（x）=x2+alnxx2+（1a）x=x2+（1a）x+alnx，x0，问题等价于求函数F（x）的零点个数当 a1 时，F（x）=x+1a+=，由 a=1时，F（x）0，F（x）递减，由 F（3）=+6ln3=ln30，F（4）=8+8ln40，由零点存在定理可得F（x）在（3，4）内存在一个零点；当 a1 时，即 a1 时，F（x）在（0，1）递减，（1，a）递增，（a，+）递减，由极小值 F（1）=+（1a）+aln1=a0，极大值 F（a）=a2+a2a+aln（a）=a2a+aln（a）0，由 x+时，F（x），可得 F（x）存在一个零点综上可得，当 a1 时，f（x）与 g（x）图象交点的个数为1第 23 页（共 23 页）2017 年 4 月 2 日