2017年上海市高考数学试卷.pdf

第 1 页（共 21 页）2017 年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）1（4 分）已知集合 A=1，2，3，4，集合 B=3，4，5，则 AB=2（4 分）若排列数?6?=654，则 m=3（4 分）不等式?-1?1 的解集为4（4 分）已知球的体积为36，则该球主视图的面积等于5（4 分）已知复数 z满足 z+3?=0，则|z|=6（4 分）设双曲线?29?2?2=1（b0）的焦点为 F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=7（5 分）如图，以长方体ABCD A1B1C1D1的顶点 D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若?1的坐标为（4，3，2），则?1的坐标是8（5 分）定义在（0，+）上的函数 y=f（x）的反函数为 y=f1（x），若 g（x）=3?-1，?0?(?)，?0为奇函数，则 f1（x）=2 的解为9（5 分）已知四个函数：y=x，y=1?，y=x3，y=x12，从中任选2个，则事件“所选 2 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为10（5 分）已知数列 an 和 bn，其中 an=n2，nN*，bn 的项是互不相等的正整 数，若 对 于 任 意n N*，bn 的 第an项 等 于 an 的 第bn项，则?(?1?4?9?16)?(?1?2?3?4)=第 2 页（共 21 页）11（5 分）设 a1、a2R，且12+?1+12+?(2?2)=2，则|10 a1a2|的最小值等于12（5 分）如图，用 35 个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合=P1，P2，P3，P4，点 P，过P作直线 lP，使得不在 lP上的“”的点分布在 lP的两侧用 D1（lP）和 D2（lP）分别表示 lP一侧和另一侧的“”的点到 lP的距离之和若过 P的直线 lP中有且只有一条满足 D1（lP）=D2（lP），则 中所有这样的 P为二、选择题（本大题共4 题，每题 5 分，共 20 分）13（5 分）关于 x、y 的二元一次方程组?+5?=02?+3?=4的系数行列式 D 为（）A0543B1024C1523D605414（5 分）在数列 an中，an=（12）n，nN*，则?an（）A等于-12 B等于 0 C等于12D不存在15（5 分）已知 a、b、c 为实常数，数列 xn 的通项 xn=an2+bn+c，nN*，则“存在 kN*，使得 x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）Aa0 Bb0 Cc=0 Da2b+c=016（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 C1：?236+?24=1 和 C2：x2+?29=1 P为 C1上的动点，Q 为 C2上的动点，w 是?的最大值记=（P，Q）|P在 C1上，Q在 C2上，且?=w，则 中元素个数为（）A2 个 B 4 个 C 8 个 D无穷个三、解答题（本大题共5 题，共 14+14+14+16+18=76分）第 3 页（共 21 页）17（14 分）如图，直三棱柱ABC A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和 AC的长分别为 4 和 2，侧棱 AA1的长为 5（1）求三棱柱 ABC A1B1C1的体积；（2）设 M 是 BC中点，求直线 A1M 与平面 ABC所成角的大小18（14 分）已知函数 f（x）=cos2xsin2x+12，x（0，）（1）求 f（x）的单调递增区间；（2）设 ABC为锐角三角形，角A 所对边 a=19，角 B 所对边 b=5，若 f（A）=0，求 ABC的面积19（14 分）根据预测，某地第 n（nN*）个月共享单车的投放量和损失量分别为 an和 bn（单位：辆），其中 an=5?4+15，1?3-10?+470，?4，bn=n+5，第 n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差（1）求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量Sn=4（n46）2+8800（单位：辆）设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 ：?24+?2=1，A 为 的上顶点，P为 上异于上、下顶点的动点，M 为 x 正半轴上的动点（1）若 P在第一象限，且|OP|=2，求 P的坐标；（2）设 P（85，35），若以 A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线 AQ 与 交于另一点 C，且?=2?，?=4?，求直线 AQ的方程第 4 页（共 21 页）21（18 分）设定义在 R上的函数 f（x）满足：对于任意的x1、x2R，当 x1x2时，都有 f（x1）f（x2）（1）若 f（x）=ax3+1，求 a 的取值范围；（2）若 f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设 f（x）恒大于零，g（x）是定义在 R上的、恒大于零的周期函数，M 是g（x）的最大值函数h（x）=f（x）g（x）证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”第 5 页（共 21 页）2017 年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）1（4 分）已知集合 A=1，2，3，4，集合 B=3，4，5，则 AB=3，4【分析】利用交集定义直接求解【解答】解：集合 A=1，2，3，4，集合 B=3，4，5，AB=3，4 故答案为：3，4【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用2（4 分）若排列数?6?