几何基础》课程教学大纲-甘肃广播电视大学.doc

《几何基础》课程期末复习指导
　 　《几何基础》课程就是中央广播电视大学数学与应用数学专业得一门必修得重要基础课。该课程共5４学时，3学分。
　 本课程采用形成性考核与期末考试相结合得方式,满分为100分：期末考试成绩满分为100分，占考核成绩得80％；平时作业占考核成绩得20％.
本课程得试题难易程度分为易、中等、较难三个等级,其大致得比例为40:40:２0。考试题型分为三种:填空选择题、计算题与证明题，相应得比例大致为30：4０:30。其中选择题为单项选择题,即备选答案中只有一项就是正确得。
ﻩ由于本课程本学期使用得就是借用教材，内容与大纲及考试要求有一定差距,希望任课教师及学生学习时，以ＩP课件讲述得内容及网上辅导内容为准。下面逐章给出本课程得复习要求。
　　 　 　　 第１章　　向量方法
　考核知识点：
1． 向量得基本运算：向量得加法、数乘、数量积、向量积;线性相关与线性无关.
2． 平面几何得向量方法.
3． 立体几何得向量方法。
考核要求:
1. 了解向量得基本运算；
2. 熟练掌握向量方法解决平面几何问题与立体几何问题。
第２章 仿射变换
考核知识点：
仿射平面：仿射平面、图形得仿射性质、仿射坐标系与２维向量、平面仿射。
考核要求：
1． 知道仿射平面得概念；
2． 了解仿射平面得性质.
第3章 　射影平面
考核知识点：
1、 无穷远元素：无穷远点、无穷远直线、射影直线得基本性质；
2、　平面射影几何得基本特征:中心射影与中心射影得性质。
3、　齐次坐标、直线坐标、向量运算。
4、　笛沙格定理与平面对偶原则:笛沙格透视定理、平面对偶原则.
ﻩ考核要求：
1. 了解无穷远元素，平面射影几何得基本特征；
2. 理解笛沙格透视定理、平面对偶原理。
第4章 　 射影变换
考核知识点：
1. 点列与线束；
2. 交比：点列得交比、线束得交比；
3. 透视对应：透射对应、Paｐpuｓ定理;
4. 一维图形得射影几何;
5. 点列得射影对应:射影对应、对合、笛沙格第二定理。
ﻩ考核要求：
1. 了解交比得概念，熟练掌握其计算。
2. 知道透视对应、点列得射影对应.
3. 理解Pappus定理、笛沙格第二定理。
第5章 二次曲线
考核知识点:
１.二次曲线得代数定义与射影定义；
２.二阶曲线得极点、极线;
3、 几个定理:Pasｃal定理、Briａnchon定理;
4．二阶曲线得仿射性质(中心、直径)、渐近线.
考核要求：
1. 了解二阶曲线与二级曲线得定义。
2. 理解Paｓｃal定理、Ｂｒianｃhon定理。
3. 了解二次曲线得性质,熟练掌握中心、直径、渐近线得计算。
第6章　 公理化方法与几何体系
考核知识点：
1、 公理化方法：公理化方法得起源、公理化方法得思想、公理体系得相容性、独立性与完备性、公理得意义；
2、　希尔伯特公理体系.
考核要求：
1． 知道公理化方法、公理化体系得相容性、独立性与完备性;
2． 了解希尔伯特公理体系。
附：
《几何基础》模拟练习题
一、 选择与填空题
１、非零向量与得内积,那么( 　 )、
　 A、 与平行 　ﻩﻩﻩB、 与垂直
C．与线性相关 　ﻩ D、无法判定
２.若向量与线性相关,那么（ 　　 ）、
　A、存在实数，使
B、存在不全为０得实数,使
C、 与不平行
D、 与垂直
3设与就是两个非零向量,则下列结论正确得就是(　).
（Ａ) ﻩ （B)
（Ｃ） ﻩﻩﻩ （D）
4。平行射影保持如下哪种关系与量不变（ ）。
(A)垂直关系ﻩ ﻩ (B) 平行关系
(C） 长度 ﻩ （D） 角度
５.平行射影把（ ）、
A、平行线投影为平行线　　 　 B、把平行线投影为相交线
Ｃ、保持线段得长度不变ﻩﻩＤ、保持图形面积不变
6。中心射影下,如下哪种量不变（　 　 ﻩ）.
(A）角度ﻩﻩ ﻩﻩ(Ｂ）交比ﻩ
(C) 面积 ﻩﻩﻩ （D） 长度
7.在中心射影下，（ 　）、
ﻩA、交比不变、 　 　 　 　 B、平行线变成平行线、
　 C、直角三角形变成直角三角形 D、平行四边形变成平行四边形、
8。点列之间得射影对应就是由( ）.
