超几何分布与二项分布的联系与区别.pdf

种离节分别介绍了两种离散型随机变量的概率分布，超几何分布散型随机变量的概率分布，超几何分布(hyper-geometric distribution)(hyper-geometric distribution)与二项分布与二项分布（binomial distributionbinomial distribution）。通过实例通过实例,让学生认让学生认识模型所刻画的随机变量的共同特点识模型所刻画的随机变量的共同特点,从而建立从而建立新的模型新的模型,并能运用两模型解决一些实际问题。并能运用两模型解决一些实际问题。然而在教学过程中然而在教学过程中,却发现学生不能准确地辨别却发现学生不能准确地辨别所要解决的问题是属于超几何分布还是二项分所要解决的问题是属于超几何分布还是二项分布布,学生对这两模型的定义不能很好的理解学生对这两模型的定义不能很好的理解,一一遇到含遇到含“取取”或或“摸摸”的题型的题型,就认为是超几何分就认为是超几何分布布,不加分析不加分析,随便滥用公式。随便滥用公式。事实上事实上,超几何超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明但也有明显的区别。显的区别。课本对于超几何分布的定义是这样的：课本对于超几何分布的定义是这样的：一般一般的，若一个随机变量的，若一个随机变量 X X 的分布列为的分布列为，其中其中服从超几何分布，服从超几何分布，记为记为为：为：，则称则称 X X。其概率分布表其概率分布表对于二项分布的定义是这样的：对于二项分布的定义是这样的：若随机变量若随机变量X X 的分布列为的分布列为二项分布，记为二项分布，记为,其中其中则称则称 X X 服从参数为服从参数为 n,pn,p 的的。其概率分布表为：。其概率分布表为：超几何分布与二项分布都是取非负整数值超几何分布与二项分布都是取非负整数值的离散分布，的离散分布，表面上看，表面上看，两种分布的概率求取有两种分布的概率求取有截然不同的表达式，截然不同的表达式，但看它们的概率分布表，但看它们的概率分布表，会会发现构造上的相似点，发现构造上的相似点，如：如：随机变量随机变量 X X 的取值都的取值都从从 0 0 连续变化到连续变化到 l l，对应概率和，对应概率和 N,n,lN,n,l三个值密切相关三个值密切相关可见两种分布之间有着密可见两种分布之间有着密切的联系。切的联系。课本中对超几何分布的模型建立是这课本中对超几何分布的模型建立是这样的：若有样的：若有 N N 件产品，其中件产品，其中 MM 件是废品，无返件是废品，无返回地任意抽取回地任意抽取 n n 件，则其中恰有的废品件数件，则其中恰有的废品件数 X X是服从超几何分布的。是服从超几何分布的。而对二项分布则使用比较而对二项分布则使用比较容易理解的射击问题来建立模型。容易理解的射击问题来建立模型。若将但超几何若将但超几何分布的概率模型改成：若有分布的概率模型改成：若有 N N 件产品，其中件产品，其中 MM件是废品，件是废品，有返回的任意抽取有返回的任意抽取 n n 件，件，则其中恰有则其中恰有的废品件数的废品件数 X X 是服从二项分布的。是服从二项分布的。在这里，在这里，两种两种分布的差别就在于分布的差别就在于“有有”与与“无无”的差别，的差别，只要将概只要将概率模型中的率模型中的“无无”改为改为“有有”，或将，或将“有有”改为改为“无无”，就可以实现两种分布之间的转化。就可以实现两种分布之间的转化。“返回返回”和和“不不返回返回”就是两种分布转换的关键。就是两种分布转换的关键。如在如在 2.22.2 节有这样一个例题：高三（节有这样一个例题：高三（1 1）班）班的联欢会上设计了一项游戏：的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有在一个口袋中装有1010 个红球、个红球、2020 个白球，这些球除颜色外完全相个白球，这些球除颜色外完全相同，同，一次从中摸出一次从中摸出 5 5 个球，个球，摸到摸到 4 4 个红球个红球 1 1 个白个白球就是一等奖，球就是一等奖，求获一等奖的概率。求获一等奖的概率。本题采用的本题采用的解法是摸出球中的红球个数解法是摸出球中的红球个数 X X 服从超几何分布，服从超几何分布，但是如果将但是如果将“一次从中摸出一次从中摸出 5 5 个球个球”改为改为“摸出一摸出一球记下颜色，放回后再摸一球，反复球记下颜色，放回后再摸一球，反复 5 5 次次”，则，则摸出球中的红球个数摸出球中的红球个数 X X 将不再服从超几何分布，将不再服从超几何分布，而是服从二项分布。而是服从二项分布。我们分别来计算两种分布所对应的概率：我们分别来计算两种分布所对应的概率：这时发现发现两种不同的分布其对应的概这时发现发现两种不同的分布其对应的概率之间的差距进一步缩小了，率之间的差距进一步缩小了，我们做出这样的猜我们做出这样的猜想：想：样本个数越大超几何分布和二项分布的对应样本个数越大超几何分布和二项分布的对应概率相差就越小，概率相差就越小，当样本个数为无穷大时当样本个数为无穷大时，超几超几何分布和二项分布的对应概率就相等，何分布和二项分布的对应概率就相等，换而言之换而言之超几何分布的极限就是二项分布！