二次函数图像与性质专题复习.doc

　 　 　　 　　　二次函数得图像与性质
一、二次函数得基本形式
1、 二次函数基本形式：得性质：
a 得绝对值越大,抛物线得开口越小。
得符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随得增大而增大；时，随得增大而减小;时,有最小值．

向下

轴
时,随得增大而减小;时,随得增大而增大；时，有最大值.
2、 得性质:
上加下减。
得符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随得增大而增大;时，随得增大而减小；时,有最小值.

向下

轴
时，随得增大而减小；时,随得增大而增大;时有最大值.
3、 得性质：
左加右减。
得符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

Ｘ=h
时，随得增大而增大；时,随得增大而减小；时，有最小值.

向下

Ｘ=ｈ
时,随得增大而减小；时,随得增大而增大;时，有最大值.
4、 得性质：
得符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

X=h
时,随得增大而增大；时，随得增大而减小;时，有最小值。

向下

X=h
时,随得增大而减小;时，随得增大而增大;时，有最大值。
二、二次函数图象得平移
1、 平移步骤：
方法一：⑴　将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标;
⑵　保持抛物线得形状不变,将其顶点平移到处，具体平移方法如下:

　2、 平移规律
　　 在原有函数得基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”.
概括成八个字“左加右减，上加下减"。
　方法二：
⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成
(或）
⑵沿轴平移:向左（右)平移个单位,变成（或)
三、二次函数与得比较
从解析式上瞧，与就是两种不同得表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中。
四、二次函数图象得画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图、一般我们选取得五点为：顶点、与轴得交点、以及关于对称轴对称得点、与轴得交点,（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称得点)、
画草图时应抓住以下几点:开口方向，对称轴，顶点，与轴得交点，与轴得交点、
五、二次函数得性质
　1、 当时，抛物线开口向上，对称轴为,顶点坐标为.
当时，随得增大而减小；当时,随得增大而增大;当时,有最小值.
　　2、　当时，抛物线开口向下，对称轴为,顶点坐标为。当时，随得增大而增大;当时,随得增大而减小;当时，有最大值.
六、二次函数解析式得表示方法
1、 一般式：（,,为常数,）；
2、 顶点式：（,，为常数,）;
３、 两根式:（,,就是抛物线与轴两交点得横坐标)、
注意:任何二次函数得解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有得二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线得解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式得这三种形式可以互化、
七、二次函数得图象与各项系数之间得关系
１、 二次项系数
二次函数中，作为二次项系数,显然。
　　 ⑴ 当时,抛物线开口向上,得值越大，开口越小，反之得值越小,开口越大；
⑵　当时,抛物线开口向下,得值越小，开口越小,反之得值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口得大小与方向，得正负决定开口方向,得大小决定开口得大小．
２、 一次项系数
在二次项系数确定得前提下,决定了抛物线得对称轴．
⑴ 在得前提下,
当时，，即抛物线得对称轴在轴左侧；
当时,,即抛物线得对称轴就就是轴；
当时,，即抛物线对称轴在轴得右侧。
⑵　在得前提下,结论刚好与上述相反，即
当时,，即抛物线得对称轴在轴右侧;
当时，,即抛物线得对称轴就就是轴；
当时，,即抛物线对称轴在轴得左侧。
总结起来,在确定得前提下,决定了抛物线对称轴得位置.
得符号得判定:对称轴在轴左边则，在轴得右侧则,概括得说就就是“左同右异”
总结：
3、 常数项
　 　⑴ 当时，抛物线与轴得交点在轴上方,即抛物线与轴交点得纵坐标为正；
⑵　当时，抛物线与轴得交点为坐标原点，即抛物线与轴交点得纵坐标为；
　 ⑶ 当时,抛物线与轴得交点在轴下方,即抛物线与轴交点得纵坐标为负。
总结起来，决定了抛物线与轴交点得位置。
总之，只要都确定，那么这条抛物线就就是唯一确定得.
二次函数解析式得确定:
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。用待定系数法求二次函数得解析式必须根据题目得特点,选择适当得形式，才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况：
１、　已知抛物线上三点得坐标，一般选用一般式;
2、　已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；
3、 已知抛物线与轴得两个交点得横坐标，一般选用两根式;
4、 已知抛物线上纵坐标相同得两点,常选用顶点式。
八、二次函数图象得对称
二次函数图象得对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
　1、 关于轴对称
　 关于轴对称后，得到得解析式就是；　
关于轴对称后，得到得解析式就是；
　2、 关于轴对称
　 　关于轴对称后,得到得解析式就是;
关于轴对称后，得到得解析式就是;
３、 关于原点对称
关于原点对称后，得到得解析式就是；
关于原点对称后，得到得解析式就是;
　４、 关于顶点对称（即:抛物线绕顶点旋转18０°)
　 关于顶点对称后,得到得解析式就是；
关于顶点对称后得到得解析式就是。
　 5、 关于点对称
关于点对称后，得到得解析式就是
根据对称得性质，显然无论作何种对称变换,抛物线得形状一定不会发生变化，因此永远不变。求抛物线得对称抛物线得表达式时，可以依据题意或方便运算得原则，选择合适得形式，习惯上就是先确定原抛物线(或表达式已知得抛物线)得顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线得顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线得表达式．
二次函数图像参考:

