【河北省唐山市】2017届高三(上)期末理科数学试卷-答案.pdf

-1-/12 河北省唐山市河北省唐山市 20172017 届届高三（上）期末理科数学试卷高三（上）期末理科数学试卷 答答 案案 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 15BCADB 610ACDBA 1112AD 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13512 141 15221812xy 162 55 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本题满分为 12 分）解：（1）由正弦定理得：2sin cossin cos cossin sin2sin cosBBAABBACA sin cos()sin cosAABCA sin cossin cosACCA()sin AC sinB，sin0B，1cos2B ，23B （2）由2222cosbacacB，7ba，1cos2B ，得：2260caca，解得2ca，由213sin2 322ABCSacBa，得2a 18解：（1）文科生 理科生 合计 获奖 5 35 40 不获奖 45 115 160 合计 50 150 200 2200(5 11535 45)254.1673.84150 150 40 1606k，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为15，-2-/12 将频率视为概率，所以 X 可取 0，1，2，3，且 XB1(3,)5 X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 13()355E X 19证明：（1）连接 AC，则ABC和ACD都是正三角形 取 BC 中点 E，连接 AE，PE，因为 E 为 BC 的中点，所以在ABC中，BCAE，因为PBPC，所以BCPE，又因为PEAEE，所以BC 平面PAE，又PA平面PAE，所以BCPA 同理CDPA，又因为BCCDC，所以PA平面ABCD 解：（2）如图，以 A 为原点，建立空间直角坐标系 Axyz，则 B(3,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，(0,2,2)PD，(3,3,0)BD ，设平面 PBD 的法向量为(,)x y z，则220330PD myzBD mxy，取3x，得(3,1,1)，取平面 PAD 的法向量(1,0,0)n，则15cos=5|m nm nmn,=，所以二面角 APDB 的余弦值是155 20解：（1）由题意得(1,0)F，从而有 C：24xy -3-/12 解方程组22241xyxy，得52Ay，所以|51AF （2）设00(,)M xy，则切线 l：000()xyxxyp，整理得000 x xpypy 由|1ON 得222000|2pyxppyp，所以02021ypy且201 0y，所以222220000|1121MNOMxypyy 22200022004414(1)811yyyyy，当且仅当03y 时等号成立，所以|MN的最小值为2 2，此时3p 21解：（1）21 ln()xfxx（0 x），当(0,e)x时，()0fx，()f x单调递增；当(e,)x时，()0fx，()f x单调递减，所以当ex 时，()f x取得最大值1(e)ef（2）ln()ln()xg xxaxxax，由（1）及(0,ex得：当1ea 时，ln0 xax，()0g x，()g x单调递减，当xe时，()g x取得最小值e(e)()2gh a 当10,)ea，(1)0af，1(e)efa，所以存在1,e)t，()0g t且lntat，当(0,)xt时，()0g x，()g x单调递减，当(,ext时，()0g x，()g x单调递增，所以()g x的最小值为()()g th a 令ln()()2t th aG xt，因为ln1()02tG x，所以()G t在0,e)单调递减，此时e()(,12G t -4-/12 综上，e(),12h a 22解：（1）在直角坐标系 xOy 中，曲线1C：4xy，曲线1C的极坐标方程为：(cossin)4，2C的普通方程为22(1)1xy，所以曲线2C的极坐标方程为：2cos（2）设1(,)A，2(,)B，42，则14cossin，22cos，21|12cos(cossin)|4OBOA 11(cos2sin21)2cos(2)1444，当8时，|OBOA取得最大值1(21)4 23解：（1）34,1()2|1|2|,1234,2xxf xxxxxxx 所以，()f x在(,1上递减，在1,)上递增，又8(0)()43ff，故()4f x 的解集为8|03xx（2）若1a，()(1)|1|1|1f xaxxxaa，当且仅当1x 时，取等号，故只需1 1a，得2a 若1a，()2|1|f xx，(1)0 1f，不合题意 若01a，()|1|(1)|(1)f xa xa xaaxaaa，当且仅当xa时，取等号，故只需(1)1aa，这与01a 矛盾 综上所述，a 的取值范围是2,)-5-/12 河北省唐山市河北省唐山市 2 2017017 届届高三（上）期末理科数学试卷高三（上）期末理科数学试卷 