1、1第第1 1章章 数列极限与数列极限与数项级数数项级数 1.1 数列的极限数列的极限2“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”引例引例1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽 1.1.1 数列极限的定义数列极限的定义3正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积4引例引例2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”5例如例如6注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数
2、轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数7播放播放数列的极限的定义8问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:910如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是就说数列是发散的发散的.注意：注意：11几何解释几何解释:其中其中12数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.注意：注意：几何解释几何解释:13例例1.已知已知证明数列
3、证明数列的极限为的极限为1.证证:欲使欲使即即只要只要因此因此,取取则当则当时时,就有就有故故14例例2.已知已知证明证明证证:欲使欲使只要只要即即取取则当则当时时,就有就有故故故也可取故也可取也可由也可由N 与与 有关有关,但不唯一但不唯一.不一定取最小的不一定取最小的 N.说明说明:取取例例3.设设证明等比数列证明等比数列证证:欲使欲使只要只要即即亦即亦即因此因此,取取,则当则当 n N 时时,就有就有故故的极限为的极限为 0.16 1.1.2 收敛数列的性质收敛数列的性质证证:用反证法用反证法.及及且且取取因因故存在故存在 N1,从而从而同理同理,因因故存在故存在 N2,使当使当 n N
4、2 时时,有有定理定理1.收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当使当 n N1 时时,假设假设从而从而矛盾矛盾.因此收敛数列的极限必唯一因此收敛数列的极限必唯一.则当则当 n N 时时,故假设不真故假设不真!满足的不等式满足的不等式17定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证由定义由定义,注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.虽有界但不收敛虽有界但不收敛.数列数列18定理定理3.收敛数列的保序性收敛数列的保序性.证证:取取1920 1.1.3 1.1.3 收敛数列的四则运算收敛数列的四则运算定理定理4
5、.若则有211.1.4 1.1.4 数列数列收敛的判别法收敛的判别法例5.例6 见书。准则1(夹逼定理夹逼定理)证证:由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故 23例例7.证明证证:利用夹逼准则.且由准则2 (单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限)(证明略)25例例8.设证明数列极限存在.证证:利用二项式公式,有26大大 大大 正正又比较可知根据准则 2 可知数列记此极限为 e,e 为无理数,其值为即有极限.又1.1.51.1.5 子数列的子数列的收敛性收敛性28*定理定理7.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证证:设数列设数列是数列是数列
6、的任一子数列的任一子数列.若若则则当当 时时,有有现取正整数现取正整数 K,使使于是当于是当时时,有有从而有从而有由此证明由此证明*29由此性质可知由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极若数列有两个子数列收敛于不同的极限限,例如，例如，发散发散!则原数列一定发散则原数列一定发散.说明说明:定理定理9.9.任意有界数列必有收敛的子数列。任意有界数列必有收敛的子数列。（证明略）（证明略）30思考与练习思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对不对!此处31故极限存在，备用题备用题 1.1.设,且求解：解：设则由递推公式有数列单调递减有下界，故利用极限存在准则 2.设证证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相消拆项相消”法法
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