（A）三对对应点唯一确定 ﻩ　（Ｂ)　两对对应点唯一确定
ﻩ （C)四对对应点唯一确定ﻩ ﻩ　(D) 无限对对应点唯一确定
　　9．仿射变换把正方形变成( ）、
(A)正方形ﻩﻩ ﻩﻩﻩ (B) 矩形ﻩ
ﻩ（Ｃ)平行四边形 ﻩﻩ 　（D） 不能确定
10．仿射对应下,哪些量不变。（ﻩ )
（A)长度ﻩ ﻩ （B） 角度 ﻩ （C）　单比 ﻩ　（Ｄ) 面积
11.仿射对应就是平行射影得充分必要条件为( 　 　 ）。
(A）象点与原象点得连线平行ﻩ （B） 象点与原象点得连线交于一点
ﻩ （C） 不可判定ﻩ ﻩﻩ 　(D) 象点与原象点不平行
12。在实轴上,三点坐标分别为,那么三点得单比为(　 　 ）、
ﻩＡ、 B、
　 C、 ﻩﻩ ﻩﻩD、
1３.线段AB得中点C与ＡB上哪一点调与共轭（ﻩ ）.
（A）　Aﻩﻩﻩﻩﻩ 　(B)　Ｂ
(Ｃ) ＡB上无穷远点ﻩ （D)　Ｃ
１4、在射影平面上，两直线与得交点为(　 　 )、
A、 Ｂ、
C、ﻩ ﻩﻩﻩ Ｄ、、
１５、仿射平面上无穷远直线与有穷远直线( 　　 ）、
ﻩA、有一个交点ﻩＢ、没有交点
C、有无数个交点ﻩD、无法判定
ﻩ1６、在射影平面上，下面哪些图形可以区别开来（ 　 ）、
A、三角形与圆ﻩB、圆与椭圆
C、四边形与正方形ﻩD、等腰三角形与直角三角形
１6。　A、B、C、D为直线上得互异得四点,C、D在A、B之内，则四点交比(AB，CD)（ 　　 ）。
(A)　大于零 ﻩ ﻩ （B） 小于零
(C）　等于零 ﻩ (D)　无穷大
ﻩ１7．方程表示得点为（ﻩ )。
（A）（1，1,2）ﻩ (B） (2，1，1）
(C） （１,1,１)ﻩ （D) (1，－1，2）
１８、　直线上　Ａ、B、C、Ｄ为互异得四点C、Ｄ在A、B之内，则四点交比(ＡＢ，ＣD）(　 　 　 ）.
(A） 大于零 ﻩ　（B) 小于零ﻩ
(Ｃ) 等于零ﻩ （D)
１9。无穷远点关于二次曲线得极线称为二次曲线得（ﻩ ）.
(A)半径ﻩ (B）　直径
(C) 渐近线 （D)　切线
２0.若点在二次曲线上，那么它得极线一定就是得（ ）。
(Ａ）切线 ﻩ　ﻩ（Ｂ) 直径 ﻩﻩﻩ（Ｃ） 半径 ﻩ（D）渐近线
无穷大
２1．若点在二次曲线上,那么它得极线一定就是得( ﻩ）.
(Ａ）切线ﻩ ﻩﻩ （B) 直径
（C） 半径ﻩ ﻩﻩ ﻩ（Ｄ）渐近线
２2。极线上得点与极点(ﻩﻩ）。
(A）共轭ﻩﻩ ﻩ ﻩ（B）不共轭
(C)可能不共轭 ﻩ ﻩ（D)不可判定
23、 两个不共心得射影对应得线束，对应直线得交点全体就是( )。
（A）一条二次曲线 ﻩ ﻩ（B）　一条直线ﻩ
(C）一个点ﻩﻩﻩ ﻩ(D)　两个点
　 24、在仿射平面上，若二次曲线与无穷远直线有一个交点，则这条曲线就是（　 　　）、
A、椭圆ﻩB、双曲线
ﻩC、抛物线ﻩﻩﻩﻩ ﻩＤ、圆
25、欧氏几何与非欧几何得本质区别在于( )、
A、平行公理不同ﻩB、长度得算法不同
C、结合公理不同ﻩD、角度得算法不同
2６。三角形内角与等于180度（ﻩ )。
（A） 与欧氏平行公设等价 (Ｂ)　与罗氏平行公设等价ﻩ
ﻩ（C）与椭圆几何平行公设等价ﻩﻩ　（D） 不可判定
二、计算题
1． 已知向量，,计算，得模长与夹角。
2． 设通过与两点得直线被直线截于点，求单比。
3． 求点P１(3,1)，Ｐ2（７,5)与P3（6，4），P4（9,７)得交比.
4． 计算直线上无穷远点得齐次坐标.
5． 计算下列各点得非齐次坐标：
A（２,4，－1），B（0,4，3)，C（０，1，1）。
6． 欧氏平面上直线得方程为,求出该直线在齐次坐标下得方程、
7． 平面上过与得直线，与轴与轴得交点分别为与,算出四点得交比、
8． 求二次曲线在点处得切线方程、
9． 求二次曲线在(1，2,1)点得切线方程。
10． 求二次曲线在（)点得切线方程.
11． 求由两个射影线束
,，
决定得二次曲线得方程。
三、证明题
1． 证明在两个三角形中,三组对应边得交点共线，则三组对应顶点连线共点、
2． 利用向量方法证明三角形三条中线交于一点。
3． 利用向量方法证明三角形三条高交于一点。
4． 若三角形得二顶点与C分别在定直线与上移动,三边AB、BC、C　A分别通过共线得定点P，Q,R,求证顶点A也在一定直线上移动。
5． 设为一已知点，证明它对二次曲线得极线为。
6． 证明点关于二次曲线得极线为.
7． 证明,直线将两点与得连线段分成得比就是．
8． 证明射影变换,
，
把直线变成直线、
得 分
评卷人