【广东省汕头市】2017年普通高考第三次模拟考试数学(理科)试卷-答案.pdf

-1-/11 广东省汕头市广东省汕头市 2017 年年普通普通高考高考第三次模拟第三次模拟考试数学考试数学（理科）（理科）试卷试卷 答答 案案 15DCBBC 610AABCC 1112DA 13240 140,5 152 16134 17（）解：sin()1 cos()1 sin1 sin()2sincos12ABCCABAB ,1sincos2AB （）解：sin2 3sin3AaBb,由()知2 331sincossincossin2332ABBBB,3sin22B,23B 或23,6B 或3 18解：（）证明：作MECD交SD于点E,则,MEAB MESAD平面,连接AE,则四边形ABME为直角梯形,作MFAB,垂足为F,则AFME为矩形,设MEx,则222,(2)2SEx AEEDADx,2(2)2,2MFAExFBx,由tan60MFFB,得2(2)23(2)xx,解得1x,即1ME,从而12MEDC,M为侧棱SC的中点（）解：222MBBCMC,又60,2ABMAB,ABM为等边三角形 又由()知M为SC中点,2,6,2SMSAAM,222?,90SASMAMSMA,取AM中点G,连结BG,取SA中点H,连结GH,-2-/11 则,BGAM GHAM,由此知BGH为二面角SAMB的平面角,连结BH,在BGH中,22312223,2222BGAMGHSMBHABAH,2226cos23BGGHBHBGHBG GH 二面角SAMB的余弦值为63 19解：（）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验,在一次试验中,机器出现故障设为A,则事件A的概率为13,该厂有 4 台机器就相当于 4 次独立重复试验,因出现故障的机器台数为X,故1(4,)3XB,044216(0)()381P XC,0341232(1)()3381P XC,034128(3)()3381P XC,1(4)81P X 即 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 P 1681 3281 2481 881 181（）设该厂有n名工人,则“每台机器在任何时刻同时出现故障及时进行维修”为xn,即0,1,.,xxxn，这1n个互斥事件的和事件,则 n 0 1 2 3 4()P xn 1681 4881 7281 8081 1 728090%8181,至少要 3 名工人,才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修的概率不少于 90%（）设 该 厂 获 利 为Y万 元,则Y的 所 有 可 能 取 值 为：18,13,8,7281(18)(0)(1)(2),(13)(3),(8)(4)818181P YP XP XP XP YP XP YP X,即 Y 的分布列为：Y 18 13 8 P 7281 881 181 则72811408()1813881818181E Y ,故该厂获利的均值为140881 20 解：（）将 抛 物 线2:E yx代 入 圆222:(4)(0)Mxyrr的 方 程,消 去2y,整 理 得-3-/11 227160(1)xxr 抛物线2:E yx与圆222:(4)(0)Mxyrr相交于,A B C D四个点的充要条件是：方程(1)有两个不相等的正根 212212494(16)070160rxxxxr 即15152244rrr或 解这个方程组得1542r,15(,4)2r（）设四个交点的坐标分别为 11112222(,),(,),(,),(,)A xxB xxC xxD xx 则直线,AC BD的方程分别为212111112121(),()xxxxyxxxyxxxxxxx,解得点 P 的坐标为12(,0)x x,则由()根据韦达定理有212127 0,16xxxxr,15(,4)2r 则2121212112|()|()2Sxxxxxxxx 222212121212()4(2)(72 16)(415)Sxxx xxxx xrr 令216rt,则22(72)(72t)St下面求2S的最大值 由三次均值有：223311 7272144128(72)(72t)(72)(72)(144)()()22323tttStttt 当且仅当72144tt,即76t 时取最大值 经检验此时15(,4)2r满足题意 故所求的点 P 的坐标为7(,0)6 -4-/11 21（）解：证明：()f x的定义域为(10,)1),()f x的导数为2ln1()(ln)xfxx,直线()yg x过定点(1,0),若直线()yg x与()yf x相切于点(,)lnmmm,则2ln1ln(ln)1mmmkmm,即为ln10mm 设1()ln1,()1 