2017年高考文科数学北京卷-答案.pdf

1/7 2017 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文科数学答案解析 第一部分 一、选择题 1【答案】C【解析】由已知得，集合 A 的补集2,2UA 【考点】集合的补运算 2【答案】B【解析】复数(1 i)(i)1+(1)iaaa，其在复平面内对应的点(1,1)aa在第二象限,故10,10,aa，解得1a,故选：B【考点】复数的乘法运算，复数的几何意义 3【答案】C【解析】第一次循环，1k，2s；第二次循环，2k，32s；第三次循环，3k，53s，此时k不满足条件，推出循环，输出的值为53【考点】循环结构的程序抠图，学生的计算能力 4【答案】D【解析】作出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示（三角形 ABC 及其内部），三个顶点分别为(1,1)A，(3,1)B，(3,3)C平移直线+2=0 xy，易知当直线过(3,3)C时，+2xy取得最大值，即max(+2)=32 3=9xy 【考点】线性规划 5【答案】B 2/7 【解析】由1()()3()3xxfxf x，得知()f x为奇函数，因为1()3xy 在R上是减函数，所以1()3xy 在 R 上是增函数，又3xy 在 R 上是增函数，所以1()3()3xxfx在R上是增函数，故选 B【考点】函数的奇偶性和单调性 6【答案】D【解析】如图，把三棱锥AABC放到长方体中，长方形的长、高、宽分别为 5，3，4，BCD，为直角三角形，直角边分别为 5 和 3，三棱锥AABC的高为 4，故该三棱锥的体积是115 3 41032V 【考点】三视图和三棱锥体积的求解，空间想象能力 7【答案】A【解析】对于非零向量 m，n，若存在负数，使得mn，则 m，n 互为相反向量，则0m n，满足充分性；而0m n包含向量互为相反向量或者其夹角为钝角两种情况,故由0m n推出互为相反向量，所以不满足必要性所以“存在负数，使得mn”是“0m n”的充分而不必要条件，故选 A【考点】向量共线，向量的数量积和充要关系 8【答案】D【解析】由已知得，93.28lglglg361 lg380 lg10361 0.4880=lg10MMNN 故与MN最接近的是9310【考点】数运算和数据估算 第二部分 二填空题 9【答案】13【解析】解法一 当角的终边在第一象限时，取角终边上一点1()2 2,1P，其关于 y 轴的对称点()2 2,1，在角的终边上，此时13sin；当角的终边在第二象限时，取角终边上一点2()2 2,1P，其关于 y 轴的对称点(2 2,1)在角的终边上，此时13sin，综合可得13sin 解法二 令角与角均在区间0,内，故角与角互补，得1 3sinsin 3/7 解法三 由已知可得，1sinsin(2k+)sin()sin(Z)3k【考点】解直角三角形，坐标与图形性质.10【答案】2【解析】由已知可得1a，1cm，所以13cema，解得2m【考点】双曲线的离心率.11【答案】1,12【解析】解法一 有已知可得,1yx，代入22xy，得22222211+(1)2212()22xyxxxxx，0,1x当0 x 或1x 时取得最大值 1，当12x 时，取得最小值12，所以22xy的取值范围是1,12 解法二 当直线+1x y 与两坐标轴的交点分别为(0,1)A，(1,0)B，点(,)P x y为线段 AB 上一点，则 P 到原点 O 的距离为222200 12211POxy，又1POAO，所以22212xy，所以22xy的取值范围是1,12 解 法 三 令cosxt，sinyt，0,2，+(cossin)2 sin(+)14x ytt，解 得12 s i n(+)4t，3+,444，2sin(+)124，12sin(+)24.所 以2,12t，2221,12xyt【考点】代数式的取值范围，数形结合思想，转化与化归思想的应用 12【答案】6【解 析】解 法 一 由 题 意 知，(2,0)AO，令(cos,sin)P，则cos+2,s(i)nAP，cos+2,s(2,0)()inco24s6AO AP,故AO AP的最大值为 6 解法二 由题意知，(2,0)AO，令(,)P x y，11x，则(2,0)(2,)246AO APxyx，故AO AP的最大值为 6【考点】向量的数量积.4/7 13【答案】1,2,3 （答案不唯一）【解析】解法一 取1a，2b，3c，满足abc，但+3a bc，不满足+a bc，故设a，b，c是任意实数若abc，则+a bc是假命题的一组整数,a，b，c的值依次为1,2,3 解法二 命题“设a，b，c是任意实数.