《三角函数的诱导公式》教学设计.doc

1、3 三角函数得诱导公式
(名师:杨峻峰)
一、教学目标
(一)核心素养
从对称性出发,获得一些三角函数得性质、会选择合适得诱导公式将任意角得三角函数转化为锐角三角函数、
(二)学习目标
1、 牢固掌握五组诱导公式、
2、 理解与掌握公式得内涵及结构特征,熟练运用公式进行三角函数得求值、化简及恒等证明、
3、 通过诱导公式得推导,培养学生得观察能力、分析归纳能力、
4、渗透把未知转化为已知以及分类讨论得数学思想、
(三)学习重点
熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明、
(四)学习难点
相关角终边得几何对称关系及诱导公式结构特征得认识,诱导公式得推导、记忆及符号判断、
二、教学设计
(一)课前设计
1、 阅读教材第23页至第27页,填空:
(1)如图,得终边与角得终边关于 原点 对称;
(2)如图,得终边与角得终边关于 x轴 对称;
(3)如图,得终边与角得终边关于 y轴 对称;
(4)如图,得终边与角得终边关于 直线y＝x 对称;

(5)诱导公式:
公式二:,,;
公式三:,,;
公式四:,,;
公式五:,;
公式六:,.
2.预习自测
1、下列选项错误得就是( )
A、利用诱导公式二可以把第三象限得三角函数化为第一象限得三角函数、
B、利用诱导公式三可以把负角得三角函数化为正角得三角函数、
C、 、
D、若为第四象限角,则、
答案:C、
(二)课堂设计
1.知识回顾
(1)任意角得正弦、余弦、正切就是怎样定义得？
在角得终边上任取一点,则,,、
当为角得终边与单位圆得交点时,有sinα=y,cosα=x,、
(2)诱导公式一:

(3)终边相同得角得同名三角函数值相等,即公式一、利用公式一可以把绝对值较大得角得三角函数转化为0°到360°(0到)内得角得三角函数值、
对于任何一个内得角,以下四种情况有且只有一种成立:
(其中为锐角)
所以,我们研究,,与得同名三角函数即可、
2.问题探究
探究一 角与角之间得关系
●活动① 结合图象,探究角与角终边之间得关系

结合图象思考:
①锐角得终边与角得终边位置关系如何？
②它们与单位圆得交点得位置关系如何？
③任意角与呢？
引导学生充分利用单位圆,并与学生一起讨论:
①无论为锐角还就是任意角,得终边都就是得终边得反向延长线;
②角得终边与单位圆得交点关于原点对称、
●活动② 结合定义,辨析角与角三角函数之间得关系
设任意角得终边与单位圆得交点坐标为,由对称可知,角得终边与单位圆得交点坐标为、由三角函数得定义得:
, , ;
, , 、
从而,我们得到诱导公式二:
,
,
、

探究二 角、与角之间得关系
●活动① 结合图象,探究角、与角终边之间得关系

结合图象思考:
①任意角、得终边与角得终边位置关系如何？
②它们与单位圆得交点得位置关系如何？
引导学生充分利用单位圆,并与学生一起讨论:
①任意角得终边与任意角得终边关于x轴对称,与单位圆得交点也关于x轴对称;
②任意角角得终边与角得终边关于y轴对称,与单位圆得交点也关于y轴对称、
●活动② 类比探究一,辨析角、与角三角函数之间得关系
引导学生类比探究一得方法,得到:
公式三:
,
,
、
公式四:
,
,
、
探究三 理解公式得内涵及结构特征
●活动① 互动交流、初步实践
引导学生观察分析公式三得特点,得出公式四得用途:可将求角得三角函数值转化为求角得三角函数值、
让学生分析总结诱导公式得结构特点,概括说明,加强记忆、我们可以用下面一段话来概括公式一~四:,、得三角函数值,等于得同名函数值,前面加上一个把瞧成锐角时原函数值得符号、
进一步简记为:“函数名不变,符号瞧象限” 、
点拨、引导学生注意公式中得就是任意角、
●活动② 巩固基础,理解升华
例1 利用公式求下列三角函数值、
(1); (2);
(3); (4)、
【知识点】公式一~四.
【数学思想】化归思想
【解题过程】
解:(1);
(2).
(3);
(4).
【思路点拨】利用公式一~四把任意角得三角函数转化为锐角三角函数.
【答案】(1);(2);(3);(4).
通过例1运用讲解,引导学生归纳,任意角得三角函数转化为锐角三角函数得一般步骤:

变式训练
化简:
【知识点】公式一~四.
【数学思想】
【解题过程】
解:

.
【思路点拨】利用公式一~四把任意角得三角函数转化为锐角三角函数.
【答案】
探究四 角与角之间得关系
●活动① 探究角与角之间得关系

设任意角得终边与单位圆得交点坐标为.由于角得终边与角得终边关于直线y＝x对称,角得终边与单位圆得交点与点关于直线y＝x对称,因此点,从而有:
, ;
, .
所以得到公式五:
,
.
●活动② 探究角与角之间得关系
我们可以类比探究与角三角函数之间得关系,进行角与角之间关系得探究.另一方面,由于,就是否可以结合公式四及公式五推导出角与角三角函数之间关系呢？请学生进行推导.
可以得到公式六:
,
.
我们可以用下面一段话来概括公式五、六:正弦(余弦)函数值,分别等于得余弦(正弦)函数值,前面加上一个把瞧成锐角时原函数值得符号.
进一步可以简记为:函数名改变,符号瞧象限.
●活动③ 探究角与角之间得关系
例2 证明:(1);
(2)
【知识点】诱导公式四、五.
【数学思想】
【解题过程】
证明:(1);
(2).
【思路点拨】将变形为利用公式四、五进行转化.
【答案】(1) ;(2) .
学了六组诱导公式及上例得结果后,能否进一步归纳概括诱导公式.
诱导公式一~四,函数名称不改变,这些公式左边得角分别就是,,(可瞧作).其中,,0就是横坐标轴上得角,因此,上述公式可归结为横坐标轴上得角,函数名称不改变.而公式五、六及上面得例2,这些公式左边得角分别就是,,其中,就是纵坐标轴上得角,因此这些公式可归结为纵坐标上得角,函数名称要改变.两类诱导公式得符号得考查就是一致得,故而所有得诱导公式可用十个字来概括:纵变横不变,符号瞧象限.
●活动④ 灵活应用,融会贯通
例3 化简
.
【知识点】诱导公式一~六.
【数学思想】
【解题过程】
解:

.
【思路点拨】合理利用诱导公式,抓住“负化正,大化小,化到锐角终了”得原则.
【答案】
变式训练
已知,求得值.
【知识点】诱导公式六.
【数学思想】
【解题过程】
解:∵,∴
∴==.
【思路点拨】当两个角得与或差就是得整数倍时,它们得三角函数值可通过诱导公式联系起来.
【答案】
3、 课堂总结
①有关角得终边对称性
1)得终边与角得终边关于原点对称;
2)得终边与角得终边关于y轴对称;
3)得终边与角得终边关于x轴对称;
4)得终边与角得终边关于直线y＝x对称.
②利用五组诱导公式就可以将任意角得三角函数转化为锐角得三角函数.其化简方向仍为:“负化正,大化小,化到锐角终了” .
③纵变横不变,符号瞧象限.
(三)课后作业
基础型 自主突破
1.( )
A. B. C. D.
【知识点】诱导公式.
【数学思想】化归思想.
【解题过程】.
【思路点拨】根据诱导公式求值.
【答案】D.
2.( )
A. B. C. D.
【知识点】诱导公式.
【数学思想】化归思想.
【解题过程】.
【思路点拨】根据诱导公式求值.
【答案】D.
3. ( )
A. B. C. D.
【知识点】诱导公式.
【数学思想】化归思想.
【解题过程】.
【思路点拨】根据诱导公式求值.
【答案】C.
4.( )
A. B. C. D.
【知识点】诱导公式.
【数学思想】化归思想.
【解题过程】.
【思路点拨】根据诱导公式求值.
【答案】B.
5.若,则.
【知识点】诱导公式.
【数学思想】化归思想.
【解题过程】因为.所以.
【思路点拨】根据诱导公式求值.
【答案】.
6.已知角终边上得一点,则.
【知识点】任意角得三角函数定义、诱导公式.
【数学思想】化归思想.
【解题过程】.
【思路点拨】根据诱导公式求值.
【答案】.
能力型 师生共研
7.已知,则.
【知识点】同角三角函数关系、诱导公式.
【数学思想】化归思想.
【解题过程】
方法一:由,得,所以;
方法二:;
【思路点拨】根据诱导公式求值.
【答案】.
8.已知,则.
【知识点】同角三角函数关系、诱导公式.
【数学思想】化归思想.
【解题过程】;
【思路点拨】观察与关系,根据诱导公式求值.
【答案】.
探究型 多维突破
9.现有下列三角函数:
①;②;③
④、其中函数值与得值相同得序号就是_______.
【知识点】诱导公式.
【数学思想】化归思想.
【解题过程】
①;②;
③;④.
【思路点拨】奇变偶不变,符号瞧象限.
【答案】②④.
10.已知角就是第三象限角,且、
(1)化简;
(2)若,求得值;
(3)若,求得值;
【知识点】同角三角函数关系、诱导公式.
【数学思想】化归思想.
【解题过程】
(1);
(2)因为,所以,因为角就是第三象限角,
所以;
(3).
【思路点拨】先化简,再求值.
【答案】(1);(2);(3).
自助餐
1.得值为( )
A.1 B. C.0 D.2
【知识点】诱导公式、同角三角函数关系.
【数学思想】化归思想.
【解题过程】.
【思路点拨】化简.
【答案】B.
2.已知,则( )
A. B. C.2 D.
【知识点】诱导公式、同角三角函数关系.
【数学思想】化归思想.
【解题过程】因为,
所以,
【思路点拨】1与转化.
【答案】D.
3..
【知识点】同角三角函数关系、诱导公式.
【数学思想】化归思想
【解题过程】
.
【思路点拨】观察与关系.
【答案】.
4.化简: .
【知识点】诱导公式、同角三角函数关系、三角函数符号判断.
【数学思想】化归思想
【解题过程】

因为,所以原式=
【思路点拨】诱导公式化简、1得转化、符号得判断.
【答案】.
5.已知,求.
【知识点】诱导公式.
【数学思想】化归思想
【解题过程】
.
【思路点拨】关键在于利用诱导公式转化.
【答案】.