0h xxxh xx,则()h x在(0,)递增,(1)0h,当且仅当1m成立 与定义域矛盾,故k R,直线()yg x都不是曲线()yf x的切线；（）解：11()()(1)2ln2xf xg xk xx,可令2()(1),e,e lnxm xk xxx,则2e,e x,使得min11()()()22f xmgxx成立 22ln1111()()(ln)ln24xm xkkxx,当14k时,()0m x,()m x在2e,e 递减,于是222mine1()(e)(e1)22m xmk,解得12k,满足14k,故12k成立；当14k时,由211()24ytk,及1lntx得2111()()ln24m xkx 在2e,e 递增,2(e)()(e)mm xm,即1()4km xk,若0k 即0,()0km x,则()m x在2e,e 递增,min1()(e)e(e 1)e2m xmk ,不成立；若0k,即104k 时,由21(e)0,(e)04mkmk,由()m x单调性可得20e,e x,由0()0m x,且当0(e,),()0,()xxm xm x递减；当20(,e),()0,()xxm xm x递增,可得()m x的最小值为0000001+(1),+(1)lnln2xxk xk xxx由,可得000001111)()1 ln212xxkxxx(1124,与104k 矛盾 综上可得k的范围是12k -5-/11 22解：（）点P在直线 l 上,理由如下：直线 l：32cos()6,即2cos()36,亦即 3 cossin3,直线 l 的直角坐标方程为：3()3xy,易知点 P 在直线 l 上（）由题意,可得直线 l 的参数方程为12(t)332xtyt 为参数,曲线 C 的普通方程为22142yx 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程,得251240tt,设两根为12,t t,1212124,55tttt ,212121 24 14|PA|PB|()45ttttt t,4 1411|PA|PB|5144|PA|PB|PA|PB|5 23（）解：依题意有：|23|(3)aaa,若32a,则23 3a,332a,若302a,则323a,302a,若0a,则32(3)aaa,无解,综上所述,a的取值范围为(0,3)（）解：由题意可知,当 1,1x 时,()()f xg x恒成立,|x a|3恒成立,即33xax ,当 1,1x 时恒成立,22a -6-/11 广东省汕头市广东省汕头市 2017 年年普通普通高考高考第三次模拟第三次模拟考试数学考试数学（理科）（理科）试卷试卷 解解 析析 1【考点】交集及其运算【解析】解：由 A 中 xN,x3,得到 A=0,1,2,当 a=0,b=1 时,x=01=1；当 a=0,b=2 时,x=02=2；当 a=1,b=0 时,x=10=1；当 a=1,b=2 时,x=12=1；当 a=2,b=0 时,x=20=2；当 a=2,b=1 时,x=21=1,当 a=b 时,x=0 则 AB=0,1,2,故选：D【分析】列举出 A 中自然数的值确定出 A,代入 B 中计算确定出 B,求出两集合的交集即可 2【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】解：设 z=a+bi,则=abi,|z|=3+4i,b=4,故选：C【分析】设 z=a+bi,则=abi,由题意可知 b=4 3【考点】等差数列的前 n 项和 【解析】解：设等差数列an的公差为 D 由等差数列的性质可得：S7S5=24=a6+a7 ,a3=5,2a1+11d=24,a1+2d=5,解得 a1=1,d=2,则 S7=7+2=49 故选：B【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出 4【考点】进行简单的合情推理 【解析】解：在甲乙丙丁四人的供词不达意中,可以看出乙丁两人的观点是一致的,因此乙丁两人的供词应该是同真或同假(即都是真话或者都是假话,不会出现一真一假的情况)；假设乙 丁两人说的是真话,那么甲丙两人说的是假话,由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话,推出乙丙丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾的；所以乙丁两人说的是假话,而甲丙两人说的是真话；由甲丙的供述内容可以断定乙是罪犯,乙丙丁中有一人是罪犯,由丁说假说,丙说真话,推出乙是罪犯 故选 B【分析】这个问题的关键是四人中有两人说真话,另外两人说了假话,这是解决本题的突破口；然后进行分析推理即可得出结论 -7-/11 5【考点】线性回归方程 【解析】解：根据表中数据,计算 =(2+3+4+5+6)=4,=(3+4+6+10+12)=7,且回归直线方程为=24x+,=724 4=26,回归方程为=24x26；当 x=9 时,=24 926=19,即据此模型预测广告费用为 9 万元时,销售轿车台数为 19 故选：C【分析】根据表中数据计算 ,由回归直线方程过样本中心点求出 的值,写出回归方程,利用回归方程计算 x=9 时 的值即可 6【考点】排列组合的实际应用 【解析】解：根据题意,有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同,在六个盒子中任选 3 个,放入与其编号相同的小球,有 C63=20 种选法,剩下的 3 个盒子的编号与放入的小球编号不相同,假设这 3 个盒子的编号为 456,则 4 号小球可以放进 56 号盒子,有 2 种选法,剩下的 2 个小球放进剩下的 2 个盒子,有 1 种情况,则不同的放法总数是 20 2 1=40；故选：A【分析】根据题意,分 2 步进行分析：在六个盒子中任选 3 个,放入与其编号相同的小球,由组合数公式可得放法数目,假设剩下的 3 个盒子的编号为 456,依次分析 456 号小球的放法数目即可；进而由分步计数原理计算可得答案 7【考点】函数奇偶性的判断 【解析】解：根据题意,设 x0,(x)0,又由,则 f(x)=mlog2017x+3sinx,则 f(x)=log2017(x)+nsin(x)=log2017xnsinx,又由函数 f(x)为偶函数,则有 f(x)=f(x),即 mlog2017x+3sinx=log2017xnsinx,则有 m=1,n=3；则 mn=1(3)=4；-8-/11 故选：A【分析】根据题意,设 x0,则有(x)0,由函数 f(x)的解析式可得 f(x)=mlog2017x+3sinx 以及 f(x)=log2017(x)+nsin(x)=log2017xnsinx,结合函数的奇偶性可得 mlog2017x+3sinx=log2017xnsinx,分析可得 m n 的值,计算可得 mn 的值 8【考点】由三视图求面积体积 【解析】解：由 三视图知,商鞅铜方升由一圆柱和一长方体 组合而成由题意得：(54 x)31+(2)2x=126,x=16 故选：B【分析】由三视图知,商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成利用体积求出 x 9【考点】双曲线的简单性质 【解析】解：双曲线 =1(a0,b0)的渐近线方程为 y=x,代入抛物线方程 y=x2+1,得 x2 x+1=0,由相切的条件可得,判别式 4=0,即有 b=2a,则 c=a,则有 e=故选 C【分析】求出双曲线的渐近线方程,代入抛物线方程,运用相切的条件：判别式为 0,解方程,可得 a,b 的关系,再由双曲线的 a,b,c 的关系和离心率公式,计算即可得到 10【考点】在实际问题中建立三角函数模型 【解析】解：设 y 关于 t 的函数：y=sin(t+)12 秒旋转一周,T=12,=,当 t=0 时,点 A0(,),将该点代入,得到=,y=sin(t+),故选：C【分析】首先,设 y 关于 t 的函数：y=sin(t+),根据周期求出,再根据过点 A 求出,问题得以解决 11【考点】简单线性规划 -9-/11 【解析】解：由已知得到可行域如图：由图可知,对任意(x0 ,y0)D,不等式 x02y0+c0 恒成立,即 cx+2y 恒成立,即 c(x+2y)min ,当直线z=x+2y 经过图中 A(1,0)时 z 最小为1,所以 c1；故选 D【分析】首先画出平面区域,由对任意(x0 ,y0)D,不等式 x02y0+c0 恒成立,即求x+2y 的最小值,利用其几何意义求得即可 12【考点】根的存在性及根的个数判断 【解析】解：f(x)=(x1)(x+3)ex ,f(x)在(,3)和(1,+)上单增,(3,1)上单减,又当 x时f(x)0,x+时f(x)+,故f(x)的图象大致为：令 f(x)=t,则方程 必有两根 t1 ,t2(t1t2)且,当 t1=2e 时恰有,此时 f(x)=t1有 1 个根,f(x)=t2有 2 个根；当 t12e 时必有,此时 f(x)=t1无根,f(x)=t2有 3 个根；当2et10 时必有,此时 f(x)=t1有 2 个根,f(x)=t2有 1 个根；综上,对任意 mR,方程均有 3 个根 故选：A【分析】利用导数求出函数的单调性,画出图象,令 f(x)=t,则方程 必有两根 t1 ,t2(t1t2)且 -10-/11 ,根据图象求解 13【考点】二项式定理 【解析】解：因为(xy)10的展开式中含 x7y3的项为 C103x103y3(1)3=C103x7y3 ,含 x3y7的项为 C107x107y7(1)7=C107x3y7 由 C103=C107=120 知,x7y3与 x3y7的系数之和为240.