若abc，则+a bc的逆否命题是”“设a,b,c是任意实数.若+a bc，则abc”其逆否命题也是假命题，令1a，2b,3c，满足+a bc，但不满足abc，所以可以取1a，2b，3c 【考点】命题的真假判断 14【答案】6 12【解析】令男学生、女学生、教师人数分别是,x y z,且xyz,若教师人数为 4，则48yx，当7x 时，y取得最大值 6当1z 时，12zyx不满足条件；当2z 时24zyx，不满足条件；当3z 时36zyx4y，5x，满足条件，所以该小组人数的最小值为34512【考点】学生的逻辑推理能力 三、解答题 15【答案】()21nan()2113521311 3332nnnbbbb 【解析】解：()设等差数列 na的公差为 d.因为2410aa，所以12410ad.解得2d.所以21nan.()设等比数列的公比为 q.因为245b ba，所以3119bqbq.解得23q.所以2212113nnnbbq.从而2113521311 3332nnnbbbb 【考点】等差数列，等比数列的通项公式和等比数列求前 n 项和 16【答案】解：()3313()cos2sin2sin2sin2cos2sin(2)22223f xxxxxxx.所以()f x的最小正周期22T.5/7 ()因为44x，所以52636x.所以1sin(2)sin()362x.所以当,4 4x 时，1()2f x .【考点】三角函数化简，三角恒等变换，三角函数的性质 17【答案】解：()根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于 70 的频率为(0.020.04)100.6，所以样本中分数小于 70 的频率为1 0.60.4，所以从总体的 400 名学生中随机抽取一人,其分数小于 70 的概率估计为 0.4()根据题意,样本中分数不小于 50 的频率为(0.01 0.020.040.02)100.9，分数在区间40,50)内的人数为100 100 0.955 所以总体中分数在区间40,50)内的人数估计为540020100()由题意可知,样本中分数不小于 70 的学生人数为(0.020.04)10 10060，所以样本中分数不小于 70 的男生人数为160302 所以样本中的男生人数为30 260，女生人数为1006040，男生和女生人数的比例为60:403:2 所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2【考点】分层抽样，数据处理能力 18【答案】解：()因为PAAB,PABC，所以PA平面ABC，又因为BD平面ABC，所以PABD()因为ABBC，D为AC中点，所以BDAC，由()知，PABD，所以BD平面PAC 所以平面BDE 平面PAC()因为PA平面BDE，平面PAC平面BDEDE，所以PA DE 6/7 因为D为AC的中点，所以112DEPA，2BDDC 由()知,PA平面ABC，所以DE 平面PAC 所以三棱锥EBCD的体积1163VBD DC DE【考点】线线垂直，面面垂直和三棱锥的体积 19【答案】解：()设椭圆C的方程为22221(0)xyabab 由题意得2,3,2aca解得3c 所以2221bac 所以椭圆C的方程为2214xy()设(,)M m n，则(,0),(,)D mN mn 由题设知2m，且0n 直线AM的斜率2AMnkm，故直线DE的斜率2DEmkn 所以直线DE的方程为2()myxmn 直线BN的方程为(2)2nyxm 联立2(),(2),2myxmnnyxm 解得点E的纵坐标222(4)4Enmymn 由点M在椭圆C上，得2244mn 所以45Eyn 又12|25BDEESBDyBDn，1|2BDNSBDn，7/7 所以BDE与BDN的面积之比为4:5【考点】椭圆的方程、几何性质和三角形的面积公式 20【答案】解：()因为()e cosxf xxx，所以()e(cossin)1,(0)0 xfxxxf 又因为(0)1f，所以曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程为1y ()设()e(cossin)1xh xxx，则()e(cossinsincos)2e sinxxh xxxxxx 当(0,)2x时，()0h x,所以()h x在区间0,2上单调递减 所以对任意(0,2x有()(0)0h xh，即()0fx 所以函数()f x在区间0,2上单调递减 因此()f x在区间0,2上的最大值为(0)1f，最小值为()22f 【考点】导数，曲线的切线方程和函数的最值