也就是说超几何分布的极限就是二项分布！也就是说。下面我们对以上猜想作出证。下面我们对以上猜想作出证明：明：产品个数产品个数 N N 无限大，设废品率为无限大，设废品率为 p p，则，则，以上的证明与我们的直观思想相吻合：以上的证明与我们的直观思想相吻合：在废在废品为确定数品为确定数 MM 的足够多的产品中，任意抽取的足够多的产品中，任意抽取 n n个（由于产品个数个（由于产品个数 N N 无限多，无返回与有返回无限多，无返回与有返回无区别，无区别，故可看作故可看作 n n 次独立试验）次独立试验）中含有中含有 k k 个废个废品的概率当然服从二项分布。品的概率当然服从二项分布。在这里，在这里，超几何分超几何分布转化为二项分布的条件是（布转化为二项分布的条件是（1 1）产品个数应无）产品个数应无限多，限多，否则无返回地抽取否则无返回地抽取 n n 件产品是不能看作件产品是不能看作 n n次独立试验的次独立试验的.(2.(2）在产品个数）在产品个数 N N 无限增加的过无限增加的过程中，程中，废品数应按相应的废品数应按相应的“比例比例”增大，增大，否则上述否则上述事实也是不成立的。事实也是不成立的。对于超几何分布的数学期望对于超几何分布的数学期望分布的数学期望分布的数学期望“返回返回”时，时，二项，二项，当我们将，当我们将“不返回不返回”改为改为，两种分布的数学期望相等，方，两种分布的数学期望相等，方差之间没有相等关系。差之间没有相等关系。超几何分布和二项分布的超几何分布和二项分布的数学期望和方差是否也具有我们以上猜想并证数学期望和方差是否也具有我们以上猜想并证明的极限关系呢？明的极限关系呢？事实上超几何分布的数学期望事实上超几何分布的数学期望差差当当这两个这两个极限值分别是二项分布的数学期望与方差。极限值分别是二项分布的数学期望与方差。需要需要指明的是这一性质并非只为超几何分布与二项指明的是这一性质并非只为超几何分布与二项分布之间所具有，分布之间所具有，一般地，一般地，如果随机变量依分布如果随机变量依分布收敛于随机变量，收敛于随机变量，则随机变量的数学期望和方差则随机变量的数学期望和方差分别是随机变量的数学期望和方差的极限。分别是随机变量的数学期望和方差的极限。这样这样超几何分布与二项分布达到了统一。超几何分布与二项分布达到了统一。一般说来，一般说来，有返回抽样与无返回抽样计算的有返回抽样与无返回抽样计算的概率是不同的，概率是不同的，特别在抽取对象数目不大时更是特别在抽取对象数目不大时更是如此。如此。但当被抽取的对象数目较大时，但当被抽取的对象数目较大时，有返回抽有返回抽，方，方样与无返回抽样所计算的概率相差不大，样与无返回抽样所计算的概率相差不大，人们在人们在实际工作中常利用这一点，实际工作中常利用这一点，把抽取对象数量较大把抽取对象数量较大时的无返回抽样时的无返回抽样（例如破坏性试验发射炮弹；（例如破坏性试验发射炮弹；产产品的寿命试验等），当作有返回来处理。品的寿命试验等），当作有返回来处理。那么，那么，除了在有无除了在有无“返回返回”上做文章，上做文章，有没有有没有什么办法快速实现超几何分布向二项分布的转什么办法快速实现超几何分布向二项分布的转化呢？化呢？设想设想 N N 件产品装在一个大袋中，其中件产品装在一个大袋中，其中 MM 件件为废品，为废品，无返回地从中抽取无返回地从中抽取 n n 件，件那么其中废品那么其中废品件数件数 X X 服从超几何分布。现若在大袋中再放进服从超几何分布。现若在大袋中再放进两个小袋，一袋装正品，一袋装废品，然后从大两个小袋，一袋装正品，一袋装废品，然后从大袋中任摸一个小袋，无返回地从中任取一件产袋中任摸一个小袋，无返回地从中任取一件产品，则这样任取品，则这样任取 n n 件，其中废品件数件，其中废品件数 X X 就不再就不再服从超几何分布，服从超几何分布，而应服从的二项分布了。而应服从的二项分布了。事实事实上，上，我们把摸到正品袋中的产品看作我们把摸到正品袋中的产品看作“成功成功”，摸摸到废品袋中的产品看作到废品袋中的产品看作“失败失败”，则，则“成功成功”与与“失失败败”的概率相等，的概率相等，皆为且每次试验是相互独立的，皆为且每次试验是相互独立的，正是典型的伯努力试验概型，正是典型的伯努力试验概型，因此可用二项分布因此可用二项分布去刻划其概率分布列。去刻划其概率分布列。,从这一点从这一点上讲，上讲，两种分布仅两种分布仅“一袋之隔一袋之隔”。将正品和废品隔将正品和废品隔离，则超几何分布将成为二项分布。离，则超几何分布将成为二项分布。超几何分布和二项分布这两种离散型随机超几何分布和二项分布这两种离散型随机变量的概率分布表面上看来风马牛不相及，变量的概率分布表面上看来风马牛不相及，但通但通过以上的论证，过以上的论证，我们发现这两种分布可以通过有我们发现这两种分布可以通过有无无“返回返回”，隔离正品和次品等方法来互相转换，隔离正品和次品等方法来互相转换，抛开转换问题，抛开转换问题，也可把二项分布看作超几何分布也可把二项分布看作超几何分布的极限，的极限，它们的期望和方差之间也存在这种极限它们的期望和方差之间也存在这种极限关系。关系。