【河南省新乡一中】2017届高三(上)第二次月考数学年(理科)试题.pdf

-1-/13 河南省新乡一中河南省新乡一中 2017 届届高三（上）第高三（上）第一一次月考数学（文科）次月考数学（文科）试卷试卷 答答 案案 一、选择题 15BABBDA 610ABBAB 1112DA 二、填空题 1351,4 142,)1512 31n 162 三、解答题 17解：(1)设等差数列na的公差为d，由题意得 41123333aad。1(1)3(1,2,)naandn n。数列na的通项公式为：3nan；设等比数列nnba的公比为q，由题意得：4431120 12843baqba，解得2q。1111()2nnnnbaba q 从而132(1,2,)nnbnn。数列 nb的通项公式为：132nnbn；(2)由(1)知132(1,2,)nnbnn。数列3 n的前n项和为3(1)2n n，数列12n的前n项和为122112nn。数列 nb的前 n 项和为3(1)212nn n。18解：(1)从这 40 名学生中按照分层抽样的方式抽取 10 名学生，则各大学人数分别为甲大学抽取：810240人，-2-/13 乙大学抽取：1210340人，丙大学抽取：810240人，丁大学抽取：1210340人。(2)设乙中 3 人为1a，2a，3a，丁中 3 人为1b，2b，3b，从这 6 名学生中随机选出 2 名学生发言的结果为：12,a a，13,a a，11,a b，12,a b，13,a b，32,a a，12,b a，22,b a，32,b a，31,a b，32,a b，33,a b，12,b b，13,b b，23,b b，共 15 种，这 2 名同学来自同一所大学的结果共 6 种，所以所求概率为62155P 19解：（）证明：设BD与AC的交点为O，连结EO，ABCD是矩形，O为BD的中点 E为PD的中点，/EOPB EO平面AEC，PB平面AEC/PB平面AEC；（）1AP，3AD，三棱锥PABD的体积34V，133664VPA AB ADAB，32AB，22131()32PB 作AHPB交PB于H，由题意可知BC 平面PAB，BCAH，故AH 平面PBC。又在三角形PAB中，由射影定理可得：3 1313PA ABAHPB A到平面PBC的距离3 1313 -3-/13 20解：(1)由题意知，22ca，即2212ca，22212aba，则222ab，设(,)P x y，(,)(,)PA PBaxyaxy 2222222221()222axxayxaxa，axa ，当0 x，2min()22aPA PB ，24a，则22b 椭圆 C 的方程为22142xy；(2)由24a，22b，得222cab，12(2,0),(2,0)FF，则直线斜率不存在时，(2,1),(2,1)MN，于是22(2 2,1),(2 2,1)F MF N，227F M F N；直线斜率存在时，设直线MN的方程为(2)yk x，代入椭圆方程22142xy，消去y得 2222(12)4 24(1)0kxk xk 设1212(,),(y,)M x xNy，则21224 212kxxk，21224(1)12kx xk，211222(2,y),(2,y)F MxF Nx，22222212121212122()2(2)(2)(1+)+222F M F Nx xxxkxxkx xkxxk（-）()+2 -4-/13 22222224(1)4 2(1)2(1)221212kkkkkkk 29712k 2121k，210112k 297 2,7)12k ，综上知，22 2,7F M F N 21解：(1)1()3fxxax，(0)x，若函数()f x在(0,)上递增，则()0fx对0 x 恒成立恒成立，即1()3axx对0 x 恒成立，而当0 x 时，1()323=1xx，1a 若函数()f x在(0,)上递减，则()0fx对0 x 恒成立，即1()3axx对0 x 恒成立，这是不可能的 综上，1a，的最小值为 1(2)由21()()(2)2ln02f xa xaxx，得21()(2)2ln2a xaxx，即2lnxxax，令2ln()xxr xx，2331(1)2(ln)12ln()xxxxxxxr xxx，得12ln0 xx的根为 1，所以当01x时，()0r x，则()r x单调递增；当1x 时，()0r x，则()r x单调递减，所以()r x在1x 处取到最大值 11r 又0 x时()0r x，又x时()0r x，所以要使2lnxxyx与ya有两个不同的交点，则有01a 选做题 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 -5-/13 22解：（）对于曲线22:149xyC，可令2cosx、3siny，故曲线 C 的参数方程为2cos3sinxy，（为参数）对于直线2:22xtlyt，由得：2tx，代入并整理得：260 xy；（）设曲线C上任意一点(2cos,3sin)P P到直线l的距离为5|4cos3sin6|5d 则2 5|5sin()6|sin305dPA，其中为锐角 当sin()1时，|PA取得最大值，最大值为22 55 当sin()1时，|PA取得最小值，最小值为2 55 选修 4-5：不等式选讲 23解：(1)当3a 时，()3f x 即|3|2|3xx，即2323xxx，或2332 3xxx，或332 3xxx 解可得1x，解可得x，解可得x4 把、的解集取并集可得不等式的解集为|4x xx1或 (2)原命题即()|4|f xx在1,2上恒成立，等价于|24xaxx 在1,2上恒成立。