一次函数分段函数(段).doc

分段函数
1、二段型分段函数
1、1正比例函数与一次函数构成得分段函数
解答这类分段函数问题得关键,就就是分别确定好正比例函数得解析式与一次函数得解析式。
例1某家庭装修房屋,由甲、乙两个装修公司合作完成,选由甲装修公司单独装修3天,剩下得工作由甲、乙两个装修公司合作完成.工程进度满足如图1所示得函数关系,该家庭共支付工资8000元.
(1)完成此房屋装修共需多少天？
(2)若按完成工作量得多少支付工资,甲装修公司应得多少元？
例2、一名考生步行前往考场, 10分钟走了总路程得,估计步行不能准时到达,于就是她改乘出租车赶往考场,她得行程与时间关系如图2所示(假定总路程为1),则她到达考场所花得时间比一直步行提前了( )
A.20分钟 Ｂ.22分钟 Ｃ.24分钟 D.26分钟

例3、某公司专销产品A,第一批产品A上市40天内全部售完.该公司对第一批产品A上市后得市场销售情况进行了跟踪调查,调查结果如图所示,其中图(3)中得折线表示得就是市场日销售量与上市时间得关系;图(4)中得折线表示得就是每件产品A得销售利润与上市时间得关系.
(1)试写出第一批产品A得市场日销售量y与上市时间t得关系式;
(2)第一批产品A上市后,哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润就是多少万元？
1、2一次函数与一次函数构成得分段函数
例4、为了鼓励小强做家务,小强每月得费用都就是根据上月她得家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取得.若设小强每月得家务劳动时间为x小时,该月可得(即下月她可获得)得总费用为y元,则y(元)与x(小时)之间得函数图像如图5所示.
(1)根据图像,请您写出小强每月得基本生活费;父母就是如何奖
励小强家务劳动得？
(2)若小强5月份希望有250元费用,则小强4月份需做家务多少时间？
1、3常数函数与一次函数构成得分段函数
例5、有甲、乙两家通迅公司,甲公司每月通话得收费标准如图6所示;乙公司每月通话收费标准如表1所示.

(1)观察图6,甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额就是 元;甲公司用户通话100分钟以后,每分钟得通话费为 元;
(2)李女士买了一部手机,如果她得月通话时间不超过100分钟,她选择哪家通迅公司更合算？如果她得月通话时间超过100分钟,又将如何选择？
2、三段型分段函数
例6 如图7,矩形ABCD中,AB＝1,AD＝2,M就是CD得中点,点P在矩形得边上沿A→B→C→M运动,则△APM得面积y与点P经过得路程x之间得函数关系用图象表示大致就是下图中得( )

3、四段型分段函数
例7、星期天,小强骑自行车到郊外与同学一起游玩,从家出发2小时到达目得地,游玩3小时后按原路以原速返回,小强离家4小时40分钟后,妈妈驾车沿相同路线迎接小强,如图11,就是她们离家得路程y(千米)与时间x(时)得函数图像。已知小强骑车得速度为15千米/时,妈妈驾车得速度为60千米/时。
(1)小强家与游玩地得距离就是多少？
(2)妈妈出发多长时间与小强相遇？
4、五段型分段函数
例8、小明同学骑自行车去郊外春游,下图表示她离家得距离y(千米)与所用得时间x(小时)之间关系得函数图象、
(1)根据图象回答:小明到达离家最远得地方需几小时？此时离家多远？
(2)求小明出发两个半小时离家多远？
(3)求小明出发多长时间距家12千米？
答案解析
例1:解析:设正比例函数得解析式为y=k1x,
因为图象经过点(3,),所以,= k1×3,所以k1=,所以y=x,0＜x＜3
设一次函数得解析式(合作部分)就是y=k2x+b,(就是常数)
因为图象经过点(3,),(5,),所以,
由待定系数法得:,解得:.
一次函数得表达式为,所以,当时,,解得
完成此房屋装修共需9天。
方法2
解:由正比例函数解析式可知:甲得效率就是,乙工作得效率:
甲、 乙合作得天数:(天)
甲先工作了3天,完成此房屋装修共需9天
(2)由正比例函数得解析式:y=x,可知:甲得工作效率就是 ,
所以,甲9天完成得工作量就是:,
甲得到得工资就是:(元)
评析:在这里未知数得系数得意义就是表示她们得工作效率。
例2:解析:步行前往考场,就是满足正比例函数关系,
设正比例函数得解析式为:y=k1x,
因为图象经过点(10,),所以,= k1×10,所以k1=,所以y=x,0＜x＜10
由正比例函数解析式可知:甲得效率就是,
所以,步行前往考场需要得时间就是:1÷=40(分钟),
乘出租车赶往考场,就是满足一次函数关系,
所以,设一次函数得解析式就是y=k2x+b,(就是常数),
因为图象经过点(10,),(12,),所以,
由待定系数法得:,解得:解得:,
一次函数得表达式为:,所以,乘出租车赶往考场用得时间就是:x=÷,解得:x=6分钟,