=654，则 m=3【分析】利用排列数公式直接求解【解答】解：排列数?6?=654，由排列数公式得?63=6 5 4，m=3故答案为：m=3【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用3（4 分）不等式?-1?1 的解集为（，0）【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可【解答】解：由?-1?1 得：1-1?1?1?0?0，故不等式的解集为：（，0），故答案为：（，0）第 6 页（共 21 页）【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题4（4 分）已知球的体积为36，则该球主视图的面积等于9【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积【解答】解：球的体积为 36，设球的半径为 R，可得43R3=36，可得 R=3，该球主视图为半径为3 的圆，可得面积为 R2=9 故答案为：9【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题5（4 分）已知复数 z满足 z+3?=0，则|z|=3【分析】设 z=a+bi（a，bR），代入 z2=3，由复数相等的条件列式求得a，b的值得答案【解答】解：由 z+3?=0，得 z2=3，设 z=a+bi（a，bR），由 z2=3，得（a+bi）2=a2b2+2abi=3，即?2-?2=-32?=0，解得：?=0?=3?=3?则|z|=3故答案为：3第 7 页（共 21 页）【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题6（4 分）设双曲线?29?2?2=1（b0）的焦点为 F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=11【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a 的值，结合双曲线的定义可得|PF1|PF2|=6，解可得|PF2|的值，即可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：?29?2?2=1，其中 a=9=3，则有|PF1|PF2|=6，又由|PF1|=5，解可得|PF2|=11 或1（舍）故|PF2|=11，故答案为：11【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义7（5 分）如图，以长方体ABCD A1B1C1D1的顶点 D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若?1的坐标为（4，3，2），则?1的坐标是（4，3，2）【分析】由?1的坐标为（4，3，2），分别求出 A 和 C1的坐标，由此能求出结果【解答】解：如图，以长方体ABCD A1B1C1D1的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，第 8 页（共 21 页）?1的坐标为（4，3，2），A（4，0，0），C1（0，3，2），?1=(-4，3，2)故答案为：（4，3，2）【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题8（5 分）定义在（0，+）上的函数 y=f（x）的反函数为 y=f1（x），若 g（x）=3?-1，?0?(?)，?0为奇函数，则 f1（x）=2 的解为89【分析】由奇函数的定义，当x0 时，x0，代入已知解析式，即可得到所求 x0 的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值【解答】解：若 g（x）=3?-1，?0?(?)，?0为奇函数，可得当 x0 时，x0，即有 g（x）=3x1，由 g（x）为奇函数，可得g（x）=g（x），则 g（x）=f（x）=13x，x0，由定义在（0，+）上的函数 y=f（x）的反函数为 y=f1（x），且 f1（x）=2，可由 f（2）=132=89，可得 f1（x）=2 的解为 x=89故答案为：89【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关第 9 页（共 21 页）系，考查运算能力，属于基础题9（5 分）已知四个函数：y=x，y=1?，y=x3，y=x12，从中任选2个，则事件“所选 2 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为13【分析】从四个函数中任选2 个，基本事件总数 n=?42=6，再利用列举法求出事件 A：“所选 2 个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件 A：“所选 2 个函数的图象有且只有一个公共点”的概率【解答】解：给出四个函数：y=x，y=1?，y=x3，y=x12，从四个函数中任选2 个，基本事件总数n=?42=6，有两个公共点（0，0），（1，1）事件 A：“所选 2 个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：，共 2 个，事件 A：“所选 2 个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为 P（A）=26=13故答案为：13【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用10（5 分）已知数列 an 和 bn，其中 an=n2，nN*，bn 的项是互不相等的正整数，若对于任意 nN*，bn 的第 an项等于 an的第 bn项，则?(?1?4?9?16)?