十一、
【例题精讲】
一、一元二次函数得图象得画法
【例1】求作函数得图象
【例２】求作函数得图像。
分析:画二次函数图象步骤：
　 （1）配方; （2）列表;
（3)描点成图; 也可利用图象得对称性，先画出函数得左(右）边部分图象,再利用对称性描出右(左)部分就可。
二、一元二次函数性质
【例３】求函数得最小值及图象得对称轴与顶点坐标，并求它得单调区间。
【例4】求函数图象得顶点坐标、对称轴、最值。
【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时,方法有两个:
(1) 配方法;如例3
(2) 公式法:适用于不容易配方题目（二次项系数为负数或分数)如例4，可避免出错。
任何一个函数都可配方成如下形式:
【二次函数题型总结】
１、关于二次函数得概念
例１ 　如果函数就是二次函数,那么ｍ得值为　　　 。
例2 抛物线得开口方向就是　　 　 　 ；对称轴就是 ;顶点为 　 。
-1
O
X=1
Y
X

2、关于二次函数得性质及图象
例3 函数得图象如图所示，
则a、b、c,，，得符号
为 　 　 　　 　 　 　 　　，
例4 已知a－b+ｃ＝0　 9ａ＋3b+c=０，则二次函数y＝ax2＋bｘ+ｃ得图像得顶点可能在（ 　 　）
（A） 第一或第二象限 　 (B)第三或第四象限　
（B） (C)第一或第四象限 　　　 (D）第二或第三象限

3、确定二次函数得解析式
3
o
-1
3
y
x
例5 已知:函数得图象如图：那么函数解析式为( ）
(Ａ） 　　（B)
(C) (Ｄ）
4、一次函数图像与二次函数图像综合考查
例6 已知一次函数ｙ=ａx＋ｃ二次函数y=ax2+ｂｘ+c(a≠０)，它们在同一坐标系中得大致图象就是( )、

例７　如图:△ABC就是边长为４得等边三角形,AＢ在X轴上,点C在第一象限，AC与Ｙ轴交于点D，点A得坐标为（-1，0）（１)求 Ｂ、C、D三点得坐标；（2）抛物线经过B、C、D三点,求它得解析式；

【练习题】
一、选择题
1、　二次函数得顶点坐标就是（ ）
Ａ、(２,—11） 　 B、(－２,7) 　　　 C、(２,11） 　 D、 (２,-3)
2、 把抛物线向上平移1个单位，得到得抛物线就是( 　 ）
A、 　 Ｂ、　 　Ｃ、　　 　D、　
3、函数与在同一直角坐标系中图象可能就是图中得(　　 )
4、已知二次函数得图象如图所示,则下列结论： ①a,ｂ同号；②当与时，函数值相等；③④当时, 得值只能取0、其中正确得个数就是（　 )　
A、1个 　 B、２个 　 　 　Ｃ、　3个　 　D、 4个

5、已知二次函数得顶点坐标(－1，—3、２）及部分图象（如图)，由图象可知关于得一元二次方程得两个根分别就是( )
A.－１、3 　　　　 　 B、-2、3　 　　　 C、—0、３ 　 　　 D、－3、３
6、 已知二次函数得图象如图所示，则点在( )
A。第一象限　 Ｂ.第二象限
C。第三象限 　 D。第四象限
７、方程得正根得个数为（ )
A、0个 　 　 B、１个 　 　　 　 C、2个、 　 　 3 个
8、已知抛物线过点A(2,0），Ｂ（-1,0）,与轴交于点C，且OC=２、则这条抛物线得解析式为
A、 　 　 　 　Ｂ、　
C、 或 　 　Ｄ、 或
二、填空题
９．二次函数得对称轴就是,则＿＿_＿___。
１0。已知抛物线ｙ=-2(x＋3）²+5，如果y随x得增大而减小,那么ｘ得取值范围就是＿_＿____、
11。一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2）,②当<0时,函数值随自变量得增大而增大；满足上述两条性质得函数得解析式就是 　 　 　 （只写一个即可)。
12．抛物线得顶点为C，已知直线过点Ｃ,则这条直线与两坐标轴所围成得三角形面积为 　　 　 .
13、　二次函数得图象就是由得图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到得，则b＝ 　　 ,c= 　 。
１4．如图，一桥拱呈抛物线状，桥得最大高度就是16米，跨度就是４0米，在线段AB上离中心M处５米得地方，桥得高度就是　　　　 (π取3、14)、 　 　
三、解答题：
1５、已知二次函数图象得对称轴就是，图象经过（１,—6），且与轴得交点为(0，)、
（1）求这个二次函数得解析式；
（２)当x为何值时，这个函数得函数值为0?
（3)当x在什么范围内变化时，这个函数得函数值随x得增大而增大?
第15题图

16、某种爆竹点燃后,其上升高度h(米）与时间t（秒)符合关系式 (０＜t≤２),其中重力加速度g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以ｖ0＝20米/秒得初速度上升，
(1)这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米?
（２)在爆竹点燃后得1、5秒至１、８秒这段时间内，判断爆竹就是上升，或就是下降，并说明理由、
17、如图，抛物线经过直线与坐标轴得两个交点Ａ、Ｂ，此抛物线与轴得另一个交点为C，抛物线顶点为D、
（1）求此抛物线得解析式;
（２）点P为抛物线上得一个动点,求使：５ :４得点P得坐标。