三角形中的常用辅助线方法总结.doc

数学:三角形中得常用辅助线典型例题人说几何很困难,难点就在辅助线。辅助线,如何添？把握定理与概念。还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。全等三角形辅助线找全等三角形得方法：（)可以从结论出发，寻找要证明得相等得两条线段(或两个角）分别在哪两个可能全等得三角形中；(2）可以从已知条件出发，瞧已知条件可以确定哪两个三角形全等;（3)可从条件与结论综合考虑，瞧它们能确定哪两个三角形全等;（）若上述方法均不可行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。三角形中常见辅助线得作法:延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形;引平行线构造全等三角形;作连线构造等腰三角形。常见辅助线得作法有以下几种:（1）遇到等腰三角形，可作底边上得高，利用“三线合一”得性质解题,思维模式就是全等变换中得“对折”。例1：如图，ABC就是等腰直角三角形,BAC=90,平分AC交AC于点D,C垂直于BD,交B得延长线于点E.求证：=2CE。思路分析：)题意分析:本题考查等腰三角形得三线合一定理得应用2)解题思路:要求证BD=2C,可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分ABC得条件,可以与等腰三角形得三线合一定理结合起来。解答过程:证明:延长BA,E交于点，在F与BEC中,1,E=BE,=BC9，FBEC，EF=EC,从而CFE.又1+F=+F=,故1=3。在ABD与AC中,13,AB=AC,BA=CA=9，ABDACF，BD，BD=CE.解题后得思考:等腰三角形“三线合一”性质得逆命题在添加辅助线中得应用不但可以提高解题得能力,而且还加强了相关知识点与不同知识领域得联系,为同学们开拓了一个广阔得探索空间；并且在添加辅助线得过程中也蕴含着化归得数学思想,它就是解决问题得关键。(2）若遇到三角形得中线，可倍长中线,使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形,利用得思维模式就是全等变换中得“旋转。例：如图，已知AC中,AD就是BAC得平分线，又就是BC边上得中线。求证：ABC就是等腰三角形。思路分析：1)题意分析:本题考查全等三角形常见辅助线得知识。2）解题思路:在证明三角形得问题中特别要注意题目中出现得中点、中线、中位线等条件,一般这些条件都就是解题得突破口,本题给出了A又就是C边上得中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形,从而问题得证。解答过程：证明：延长到,使D=AD，连接B。又因为AD就是C边上得中线,BD=又BDECDABDCA,故=AC，=2，AD就是BAC得平分线=2，1=E，A=EB,从而A=AC，即A就是等腰三角形。解题后得思考：题目中如果出现了三角形得中线,常加倍延长此线段,再将端点连结，便可得到全等三角形。（）遇到角平分线,可以自角平分线上得某一点向角得两边作垂线，利用得思维模式就是三角形全等变换中得“对折”，所考知识点常常就是角平分线得性质定理或逆定理。例3:已知，如图,A平分AD，CD=CB，ABAD.求证：B+D=80。思路分析：1）题意分析:本题考查角平分线定理得应用。2）解题思路:因为A就是D得平分线，所以可过点作BAD得两边得垂线,构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。解答过程：证明:作CEAB于E，FAD于F.AC平分B，CE=.在RtCBE与RD中，E=，C=CD,RtCBEtCDF,B=CF，F+ADC=0,B+ADC8。解题后得思考：关于角平行线得问题，常用两种辅助线；见中点即联想到中位线.（4）过图形上某一点作特定得平行线，构造全等三角形,利用得思维模式就是全等变换中得“平移”或“翻转折叠”例4：如图,ABC中,AB=A，E就是A上一点,F就是AC延长线上一点,连E交BC于，若EB=C。求证:D=DF.思路分析：）题意分析:本题考查全等三角形常见辅助线得知识：作平行线。)解题思路:因为DE、DF所在得两个三角形DB与DC不可能全等，又知E=C，所以需通过添加辅助线进行相等线段得等量代换:过E作G/CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形得性质，使问题得以解决。解答过程：证明：过E作EG/AC交BC于G,则B=AB， 又BAC,BACB, B=EG，EGD=DCF， B=E=CF，B=CD,DGEDCF，DE=。解题后得思考:此题得辅助线还可以有以下几种作法：例:AB中，AC=0,C=40，AP平分BC交B于P,B平分BC交AC于,求证：+BPBQ+AQ.思路分析:1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线得知识:作平行线。2）解题思路：本题要证明得就是AB+BP=+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化得思想把左式与右式分别转化为几条相等线段得与即可得证.可过O作BC得平行线。得AOAQO。得到OD=Q，AD=Q，只要再证出DOD就可以了。解答过程:证明:如图(),过O作ODBC交B于D，AC=180-600=0,又AQC+QB=0,AO=AQO，又DAOQO，OAAO，OAQO，O=O，AD=A,又ODBP,PBODO,又PBO=DB,DBO=DOB,BDO，又BAC+PC=7,OPBA+BA=70，O=BPO,BO,AB+BPDDBPAQ+OQ+O=AQ+。解题后得思考:（1)本题也可以在AB上截取ADA，连D,构造全等三角形，即“截长法”。(2）本题利用“平行法”得解法也较多,举例如下：如图(2），过O作ODB交AC于D，则ADOA从而得以解决。如图(5），过作PBQ交A于D，则BP从而得以解决.小结:通过一题得多种辅助线添加方法，体会添加辅助线得目得在于构造全等三角形。而不同得添加方法实际就是从不同途径来实现线段得转移得,体会构造得全等三角形在转移线段中得作用。