等价于|2xa，等价于2|xa2，2xax 2在1,2上恒成立。故当 12x 时，2x 的最大值为2 13 ，x2的最小值为 0，故a的取值范围为 3,0。-6-/13 河南省新乡一中河南省新乡一中 2017 届届高三（上）第高三（上）第一一次月考数学（文科）次月考数学（文科）试卷试卷 解解 析析 一、选择题。1【考点】交集及其运算。【分析】确定出 A，B，找出 A 与 B 的交集即可【解答】解：由 x2+x20 解得2x1，所以 A=（2，1），由0，解得1x2，所以 B=（1，2，所以 AB=（1，1），故选：B 2【考点】复数相等的充要条件；充要条件。【分析】利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论。【解答】解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选 A 3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示。【分析】根据所给的两个向量的坐标，写出要用的+向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标表示形式，得到关于 的方程，解方程即可。【解答】解：向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）。=（1+，2）（+），4（1+）6=0，故选 B 4【考点】复合命题的真假。【分析】命题 p：f（x）=ax（a0 且 a1）的单调性与 a 的取值有关，即可判断出真假；命题 q：利用三角函数的单调性即可判断出真假。再利用复合命题真假的判定方法即可得出。【解答】解：命题 p：f（x）=ax（a0 且 a1）的单调性与 a 的取值有关，0a1 时，函数 f（x）单调递减，可知是假命题；命题 q：x（，），sinxcosx，是真命题。-7-/13 则下列命题为真命题的是：（p）q。故选：D 5【考点】复合函数的单调性；函数单调性的性质。【分析】利用函数的对称性，以及函数的单调性，根据复合函数的单调性可以判断出，外层函数是个减和，所以 a（0，1），即 a+232 由单调性可知，f（a+2）f(3)【解答】解：由函数 f（x）=loga|x1|，可知函数关于 x=1 对称，且 f（x）在（，1）上单调递增，易得0a1 2a+23 又函数在（1，+）上单调减函数，f（a+2）f(3)。故选：A 6【考点】函数的图象。【分析】先研究函数 y=g（x）cosx 的奇偶性，再根据在某点处的函数值的符号进一步进行判定。【解答】解：g（x）=2x，g（x）cosx=2xcosx，g（x）=g（x），cos（x）=cosx，y=g（x）cosx 为奇函数，排除 BD 令 x=0.10.故选：A 7【考点】任意角的三角函数的定义。【分析】由三角函数的定义可先求 sin，然后代入求解。【解答】解：角 的终边经过点 P（sin15，cos15），即 P（cos（75），sin（75）由三角函数的定义可得，cos2=cos2（75）=cos（45+30）2=。故选：B 8【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换。【分析】先对函数求导，利用诱导公式可得 y=f（x）=cos（x+），利用三角函数平移变换的规律即可得解。【解答】解：f（x）=cos（x+），函数 y=f（x）=sin（x+）=cos（x+），只需将函数 y=f（x）的图象向左平移个单位即可得到其导函数 y=f（x）的图象。故选：B 9【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性。【分析】根据题意，由 f（x3）=f（x）分析可得 f（x6）=f（x3）=f（x），则函数 f（x）是周期为 6 的函数，进而可得 f（49）=f（1+68）=f(1)，f（81）=f（3+614）=f（3），f（64）=f（2+6-8-/13 11）=f（2），进而结合函数的奇偶性可得则 f（49）=f（1+68）=f(1)，f（81）=f（3）=f(3)，f（64）=f（2）=f(2)，进而结合题意分析可得函数 f（x）在区间0，3上为增函数，进而有 f(1)f(2)f(3)，即 f（49）f（64）f（81）；即可得答案。【解答】解：根据题意，函数 f（x）满足 f（x3）=f（x），有 f（x6）=f（x3）=f（x），则函数 f（x）是周期为 6 的函数，f（49）=f（1+68）=f(1)，f（81）=f（3+614）=f（3），f（64）=f（2+611）=f（2），又由函数为偶函数，则 f（49）=f（1+68）=f(1)，f（81）=f（3）=f(3)，f（64）=f（2）=f(2)，又由对 x1，x20，3且 x1x2，都有0，则函数 f（x）在区间0，3上为增函数，进而有 f(1)f(2)f(3)，即 f（49）f（64）f（81）；故选：A 10.