解解 析析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1【考点】交集及其运算【分析】先分别求出集体合 A 和 B，由此以求出 AB 中元素的个数【解答】解：集合 A=2，1，0，2，3，B=y|y=x21，xA=1，0，3，8，AB=1，0，3，AB 中元素的个数是 3 故选：B 2【考点】复数求模【分析】把复数 z 代入 z2+z 化简，再由复数相等的充要条件列出方程组，求解得到 a 的值，然后由复数求模公式计算得答案【解答】解：复数 z=a+i，z2+z=（a+i）2+a+i=（a2+a1）+（2a+1）i=13i，解得 a=2 复数 z=a+i=2+i 则|z|=故选：C 3【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】由条件求得，=的坐标，再根据 cos=计算求得它的值【解答】解：向量 与 的夹角为，且，=（2，1），则 cos=，故选：A 4【考点】两角和与差的正切函数【分析】由题意和二倍角的正切公式求出 tan2 的值，由两角差的正切公式求出的值 -6-/12 【解答】解：由得，=，所以=，故选 D 5【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，代入棱柱表面积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，底面面积为：21=1，底面周长为：2+2=2+2，故棱柱的表面积 S=21+2（2+2）=6+4，故选：B 6【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据等差数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【解答】解：若数列an为等差数列，设公差为 d，则当 n2 时，bnbn1=an+an+1an1an=an+1an+anan1=2d 为常数，则数列bn为 等差数列，即充分性成立，若数列bn为 等差数列，设公差为 b，则 n2 时，bnbn1=an+an+1an1an=an+1an1=d 为常数，则无法推出 anan1 为常数，即无法判断数列an为等差数列，即必要性不成立，即“数列an为等差数列”是“数列bn为 等差数列”充分不必要条件，故选：A 7【考点】程序框图【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 b，a，i 的值，观察 a 的取值规律，可得当 i=40 时不满足条件 i40，退出循环，输出 a 的值为4【解答】解：模拟程序的运行，可得 i=1，a=4 -7-/12 满足条件 i40，执行循环体，b=1，a=1，i=2 满足条件 i40，执行循环体，b=，a=，i=3 满足条件 i40，执行循环体，b=4，a=4，i=4 满足条件 i40，执行循环体，b=1，a=1，i=5 观察规律可知，a 的取值周期为 3，由于 40=313+1，可得：满足条件 i40，执行循环体，b=4，a=4，i=40 不满足条件 i40，退出循环，输出 a 的值为4 故选：C 8【考点】二项式定理的应用【分析】由题意，a=252，含 x7 项的系数为 b=960，即可得出结论【解答】解：由题意，a=252，含 x7 项的系数为 b=960，=，故选 D 9【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论【解答】解：实数 x，y 满足约束条件 的可行域为：z=x2+y2 的几何意义是 可行域的点到坐标原点距离的平方，显然 A 到原点距离的平方最小，由，可得 A（3，1），则 z=x2+y2 的最小值为：10 故选：B -8-/12 10【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】设球半径为 R，正方体边长为 a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，由此能求出所得工件体积与原料体积之比的最大值【解答】解：设球半径为 R，正方体边长为 a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，R=，所得工件体积与原料体积之比的最大值为：=故选：A 11【考点】双曲线的简单性质【分析】根据条件分别求出直线 AE 和 BN 的方程，求出 N，E 的坐标，利用|OE|=2|ON|的关系建立方程进行求解即可【解答】解：PFx 轴，设 M（c，0），则 A（a，0），B（a，0），AE 的斜率 k=，则 AE 的方程为 y=（x+a），令 x=0，则 y=，即 E（0，），BN 的斜率 k=，则 AE 的方程为 y=（xa），令 x=0，则 y=，即 N（0，），|OE|=2|ON|，-9-/12 2|=|，即=，则 2（ca）=a+c，即 c=3a，则离心率 e=3，故选：A 12【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】先求出+2x，再由 f（x）为偶函数，且在（0，+）上单调递增，故 f（2x）f（x+3）等价于|2x|x+3|，解之即可求出使得 f（2x）f（x+3）成立的 