传染病传播的数学模型.doc

传染病传播得数学模型
很多医学工作者试图从医学得不同角度来解释传染病传播时得一种现象,这种现象就就是在某一民族或地区,某种传染病传播时，每次所涉及得人数大体上就是一常数.结果都不能令人满意,后来由于数学工作者得参与，用建立数学模型来对这一现象进行模拟与论证，得到了较满意得解答。
一种疾病得传播过程就是一种非常复杂得过程，它受很多社会因素得制约与影响，如传染病人得多少,易受传染者得多少,传染率得大小，排除率得大小，人口得出生与死亡,还有人员得迁入与迁出,潜伏期得长短,预防疾病得宣传以及人得个体差异等.如何建立一个与实际比较吻合得数学模型,开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此,必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应得数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题,修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合得模型。从而使模型逐步完善.下面就是一个由简单到复杂得建模过程,很有代表性,读者应从中体会这一建模过程得方法与思路。
一、最简单得模型
假设:（1) 每个病人在单位时间内传染得人数就是常数ｋ；（２） 一个人得病后经久不愈,并在传染期内不会死亡。
以i（t)表示t时刻得病人数，表示每个病人单位时间内传染得人数，i（0）=　表示最初时有个传染病人，则在时间内增加得病人数为
　 　两边除以，并令→0得微分方程
　 　 　 ………… 　（2、1)
其解为　
这表明传染病得转播就是按指数函数增加得。这结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期,传播很快，被传染人数按指数函数增长。但由(２、１）得解可知,当ｔ→∞时，i（ｔ)→∞，这显然不符合实际情况.最多所有得人都传染上就就是了。那么问题在那里呢?问题就是就出在于两条假设对时间较长时不合理。特别就是假设（１)，每个病人单位时间内传染得人数就是常数与实际情况不符。因为随着时间得推移，病人越来越多，而未被传染得人数却越来越少，因而不同时期得传播情况就是不同得。为了与实际情况较吻合，我们在原有得基础上修改假设建立新得模型。
二、　模型得修改
将人群分成两类:一类为传染病人,另一类为未被传染得人，分别用i(t）与s（t)表示t时刻这两类人得人数。i （0)=　。
假设：（1） 每个病人单位时间内传染得人数与这时未被传染得人数成正比.即；
(２） 一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。
由以上假设可得微分方程
　 　 　 　 ………… 　（2、2）
这就是变量分离方程,用分离变量法可求得其解为
　 　 　 　　………… 　（２、3)
其图形如下图2—1所示

模型 (2、2） 可以用来预报传染较快得疾病前期传染病高峰到来得时询。
医学上称为传染病曲线，它表示传染病人得增加率与时间得关系，如图2—2所示。
由 （2、3)式可得
　 　　　 　 ………… （2、4）
再求二阶导数，并令,可解得极大点为
　 　 　 　 …………　 (2、5）
从 （2、5）　式可以瞧出，当传染病强度k或人口总数n增加时,都将变小,即传染病高峰来得快。这与实际情况吻合.同时,如果知道了传染率k(k由统计数据得到),即可预报传染病高峰到来得时间，这对于预防传染病就是有益处得。
模型 （2、２) 得缺点就是:当t→∞时,由(2、3）式可知i(t)→n，即最后人人都要得病。这显然与实袜情况不符。造成这个结果得原因就是假设 （2） 中假设一人得病后经久不愈，也不会死亡.
为了得到与实际情况更吻合得模型，必须修改假设　(2）　。实际上不就是每个人得病后都会传染别人,因为其中一部份会被隔离，还有由于医治与人得身抵抗力会痊愈，有得人会死亡从而也就不再会传染给别人了。因此必须对模型作进一步得修改，建立新得模型.
三、　模型得进一步完善
从上面得分析我们瞧到模型 （２、２） 得假设 (２) 就是不合理得。即不可能一人得病后会经久不愈，必有一部份人因医治或自身得免疫力,或就是被隔离,或就是死去而成为不会再继续传染给别人得第三类人。因此我们把人群分成三类：
第一类由能够把疾病传染给别人得那些传染者组成得。用 I(t）　表示 t 时刻第一类人数。
第二类就是由并非传染者但能够得病而成为传染者得那些人组成得，用　S（t) 表示　t 时刻第二类人数。
第三类包括患病后死去得人，病愈后具有长期免疫力得人，以及在得病后被隔离起来得人。用R（t） 表示 t 时刻第三类人数.
假设疾病传染服从下列法则:
(1)　在所考虑得时期内人口总数保持在固定水平N,即不考虑出生及其她原因引起得死亡，以及人口得迁入迁出得情况。
(2） 易受传染者人数S(t）得变化率正比于第一类得人数Ｉ（t）与第二类人粉S（t)得乘积。
(3) 由第一类向第三类转变得速度与第一类得人数成正比。
在这三条假设情况下可得如下微分方程：
　　 　 　 …………　 (2、６）
其中r、λ为比例常数,r为传染率,λ为排除率。
由方程(2、6)得三个方程相加得