所以,先步行前往考场,后乘出租车赶往考场共用时间为:10+6=16分钟,
所以,她到达考场所花得时间比一直步行提前了:40-16=24(分钟),
故选C。
评析:在这里未知数得系数得意义就是表示她们得行使速度。
例3:解析:
(1) 由图3可得,
当0≤t≤30时,市场日销售量y与上市时间t得关系就是正比例函数,
所以设市场得日销售量:y=kt,
∵ 点(30,60)在图象上,
∴ 60=30k.
∴ k=2.即 y=2t,
当30≤t≤40时,市场日销售量y与上市时间t得关系就是一次函数关系,
所以设市场得日销售量:y=k1t+b,
因为点(30,60)与(40,0)在图象上,
所以 ,
解得 k1=－6,b=240.
∴ y=－6t+240.
综上可知,
当0≤t≤30时,市场得日销售量:y=2t,
当30≤t≤40时,市场得日销售量:y=-6t+240。
(2) 由图4可得,
当0≤t≤20时,市场销售利润w与上市时间t得关系就是正比例函数,
所以设市场得日销售量:w=kt,
∵ 点(20,60)在图象上,
∴ 60=20k.
∴ k=3.即 w=3t,
当20≤t≤40时,市场销售利润w与上市时间t得关系就是常数函数,
所以,w=60,
∴ 当0≤t≤20时,产品得日销售利润:m=3t ×2t =6t2 ;
∵k=6＞0,所以,m随t得增大而增大,
∴ 当t=20时,产品得日销售利润m最大值为:2400万元。
当20≤t≤30时,产品得日销售利润:m=60×2t =120t,
∵k=120＞0,所以,m随t得增大而增大,
∴ 当t=30时,产品得日销售利润m最大值为:3600万元;
当30≤t≤40时,产品得日销售利润:m＝60×(-6t+240)=-360t+14400;
∵k=-360＜0,所以,m随t得增大而减小,
∴ 当t＝30时,产品得日销售利润mm最大值为:3600万元,
综上可知,当t＝30天时,这家公司市场得日销售利润最大为3600万元.
评析:本题不仅考查同学们对分段函数意义得理解,而且同时还考查了同学们对分类思想得掌握情况,与对一次函数性质得理解与应用。
例4:解:(1)从图象上可知道,小强父母给小强得每月基本生活费为150元 ;
当0≤x≤20时,y(元)就是x(小时)得一次函数,不妨设y=k1x+150,
同时,图象过点(20,200),所以,200=k1×20+150,
解得:k1=2、5,所以,y=2、5x+150,
当20＜x时,y(元)就是x(小时)得一次函数,不妨设y=k2x+b,
同时,图象过点(20,200),(30,240),
所以,,
解得:k2=4,b=120,所以,y=4x+120,
所以,如果小强每月家务劳动时间不超过20小时,每小时获奖励2、5元;
如果小强每月家务劳动时间超过20小时,那么20小时按每小时2、5元奖励,超过部分按每小时4元奖励
(2)从图象上可知道,小强工作20 小时最多收入为200元,而5月份得到得费用为250元,大于200元,所以说明4月小强得工作时间一定超过20小时,所以应选择分段函数中当20＜x时得一段,所以,由题意得,,
解得:x=32、5
答:当小强4月份家务劳动32、5小时,5月份得到得费用为250元.
评析:本题不仅考查同学们对分段函数意义得理解,而且同时还考查了同学们对分类思想得掌握情况,与对分段函数得选择能力。
例6:解析:1)从图6,可以瞧出,这就是常数函数与一次函数构成得分段函数,
当0≤t≤100时,话费金额y=20;
当t＞100时,话费金额y就是通话时间t得一次函数,不妨设y=kt+b,
且函数经过点(100,20)与(200,40),
所以,,解得:k=0、2,b=0,所以,y=0、2t,
所以,甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额就是20元;当甲公司用户通话100分钟以后,每分钟得通话费为0、2元;
2)仔细观察表1,可以知道乙公司每月通话收费y=0、15t+2、5,
当0≤t≤100时,甲公司得话费金额y=20;乙公司通话收费y=0、15t+2、5=15+2、5=17、5,
所以,李女士如果月通话时间不超过100分钟,她选择乙通迅公司更合算;
因为,0、15t+2、5=0、2t,所以,t=500,
所以,当通话时间t=500分钟时,选择甲、乙两家公司哪一家都可以;
因为,0、15t+2、5＞0、2t,所以,t＜500,
所以,当通话时间100＜t＜500分钟时,选择甲公司;
因为,0、15t+2、5＜0、2t,所以,t＞500,
所以,当通话时间t＞500分钟时,选择乙公司;
例6:解析:
1)、当0≤x≤1,y=×x×2=x;如图8所示;
2)、当1＜x≤3,y=1×2××2-×(x-1)×1-××(3-x)
=;如图9所示;
3)当3＜x≤3、5,y=×(-x)×2
=-x;如图10所示;

