六下第三单元《圆柱与圆锥》错例分析公开课.pdf

1苍南县小学数学苍南县小学数学学生典型错例分析评比学生典型错例分析评比六年级下册第六年级下册第三三单元单元圆柱与圆锥圆柱与圆锥错例一【错例来源】作业本第 19 页第 2 题【错题再现】下列图形以 AB 所在的直线为轴快速旋转后能形成圆锥吗？能的画，不能的画。()()()【题意解读】此题是本单元“认识圆锥”第 1 课时课堂作业本中的内容。主要通过平面图形三角形以不同边为轴的旋转来判断是否能形成立体图形圆锥，意在以“面动成体”的形式考查学生对圆锥基本特征的认识和掌握情况，对学生空间想像能力较高。【情况分析】学生出错情况如下：判断错误情况号三角形号三角形号三角形所占百分比4.1%11.3%16.0%如上所示：号三角形判断错误的主要原因是“AB”轴不是垂直方向，而是水平方向，主要集中在后 20%的学生中。他们认为直角三角形只有绕垂直方向的那条直角边才能旋转成圆锥，对于绕水平方向的轴旋转形成的圆锥表示不理解；号三角形判断错误的主要集中在中等学生。原因是只注意到它是一个直角三角形，没考虑 AB 边是不是直角边，存在审题不清；号三角形判断的错误率略高，主要集中在中等学生。受圆锥截面图形是等腰三角形的影响，学生认为它可以旋转成一个圆锥，却忽略了转动的中心并不是以等腰三角形的高为轴，而是以边 AB 为轴旋转。纵然学生判断错误的理由不同，但有一点是相同的，那就是只能通过想象得出旋转后的图形是不是圆锥，这对学生空间想像能力要求较高。【教学提示】回顾本课教材对这部分内容的编写，主要通过一位学生把一张直角三角形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒的操作活动，引导学生思考“看看转出来的是什么形状？”（下图）ABABBA2教材通过操作活动，由二维平面图形的运动想象三维立体图形的形状，进一步认识圆锥的特征，即它是一个直角三角形以某一直角边为轴转动形成的旋转体，并且在运动中认识图形的特征，有利于更好地培养学生的几何直观和推理能力。但教材并没有明确指出只有以直角三角形的直角边为轴旋转才能形成圆锥。因此在教学过程中需要我们进一步的钻研教材挖掘教材。另外，“面动成体”，对学生空间想象能力和推理能力有较高的要求。结合学生的年龄特点、认知规律及错例情况和对教材的解读，教学中可采用直观操作与想像相结合的方法，具体如下：1.直观演示，初步认识。由生活中的具体物体抽象出圆锥后，直观出示圆锥教具，请学生看一看，摸一摸，想一想，找一找，认识圆锥的各部分名称，并出示非直立状态的圆锥（），丰富学生对圆锥表象的认识。2.动手操作，感知特征。将直角三角形的一条直角边固定在木棒上，快速旋转，请学生想象旋转后的图形是什么形状的？通过观察，思考：直角三角形与旋转后得到的圆锥有什么联系？（1）直角三角形的直角边 a 相当于旋转后的圆锥的高 h。（2）直角三角形的直角边 b 相当于旋转后的圆锥的底面半径。（3）直角三角形的斜边 c 相当于旋转后的圆锥的母线 l3.变式与反例相结合，加深认识。（以上图直角三角形为例）以直角边 b 为轴旋转能形成圆锥吗？是一个怎样的圆锥？若以直角边 c 为轴旋转又会怎样呢？通过组织操作活动，引导学生观察、想象、总结：三角形要旋转成圆锥需满足两个条件：一直角三角形，二以它的直角边为轴旋转。【延伸拓展】在后续的教学中，可结合圆锥的体积计算巩固对圆锥特征的理解。如：图中形成的圆锥的体积是（）cm3，图中形成的圆锥的体积是（）cm3。bacbacbachlr3错例二【错例来源】作业本第 17 页第 3 题【错题再现】有一种容器，瓶颈以下部分呈圆柱形，总容积 1200mL。现在容器中装有一些水，正放时水面高度为 20cm，倒放时空的部分的高度为 5cm（如下图）。容器内有水多少毫升？【题意解读】此题是认识圆柱这部分内容的第 7 个例题，也是最后一个例题的一道课堂练习题。在这之前学生学习并认识了圆柱，知道圆柱的各部分名称、侧面展开图以及圆柱的表面积、体积计算。此题基于学生的生活经验，将规则的几何图形圆柱融入不规则的矿泉水瓶中，提供显性信息容积、隐蔽信息两条高，求水的容积，思路隐晦。不仅考查学生对圆柱体积公式的灵活运用，更对学生的思维水平有较高的要求。【情况说明】此题的答题情况非常不理想。在独立完成期间（教师没有任何提示或引导），将近 50%的学生在看了又看的情况下完全看不懂题目表达的意思，将近 25%的学生看明白了所表达的信息但没有思路，约 15%的学生看明白了但思路模糊，仅 10%的学生思路清晰，并且其中有 5%的学生不是用圆柱体积的知识来解答而是通过“比”来解答。【原因分析】首先，此题的条件复杂，关系隐蔽。题目呈现的是不规则的图形（一容积，看似瓶子）；容器分为两部分：有水的部分与空的部分；出示了一个容器的两幅图正放与倒放；另外，有水与空的部分，看起来是不对等的。既左图水的高度与右图水的高度是不一样的。同样，左图空的高度与右图空的高度也是不一样的。容器的容积、水的高度、空的高度、水的体积四者之间有何联系？其次，此题实际上是圆柱公式的综合运用。已知圆柱的体积与高，先算出圆柱的底面积再运用圆柱的体积公式算出水的体积。