(?1?2?3?4)=2【分析】an=n2，nN*，若对于一切 nN*，bn中的第 an项恒等于 an 中的第bn项，可得?=?=(?)2于是 b1=a1=1，(?2)2=b4，(?3)2=b9，(?4)2=b16即可得出【解答】解：an=n2，nN*，若对于一切nN*，bn中的第 an项恒等于 an中的第 bn项，?=?=(?)2第 10 页（共 21 页）b1=a1=1，(?2)2=b4，(?3)2=b9，(?4)2=b16b1b4b9b16=(?1?2?3?4)2?(?1?4?9?16)?(?1?2?3?4)=2故答案为：2【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11（5 分）设 a1、a2R，且12+?1+12+?(2?2)=2，则|10 a1a2|的最小值等于?4【分析】由题意，要使12+?1+12+?2?2=2，可得 sin 1=1，sin2 2=1求出 1和 2，即可求出|10 12|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质，可知sin 1，sin2 2的范围在 1，1，要使12+?1+12+?2?2=2，sin 1=1，sin2 2=1则：?1=-?2+2?1?，k1Z2?2=-?2+2?2?，即?2=-?4+?2?，k2Z那么：1+2=（2k1+k2）-3?4，k1、k2Z|10 12|=|10+3?4（2k1+k2）|的最小值为?4故答案为：?4【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查12（5 分）如图，用 35 个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合=P1，P2，P3，P4，点 P，过P作直线 lP，使得不在 lP上的“”的点分布在 lP的两侧用 D1（lP）和 D2（lP）分别表示 lP一侧和另一侧的“”的点到 lP的距离之和若过 P的直线 lP中有且只有第 11 页（共 21 页）一条满足 D1（lP）=D2（lP），则 中所有这样的 P为P1、P3、P4【分析】根据任意四边形 ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论【解答】解：设记为“”的四个点是 A，B，C，D，线段 AB，BC，CD，DA的中点分别为 E，F，G，H，易知 EFGH为平行四边形，如图所示；又平行四边形 EFGH的对角线交于点 P2，则符合条件的直线lP一定经过点 P2，且过点 P2的直线有无数条；由过点 P1和 P2的直线有且仅有 1 条，过点 P3和 P2的直线有且仅有 1 条，过点 P4和 P2的直线有且仅有 1 条，所以符合条件的点是P1、P3、P4故答案为：P1、P3、P4【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力二、选择题（本大题共4 题，每题 5 分，共 20 分）第 12 页（共 21 页）13（5 分）关于 x、y 的二元一次方程组?+5?=02?+3?=4的系数行列式 D 为（）A0543B1024C1523D6054【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解【解答】解：关于 x、y 的二元一次方程组?+5?=02?+3?=4的系数行列式：D=1523故选：C【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用14（5 分）在数列 an中，an=（12）n，nN*，则?an（）A等于-12 B等于 0 C等于12D不存在【分析】根据极限的定义，求出?an=?(-12)?的值【解答】解：数列 an中，an=（12）n，nN*，则?an=?(-12)?=0故选：B【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题15（5 分）已知 a、b、c 为实常数，数列 xn 的通项 xn=an2+bn+c，nN*，则“存在 kN*，使得 x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）Aa0 Bb0 Cc=0 Da2b+c=0【分析】由 x100+k，x200+k，x300+k成等差数列，可得：2x200+k=x100+kx300+k，代入化简即可得出【解答】解：存在 kN*，使得 x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2 a（200+k）2+b（200+k）+c=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a=0使得 x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a0第 13 页（共 21 页）故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 C1：?236+?24=1 和 C2：x2+?29=1 P为 C1上的动点，Q 为 C2上的动点，w 是?的最大值记=（P，Q）|P在 C1上，Q在 C2上，且?=w，则 中元素个数为（）A2 个 B 4 个 C 8 个 D无穷个【分析】设出 P（6cos，2sin ），Q（cos，3sin ），0 2，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数【解答】解：椭圆 C1：?236+?24=1 和 C2：x2+?29=1P为 C1上的动点，Q 为 C2上的动点，可设 P（6cos，2sin ），Q（cos，3sin ），0 2，则?=6coscos+6sin sin=6cos（），当 =2k，kZ时，w 取得最大值 6，则=（P，Q）|P在 C1上，Q 在 C2上，且?