故答案为240.【分析】首先要了解二项式定理：(a+b)n=Cn0anb0+Cn1an1b1+Cn2an2b2+Cnranrbr+Cnna0bn ,各项的通项公式为：Tr+1=Cnranrbr 然后根据题目已知求解即可 14【考点】平面向量数量积的运算 【解析】解：,|+|=5,|2=()=|(|cos(,)=5|cos(,),|=0,或|=5cos(,)5,故 的取值范围0,5,故答案为：0,5【分析】先根据向量的数量积和向量的模,求出|+|=5,再由,得到|2=5|cos(,),继而求出范围 15【考点】同角三角函数基本关系的运用 【解析】解：cos2=sin=1sin2,sin=,或 sin=(舍去),则=+sin2=+=2,故答案为：2【分析】利用同角三角函数的基本关系,求得 sin 的值,可得要求式子的值 16【考点】数列的概念及简单表示法 【解析】解：由能被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的数就是能被 15 整除余 1 的数,故 an=15n14 由 an=15n142017 得 n135,当 n=1 时,符合要求,但是该数列是从 2 开始的,故此数列的项数为 1351=134 故答案为：134【分析】由能被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的数就是能被 15 整除余 1 的数,运用等差数列通项公式,以及解不等式即可得到所求项数 17【考点】同角三角函数基本关系的运用 -11-/11 【解析】(1)由已知利用三角形内角和定理,三角函数恒等变换的应用化简可得；(2)由已知利用正弦定理及()可得,进而可求 B 的值 18【考点】棱锥的结构特征,与二面角有关的立体几何综合题 【解析】()作 MECD 交 SD 于点 E,连结 AE,作 MFAB,垂足为 F,则 AFME 为矩形,由此利用已知条件能推导出 M 为侧棱 SC 的中点()由已知条件推导出ABM 为等边三角形取 AM 中点 G,连结 BG,取 SA中点 H,连结 GH,能求出BGH 为二面角 SAMB 的平面角,由此能求出二面角 SAMB 的余弦值 19【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】(I)利用二项分布列的性质与计算公式即可得出()设该厂有 n 名工人,则“每台机器在任何时刻同时出现故障及时进行维修”为 xn,即 x=0,x=1,x=n,这 n+1 个互斥事件的和事件,利用(I)的分布列即可得出()设该厂获利为 Y 万元,则 Y 的所有可能取值为：18,13,8,利用(I)的分布列及其互斥事件的概率计算公式即可得出 20【考点】两点间距离公式的应用,圆方程的综合应用,抛物线的简单性质 【解析】【分析】(1)先联立抛物线与圆的方程消去 y,得到 x 的二次方程,根据抛物线 E：y2=x 与圆 M：(x4)2+y2=r2(r0)相交于 ABCD 四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根,可求出 r 的范围(2)先设出四点 A,B,C,D 的坐标再由(1)中的 x 二次方程得到两根之和 两根之积,表示出面积并求出其的平方值,最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点 P 的坐标 21【考点】函数的最值及其几何意义,利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】(1)求出 f(x)的导数,可得切线的斜率,设出切点,构造函数 h(x)=lnx+x1,求出导数和单调区间,即可得证；(2)f(x)g(x)+k(x1),可令 m(x)=k(x1),xe,e2,则xe,e2,使得 f(x)g(x)+成立m(x)min 对 k 讨论,当 k 时,当 k 时,运用单调性,求出最小值,解不等式即可得到所求范围 22【考点】简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程 【解析】()点 P 在直线 l 上,理由如下：直线 l：=,展开可得=,可得直线 l 的直角坐标方程即可验证()由题意,可得直线 l 的参数方程为(t 为参数),曲线 C 的普通方程为=1将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程,得 5t2+12t4=0,可得|PA|+|PB|=|t1t2|=,即可得出 23【考点】绝对值不等式的解法 【解析】(1)将 x=a3 代入不等式,解关于 a 的不等式即可；(2)得到|x+a|3 恒成立,即3xa3x,当 x1,1时恒成立,求出 a 的范围即可