如此，逆运用在前正运用在后更加大了此题的难度。最后，一波三折。第一折，折在如何辨别不规则的瓶子可以用规则的圆柱的4知识来解决问题？第二折，题目所提供的这三个信息的内在联系有哪些？第三折，水的底面积如何求？【教学提示】圆柱体积公式的运用的解决问题非常难，其难点在“原因分析”已有说明，但这其中有一个非常重要的思想，就是转化。利用体积不变的特性，把不规则图形转化成规则图形来计算。但这仅靠观察和交流、引导是难以理解的，特别是对后 20%的学生来说，看到的就是不规则的图形，哪来的规则图形呢？假如能通过直观演示将不规则图形转化成规则图形，是否会更容易理解和接受呢？我做了以下尝试：1.直观演示，合二为一。上课前，备好教具（如下图）。在上课过程中，随着教学进程地推进，在学生充分发表想法后，我将正放的有水的部分和倒放的没水的部分从整个瓶子中抽离出来，合并在一起便形成了一个完整的圆柱。如此，仅用“分合”的动作，便将转化的过程直接呈现在学生面前。不规则的容器转化成了一个圆柱，而这个圆柱就在眼前。“这也可以？！”、“原来是这样啊！”学生不禁感叹到。直观转化所带来的震撼让学生豁然开朗，瞬间信心满怀。2.厘清思路，拓展方法。将题目中的信息与转化后的圆柱建立联系：容器的容积 1200mL 就是圆柱的体积，容器水的高和空的部分的高的和（20+5）cm 就是圆柱的高。方法一：运用圆柱的体积公式。已知圆柱的体积 V，高，可求出圆柱的底面积 S。再运用圆柱的体积公式求出水的体积即可。即底总总，V水S底h水。方法二：运用“比”的知识。已知圆柱的体积。h水：h空20：5。所以 V水52020总3.解决问题后的反思概括。总结与反思是解决问题的重要组成部分。因此，在问题获得解决之后引导学生回顾整个解题过程，并进行深入思考：刚才所解决的问题与教材中的例题有什么相同的地方？区别又在哪里？有哪些联系？解决问题时需特别注意什么？通过这样的反思，明确类似之处，突出圆柱体积计算公式的本质；同时，又注意到差异，对问题蕴含的知识进行纵向深入地研究，探究问题的知识结构和系统性，增强对圆柱体积公式的应用能力。+=5【延伸拓展】圆柱体积的运用。已知一个内直径是 10cm 的瓶子里，水的高度是7cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是 18cm。这个瓶子的容积是多少？错例三【错例来源】教材第 36 页第 9 题。【错题再现】一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等。已知圆柱的高是4dm，圆锥的高是多少？431=34dm【题意解读】此题是在学生学习了圆锥的体积后的一道练习题，是基于圆锥与它等底等高圆柱间的体积关系的一道变式题。不仅考查学生对圆锥体积公式的理解与应用，更对圆柱与圆锥的内在联系有较高的要求。此题难，不是难在算式上，而是难在对知识相互间的联系与理解上。【情况分析】学生出错的情况如上，大约 48%的学生出错。而且出错的情况非常单一，都是用圆柱的高31得出圆锥的高。受圆锥体积公式的影响，学生认为圆锥的体积是圆柱体积的31，因此，也没多想，直接就乘31。一则说明学生思维定势较普遍，空间想像能不强，二则也说明学生读题审题不清，厘不清圆柱与圆锥相互间的本质关系。三则也反应出教师在教学过程中没有进行相应的拓展提升，使学生对圆锥体积的认识没有一个思维上的提升。【教学提示】写写你采用了什么应对措施，或者教学了之后你想到了什么好的解决方法，也可以是你还有那些困惑，需要提醒大家的。1.抓住本质，借助几何直观，以形解形。在教学过程完成后，追问：是不是所有的圆锥的体积是圆柱体积的31？并及时画出图形（如下图）加深理解，只有在等底面积等高的情况下，圆锥体积才是圆柱体积的31。其次，引导想象：与图中圆柱或圆锥存在等底面积等高的圆锥或圆柱是什么样的呢？并结合课件出示几何图形。6在学生厘清圆柱与圆锥体积关系的本质特征后，顺势得出：等底等高的圆柱与圆锥之间的关系。接着引导想像：与圆柱等体积等底面积的圆锥是什么样的？并结合课件演示三个小圆锥合并成一个大圆锥的过程。从而得出结论：圆柱与圆锥等体积等底面积的情况下，圆锥的高是圆柱高的 3 倍。同理，圆柱与圆锥等体积等高的情况下，也可以将 3 个小圆锥合并成一个大圆锥。2.反复对比，思考异同（1）圆柱与圆锥等底面积等高的情况下已知圆柱的体积求圆锥的体积。已知圆锥的体积求圆柱的体积。（2）圆柱与圆锥等体积等高的情况下已知圆柱的底面积求圆锥的底面积。已知圆锥的底面积求圆柱的底面积。（3）圆柱与圆锥等体积等底面积的情况下已知圆柱的高求圆锥的高。已知圆锥的高求圆柱的高。引导学生在不断地对比中思考异同，抓住本质特征，提高灵活解决问题的能力。【延伸拓展】在教材紧接着的下一题，也就是第 36 页第 10 题，也有类似的题目。“一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥的底面积是 28.26cm，圆柱的底面积是多少？”学生也较难以理解。=aaahhh3h=ahahahahh3ah