=w 中的元素有无穷多对另解：令 P（m，n），Q（u，v），则 m2+9n2=36，9u2+v2=9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324（3mu+3nv）2，当且仅当 mv=nu，即 O、P、Q 共线时，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q 有无穷多对，D 项正确故选：D【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题三、解答题（本大题共5 题，共 14+14+14+16+18=76分）17（14 分）如图，直三棱柱ABC A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB第 14 页（共 21 页）和 AC的长分别为 4 和 2，侧棱 AA1的长为 5（1）求三棱柱 ABC A1B1C1的体积；（2）设 M 是 BC中点，求直线 A1M 与平面 ABC所成角的大小【分析】（1）三棱柱 ABC A1B1C1的体积 V=SABCAA1=12?1，由此能求出结果（2）连结 AM，A1MA 是直线 A1M 与平面 ABC所成角，由此能求出直线A1M与平面 ABC所成角的大小【解答】解：（1）直三棱柱 ABC A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边 AB和 AC的长分别为 4 和 2，侧棱 AA1的长为 5三棱柱 ABC A1B1C1的体积：V=SABCAA1=12?1=124 2 5=20（2）连结 AM，直三棱柱 ABC A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边 AB和 AC的长分别为 4 和 2，侧棱 AA1的长为 5，M 是 BC中点，AA1底面 ABC，AM=12?=1216+4=5，A1MA 是直线 A1M 与平面 ABC所成角，tanA1MA=?1?=55=5，直线 A1M 与平面 ABC所成角的大小为 arctan 5第 15 页（共 21 页）【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题18（14 分）已知函数 f（x）=cos2xsin2x+12，x（0，）（1）求 f（x）的单调递增区间；（2）设 ABC为锐角三角形，角A 所对边 a=19，角 B 所对边 b=5，若 f（A）=0，求 ABC的面积【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由 f（A）=0，解得 A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值【解答】解：（1）函数 f（x）=cos2xsin2x+12=cos2x+12，x（0，），由 2k 2x2k，解得 k 12 xk，kZ，k=1时，12 x，可得 f（x）的增区间为?2，）；（2）设 ABC为锐角三角形，角 A 所对边 a=19，角 B所对边 b=5，若 f（A）=0，即有 cos2A+12=0，解得 2A=23，即 A=13，第 16 页（共 21 页）由余弦定理可得 a2=b2+c22bccosA，化为 c25c+6=0，解得 c=2或 3，若 c=2，则 cosB=19+4-252 1920，即有 B为钝角，c=2不成立，则 c=3，ABC的面积为 S=12bcsinA=125332=1534【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题19（14 分）根据预测，某地第 n（nN*）个月共享单车的投放量和损失量分别为 an和 bn（单位：辆），其中 an=5?4+15，1?3-10?+470，?4，bn=n+5，第 n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差（1）求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量Sn=4（n46）2+8800（单位：辆）设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【分析】（1）计算出 an 和bn的前 4 项和的差即可得出答案；（2）令 anbn得出 n42，再计算第 42 个月底的保有量和容纳量即可得出结论【解答】解：（1）an=5?4+15，1?3-10?+470，?4，bn=n+5a1=514+15=20a2=524+15=95a3=534+15=420a4=104+470=430b1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8第 17 页（共 21 页）b4=4+5=9前 4 个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前 4 个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，该地区第 4 个月底的共享单车的保有量为96530=935（2）令 anbn，显然 n3 时恒成立，当 n4 时，有 10n+470n+5，解得 n46511，第 42 个月底，保有量达到最大当 n4，an为公差为 10等差数列，而 bn 为等差为 1 的等差数列，到第42 个月底，单车保有量为?4+?42239+535?1+?42242=430+50239+5356+47242=8782S42=416+8800=873687828736，第 42 个月底单车保有量超过了容纳量【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题20（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 ：?24+?2=1，A 为 的上顶点，P为 上异于上、下顶点的动点，M 为 x 正半轴上的动点（1）若 P在第一象限，且|OP|=2，求 P的坐标；（2）设 P（85，35），若以 A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线 AQ 与 交于另一点 C，且?