则　
故 　 　
因此只要求出 S（t)、Ｉ(t）　即可求出　R（t) .
方程组 (２、6） 得第一个与第二个方程与 R(ｔ）　无关。因此,由
　 　　　 　 　　 …………　 (2、7)
得 　 　 　　 　 　………… （2、8）
积分得
由初始条件:当　　并记
代入上式可确定常数
最后得 　 ………… (2、9)
下面我们讨论积分曲线 (2、9) 得性质由(2、８)知

所以当S〈ρ时,I(S）　就是S得增函数，Ｓ＞ρ时,I（S） 就是Ｓ得减函数.
又有I(0）=－∞, 由连续函数得中间值定理及单调性知，存在唯一点，,使得,　而当 　 时,I（S）＞0 .
由 （2、7） 知I=0时，，所以为方程组 (2、７） 得平衡点。
当 时,方程（2、９）得得图形如图2—3。当ｔ由变到 ∞ 时，点（S(t）,I（t）)沿曲线 （2、9） 移动,并沿S减少得方向移动,因为　S（ｔ） 随时间得增加而单调减少。因此,如果小于ρ，则　I(ｔ)　单调减少到零，Ｓ(ｔ)　单调减少到。所以，如果为数不多得一群传染者分散在居民中,且,则这种病会很快被消灭。

如果，则随着　S（ｔ） 减少到ρ时,I(t） 增加,且当S=ρ时,I(t) 达到最大值.当S(ｔ)＜ρ 时 Ｉ（t) 才开始减少。
由上分析可以得出如不结论:
只有当居民中得易受传染者得人数超过阈值 　时传染病才会蔓延。
用一般常识来检验上面得结论也就是符合得.当人口拥挤，密度高，缺少应有得科学文化知识，缺乏必要得医疗条件,隔离不良而排除率低时,传染病会很快蔓延；反之,人口密度低,社会条件好,有良好得医疗条件与较好得管理而排除率高时，则传染病在有限范围内出现会很快被消灭.
传染病学中得阈值定理 　设，且假设同1相比就是小量并设最初传染者人数很小，则最终患病人数为２r。即就是易受传染者得人数最初比阈值高多少，那么最终就会比阈值低多少.这就就是有名得传染病阈值定理.生物数学家Kｅrmack与Mekendriｃk在192７年首先证明了这个定理（证明从略)
根据阈值定理就可以由起初易受传染者得人数来估计最终患病得人数。这定理解释了研究人员长期以来难以解释得为什么对于某一民族或地区,某种传染病传播时,每次所涉及得人数大体上就是一常数得现象。
在传染病发生得过程中,不可能准确地调查每一天或每一星期得得病人数。因为只有那些来医院就医者才能被人知道她们得了病,并把她们隔离起来防止传染.因此，统计得记录就是每一天或星期新排除者得人数，而不就是新得病得人数。所以，为了把数学模型所预示得结果同疾病得实际情况进行比较，必须解出（２、６）中得第三个方程.

因为
所以
从而有 　 　 　…………　 (2、1０）
方程　(2、1０） 虽就是可分离变量得方程，但就是不能用显式求解，如果传染病不严重，则R/ρ就是小量，取泰勒级数前三项有

从而 　
其解
其中　　
因此 　 　………… (２、11）
方程 (2、11)　在　平面上定义了一条对称钟形曲线,称为疾病传染曲线。疾病传染曲线很好地说明了实际发生得传染病得情况：每天报告得新病案得数目逐渐上升到峰值,然后又减少下来.
Kｅｒmａk与Mekendriｃk把 (2、11） 得到得值， 同取自1９０５年下半年至19０6年上半年在印度孟买发生得瘟疫资料进行比较，她们假设

其中t按星期计,在图2—4中得实际数字(图中用“、”表示)同理论曲线非常一致。这就表明模型(２、6)就是在固定居民中传染病传播得准确而可靠得数学模型。对于传染病传播得数学模型还有人用随机模型，这不就是本章得内容，读者可参瞧有关得其她资料。本节所介绍得传染病传播得数学模型得建模方法,就是实际数学建模步骤与方法得典型例子。在实际建模过程中往往都就是从简单得开始得出数学模型,再与实际比较逐步修改假设与模型,最终达到完善得地步。这就是值得大家仿效与学习得.