x 的取值范围【解答】解：函数 f（x）=ln（ex+ex）+x2，+2x，当 x=0 时，f（x）=0，f（x）取最小值，当 x0 时，f（x）0，f（x）单调递增，当 x0 时，f（x）0，f（x）单调递减，f（x）=ln（ex+ex）+x2 是偶函数，且在（0，+）上单调递增，f（2x）f（x+3）等价于|2x|x+3|，整理，得 x22x30，解得 x3 或 x1，使得 f（2x）f（x+3）成立的 x 的取值范围是（，1）（3，+）故选：D 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13【考点】定积分在求面积中的应用【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数 y=x3 与在区间0，1上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得 -10-/12 【解答】解：如图在同一平面直角坐标系内作出 y=x3 与的图象，则封闭图形的面积 故答案为：14【考点】等比数列的通项公式【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出 a7 的值【解答】解：an是等比数列，解得，a7=1 故答案为：1 15【考点】椭圆的简单性质【分析】由题设条件知列出 a，b，c 的方程，结合三角形的面积，求出 a，b 求出椭圆的方程【解答】解：F1，F2 为椭圆的左、右焦点，经过 F1 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，若F2AB 是面积为的等边三角形，可得：，=4，a2=b2+c2，解得 a2=18，b2=12，c2=6 所求的椭圆方程为：故答案为：16【考点】函数零点的判定定理 -11-/12 【分析】由题意可得 m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，运用和差化积公式和同角的基本关系式，计算即可得到所求值【解答】解：x1，x2 是函数 f（x）=2sin2x+cos2xm 在0，内的两个零点，可得 m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，即为 2（sin2x1sin2x2）=cos2x1+cos2x2，即有 4cos（x1+x2）sin（x1x2）=2sin（x2+x1）sin（x2x1），由 x1x2，可得 sin（x1x2）0，可得 sin（x2+x1）=2cos（x1+x2），由 sin2（x2+x1）+cos2（x1+x2）=1，可得 sin（x2+x1）=，由 x1+x20，即有 sin（x2+x1）=故答案为：17【考点】正弦定理【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 2sinBcosB=sinB，结合 sinB0，可求 cosB=，进而可求 B 的值（2）由已知及余弦定理可求 c2+ac6a2=0，解得 c=2a，进而利用三角形面积公式可求 a 的值 18【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）列出表格根据公式计算出 K2，参考表格即可得出结论（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以 X 可取 0，1，2，3，且 XB（3，）即可得出 19【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）连接 AC，取 BC 中点 E，连接 AE，PE，推导出 BCAE，BCPE，从而 BCPA同理 CDPA，由此能证明 PA平面 ABCD（2）以 A 为原点，建立空间直角坐标系 Axyz，利用向量法能求出二面角 APDB 的余弦值 20.【考点】直线与抛物线的位置关系；圆与圆锥曲线的综合【分析】（1）求出 F（1，0），得到抛物线方程，联立圆的方程与抛物线方程，求出 A 的纵坐标，然后求解|AF|（2）设 M（x0，y0），求出切线 l：y=（xx0）+y0，通过|ON|=1，求出 p=且10，求出|MN|2 的表达式，利用基本不等式求解最小值以及 p 的值即可 -12-/12 21【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）求出 f（x）=（x0），通过判断函数的单调性，求解函数的最大值即可（2）求出 g（x）=lnxax=x（a），由（1）及 x（0，e：通过当 a=时，当 a0，），分别求解函数的单调性与最值即可 22【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）由曲线 C1：x+y=4 可得曲线 C1 的极坐标方程；先将曲线 C2 化为普通方程，进而可得曲线 C2的极坐标方程；（2）设 A（1，），B（2，），则 1=，2=2cos，则=，进而得到答案 23【考点】绝对值不等式的解法【分析】（1）当 a=2 时，f（x）在（，1上递减，在1，+）上递增，f（0）=f（）=4 利用解不等式f（x）4；（2）若 f（x）1，分类讨论，即可求 a 的取值范围