=2?，?=4?，求直线 AQ的方程【分析】（1）设 P（x，y）（x0，y0），联立?24+?2=1?2+?2=2，能求出 P点坐标（2）设 M（x0，0），A（0，1），P（85，35），由P=90 ，求出 x0=2920；由M=90 ，求出 x0=1 或 x0=35；由A=90 ，则 M 点在 x 轴负半轴，不合题意由此能求出点M 的横坐标第 18 页（共 21 页）（3）设 C（2cos，sin ），推导出 Q（4cos，2sin 1），设 P（2cos，sin ），M（x0，0）推导出 x0=34cos，从而 4cos 2cos=5cos，且 2sin sin 1=4sin，cos=43cos，且 sin=13（12sin ），由此能求出直线AQ【解答】解：（1）设 P（x，y）（x0，y0），椭圆 ：?24+?2=1，A 为 的上顶点，P为 上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|=2，联立?24+?2=1?2+?2=2，解得 P（233，63）（2）设 M（x0，0），A（0，1），P（85，35），若P=90 ，则?，即（x085，35）?（85，25）=0，（85）x0+6425625=0，解得 x0=2920如图，若 M=90 ，则?=0，即（x0，1）?（85x0，35）=0，?02-85?0+35=0，解得 x0=1或 x0=35，若A=90 ，则 M 点在 x 轴负半轴，不合题意点 M 的横坐标为2920，或 1，或35（3）设 C（2cos，sin ），?=2?，A（0，1），Q（4cos，2sin 1），又设 P（2cos，sin ），M（x0，0），|MA|=|MP|，x02+1=（2cos x0）2+（sin ）2，整理得：x0=34cos，?=（4cos 2cos，2sin sin 1），?=（54cos，sin），?=4?，第 19 页（共 21 页）4cos 2cos=5cos，且 2sin sin 1=4sin ，cos=43cos，且 sin=13（12sin ），以上两式平方相加，整理得3（sin ）2+sin 2=0，sin=23，或 sin=1（舍去），此时，直线 AC的斜率 kAC=1-?2?=510（负值已舍去），如图直线 AQ为 y=510 x+1【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题21（18 分）设定义在 R上的函数 f（x）满足：对于任意的x1、x2R，当 x1x2时，都有 f（x1）f（x2）第 20 页（共 21 页）（1）若 f（x）=ax3+1，求 a 的取值范围；（2）若 f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设 f（x）恒大于零，g（x）是定义在 R上的、恒大于零的周期函数，M 是g（x）的最大值函数h（x）=f（x）g（x）证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”【分析】（1）直接由 f（x1）f（x2）0 求得 a 的取值范围；（2）若 f（x）是周期函数，记其周期为 Tk，任取 x0R，则有 f（x0）=f（x0+Tk），证明对任意 x x0，x0+Tk，f（x0）f（x）f（x0+Tk），可得 f（x0）=f（x0+nTk），nZ，再由 x03Tk，x02Tk x02Tk，x0Tk x0Tk，x0 x0，x0+Tk x0+Tk，x0+2Tk=R，可得对任意 xR，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明【解答】（1）解：由 f（x1）f（x2），得 f（x1）f（x2）=a（x13x23）0，x1x2，x13x230，得 a0故 a 的范围是 0，+）；（2）证明：若 f（x）是周期函数，记其周期为Tk，任取 x0R，则有f（x0）=f（x0+Tk），由题意，对任意 x x0，x0+Tk，f（x0）f（x）f（x0+Tk），f（x0）=f（x）=f（x0+Tk）又f（x0）=f（x0+nTk），nZ，并且 x03Tk，x02Tk x02Tk，x0Tk x0Tk，x0 x0，x0+Tk x0+Tk，x0+2Tk=R，对任意 xR，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记 f（x）=c1，设 g（x）的一个周期为 Tg，则h（x）=c1?g（x），则对任意 x0R，h（x0+Tg）=c1?g（x0+Tg）=c1?g（x0）=h（x0），故 h（x）是周期函数；必要性：若 h（x）是周期函数，记其一个周期为Th第 21 页（共 21 页）若存在 x1，x2，使得 f（x1）0，且 f（x2）0，则由题意可知，x1x2，那么必然存在正整数N1，使得 x2+N1Tkx1，f（x2+N1Tk）f（x1）0，且 h（x2+N1Tk）=h（x2）又 h（x2）=g（x2）f（x2）0，而h（x2+N1Tk）=g（x2+N1Tk）f（x2+N1Tk）0h（x2），矛盾综上，f（x）0 恒成立由 f（x）0 恒成立，任取 x0A，则必存在 N2N，使得 x0N2Thx0Tg，即 x0Tg，x0?x0N2Th，x0，x03Tk，x02Tk x02Tk，x0Tk x0Tk，x0 x0，x0+Tk x0+Tk，x0+2Tk=R，x02N2Th，x0N2Th x0N2Th，x0 x0，x0+N2Th x0+N2Th，x0+2N2Th=R h（x0）=g（x0）?f（x0）=h（x0N2Th）=g（x0N2Th）?f（x0N2Th），g（x0）=Mg（x0N2Th）0，f（x0）f（x0N2Th）0因此若 h（x0）=h（x0N2Th），必有 g（x0）=M=g（x0N2Th），且 f（x0）=f（x0N2Th）=c而由（2）证明可知，对任意xR，f（x）=f（x0）=C，为常数综上，必要性得证【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大