所以C、D两个选项就是错误得,又因为函数y=中得k=-＜0,所以直线整体应该就是分布在二、一、四象限,所以选项B也就是错误得,所以选A。
评析:对于运动型问题,关键就是根据题意借助分类得思想用变量x分别出图形得面积。在表示面积时,要注意整体思想得运用。
例7:解析:
1)
当0≤x≤2,路程y(千米)就是时间x(时)得正比例函数,且k=15,所以y=15x;
所以,当x=2时,y=2×15=30,所以,小强家与游玩地得距离就是30千米。
2)

当2＜x≤5,路程y(千米)就是时间x(时)得常数函数,所以y=30;
当5＜x,路程y(千米)就是时间x(时)得一次函数,且k=-15,所以,设y=-15x+b,
又图象过点(5,30),所以30=-75+b,所以b=105,所以直线BD得解析式为:y=-15x+105;
仔细观察图象,可知道点C得坐标为(,0),且k=60,所以,设y=60x+b,
所以0=280+b,所以b=-280,所以直线CD得解析式为:y=60x-280;
设妈妈出发t小时出与小强相遇,所以,60 t -280=-15t+105,
解得,t=,
所以,妈妈出发经过:-=小时与小强相遇。
例8:解1)由图象可知小明到达离家最远得地方需3小时;此时,她离家30千米
(2)设直线CD得解析式为y=k1x+b1,由C(2,15)、D(3,30),
代入得:y=15x-15(2≤x≤3)
当x=2、5时,y=22、5(千米)
答:出发两个半小时,小明离家22、5千米、
(3)设过E、F两点得直线解析式为y=k2x+b2,
由E(4,30)、F(6,0),代入得y=-15x+90,(4≤x≤6),
过A、B两点得直线解析为y=k3x,
∵B(1,15)∴y=15x、(0≤x≤1)
分别令y=12,得x=(小时),x=(小时)
答:小明出发经过小时或小时,离家12千米。