从变换得观点可以瞧到，不论就是作平行线还就是倍长中线，实质都就是对三角形作了一个以中点为旋转中心得旋转变换构造了全等三角形.（5)截长法与补短法，具体作法就是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或就是将某条线段延长，使之与特定线段相等,再利用三角形全等得有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段得与、差、倍、分等类得题目.例6：如图甲,ADB，点E在线段上,ADE=DE，CECB.求证:CD=ADC。思路分析:）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线得知识：截长法或补短法。2)解题思路：结论就是CDADBC,可考虑用“截长补短法”中得“截长”，即在CD上截取FCB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等得问题，从而达到简化问题得目得。解答过程：证明:在C上截取CF=BC,如图乙FCEBC(SAS）,2=1。又ADC,ADCBD=80,DCE+CDE=90，+3=90,1+=90，3=4。在FDE与AD中,FDADE（ASA)，DF=DA,CD=D+F,CD=AD+C。解题后得思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之与时,一般方法就是截长法或补短法：截长:在长线段中截取一段等于另两条中得一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。）对于证明有关线段与差得不等式，通常会联系到三角形中两线段之与大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现得线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边得不等关系证明。小结:三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折瞧,对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试瞧。线段垂直平分线,常向两端把线连。线段与差及倍半，延长缩短可试验.线段与差不等式,移到同一三角形。三角形中两中点，连接则成中位线.三角形中有中线，延长中线等中线.同步练习（答题时间：90分钟）这几道题一定要认真思考啊，都就是要添加辅助线得,开动脑筋好好想一想吧！加油！您一定行！1、已知，如图,在四边形ABC中,BCA,AD=DC，BD平分AB.求证：BAD+BC=180。2、已知,如图2，12,P为BN上一点，且PDC于点D,B+BC=2BD。求证：P+BC180。3、已知，如图3，在ABC中，2B,1=.求证:B=C+CD。试题答案1、分析:因为平角等于80,因而应考虑把两个不在一起得角通过全等转化成为平角，图中缺少全等得三角形,因而解题得关键在于构造直角三角形，可通过“截长法或补短法”来实现。证明：过点作D垂直BA得延长线于点E,作DC于点F，如图12RAERtF（HL)，DAE=CF。又AD+AE=18，AD+DF=180，即BCD102、分析：与1相类似，证两个角得与就是180，可把它们移到一起，让它们成为邻补角，即证明BCPAP,因而此题适用“补短”进行全等三角形得构造。证明:过点P作PE垂直得延长线于点,如图22RtAPECPD（SAS），PA=PCD又BA+PE=18。AP+BCP=1803、分析:从结论分析,“截长”或“补短”都可实现问题得转化,即延长AC至E使C=CD，或在AB上截取AF=.证明:方法一（补短法）延长到,使DC=CE，则CDE=E,如图32FA（SAS），DF=C,F=CD.又A=2B，FB，FD=FB.AB=F+B=C+F，AB=AC+CD。4、证明：（方法一)将DE两边延长分别交AB、A于M、N,在MN中，AM+AND+E+N；在BDM中，MB+MB;在CEN中，CN+NCE;由+得：AM+NMBMD+NNE+E+N+BD+C+ACBDDE+EC(方法二:图2）延长BD交AC于F,延长CE交F于,在ABF、GFC与G中有：ABFB+DG+FFFG+CEDGGEDE由+得:AB+AF+GF+FC+GGEBD+DG+FE+CE+EBCD+E+C。、分析：要证A+A2D,由图想到:AB+BD，AC+CDAD，所以有B+AC+BD+AD=2AD,左边比要证结论多BD+C,故不能直接证出此题,而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线,把所要证得线段转移到同一个三角形中去ACDEB(SAS)BE=A（全等三角形对应边相等）在BE中有:A+BA（三角形两边之与大于第三边)ABAD。6、分析:欲证AC=F,只需证AC、所在两个三角形全等，显然图中没有含有AC、BF得两个全等三角形,而根据题目条件去构造两个含有A、F得全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边,能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后得这两条线段，所对得角相等即可.思路一、以三角形DC为基础三角形,转移线段AC，使A、F在三角形F中 方法一：延长AD到H,使得DH=AD,连结BH，证明A与HD全等，得C=BH。 通过证明HBFH，得到BF=BH。ADH（SS) AC=B,HHACEA=EFHAEAF 又BFH=AFE BH=F BF=AC方法二:过点作H平行,与AD得延长线相交于点H，证明D与HDB全等即可. 小结：对于含有中点得问题,通过“倍长中线”可以得到两个全等三角形。而过一点作已知直线得平行线，可以起到转移角得作用,也起到了构造全等三角形得作用。 思路二、以三角形BD为基础三角形。转移线段BF,使AC、B在两个全等三角形中 方法三：延长D至,使得DH=FD，连接C。证明CH与BD全等即可。FDHD(SAS）H=FHE=FEACAFE又AE=BFH=HACC=CBF=AC方法四:过C点作C平行BF,与AD得延长线相交于点H，证明DH与BDF全等即可。