【考点】等比数列的性质。【分析】求出数列的前 n 项和，根据不等式之间的关系即可得到结论。【解答】解：三个数 a1，a+1，a+5 成等比数列，（a+1）2=（a1）（a+5），a=3，倒数重新排列后恰好为递增的等比数列an的前三项，为，公比为 2 数列是以 8 为首项，为公比的等比数列。则不等式 a1+a2+an+等价为 整理，得 2n27，1n7，nN+。故选：B 11在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，BH 为 AC 边上的高，BH=5，若 20a+15b+12c=，则 H 到 AB 边的距离为（）A1 B2 C3 D4 -9-/13 【考点】向量的线性运算性质及几何意义。【分析】根据便可得到，从而由平面向量基本定理便可得出，从而有 a2+b2=c2，这便说明 BCAC，从而 C 和 H 重合，这便得到 a=5，根据面积公式即可求出 H 到 AB 边的距离。【解答】解：根据条件，=；不共线；即 a2+b2=c2；如图，ACBC，H 和 C 重合，BH=5；a=5，设 H 到 AB 边的距离为 h，则：；。故选：D 12【考点】导数的运算。【分析】求出 g（x）的导数，问题等价于存在 x1，2ax33ax22bx+b=0 成立，求出=，设u（x）=（x1），根据函数的单调性求出的范围即可。【解答】解：g（x）=（ax2a）ex，g（x）=（+axa）ex，-10-/13 由 g（x）+g（x）=0，整理得 2ax33ax22bx+b=0.存在 x1，使 g（x）+g（x）=0 成立，等价于存在 x1，2ax33ax22bx+b=0 成立，a0，=，设 u（x）=（x1），则 u（x）=，x1，u（x）0 恒成立，u（x）在（1，+）上是增函数，u（x）u(1)=1，1，即的取值范围为（1，+），故选：A 二、填空题 13【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用。【分析】将 f（x）=cos2x+sinx 转化为：f（x）=（sinx）2+，结合题意即可求得其值域。【解答】解：由 f（x）=cos2x+sinx=sin2x+sinx+1=（sinx）2+，x（，），sinx（0，1，可得：sinx（，可得：（sinx）20，。f（x）=（sinx）2+1，。故答案为：1，。14【考点】利用导数研究函数的单调性。【分析】通过解 f（x）求单调区间，转化为恒成立问题求 a 的取值范围。【解答】解：f（x）=alnxx，f（x）=1 又f（x）在（1，2）上单调递增，-11-/13 10 在 x（1，2）上恒成立，axmax=2，a2，+）。故答案为：2，+）15【考点】利用导数研究函数的极值；数列递推式。【分析】由已知可得 x=1 为导函数 f（x）=2x2+anx3an1的零点，即 an=3an1+2，进而可得数列an+1是一个以 2 为首项，以 3 为公比的等比数列，进而得到答案。【解答】解：函数 f（x）=x3+x23an1x+4 在 x=1 处取得极值，x=1 为导函数 f（x）=2x2+anx3an1的零点，即 an=3an1+2，即 an+1=3（an1+1），a1=1，a1+1=2，数列an+1是一个以 2 为首项，以 3 为公比的等比数列，故 an+1=23n1，故 an=23n11，故答案为：23n11 16【考点】正弦定理。【分析】作出图象，设出未知量，在ABM 中，由正弦定理可得 sinAMB=，进而可得 cos=sinAMB，在 RTACM 中，还可得 cos=，再由勾股定理可得 c=，继而解得 b 的值【解答】解：如图 设 AC=b，AB=c，CM=MB=1，MAC=，在ABM 中，由正弦定理可得=3 解得 sinAMB=，故 cos=cos（AMC）=sinAMC=sin（AMB）=sinAMB=，而在 RTACM 中，cos=，故可得=，-12-/13 再由勾股定理可得 a2+b2=c2，即 c=，故 9b2=（1+b2）（4+b2），解得 b=，故答案为：。三、解答题 17【考点】数列的求和；数列递推式。【分析】(1)利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；(2)利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前 n 项和公式即可求解数列的和。18【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法。【分析】(1)从这 40 名学生中按照分层抽样的方式抽取 10 名学生，能求出各大学抽取的人数。(2)设乙中 3 人为1a，2a，3a，丁中 3 人为1b，2b，3b，利用列举法能求出这 2 名同学来自同一所大学的概率。19【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定。【分析】（）设 BD 与 AC 的交点为 O，连结 EO，通过直线与平面平行的判定定理证明 PB平面 AEC；（）通过 AP=1，AD=，三棱锥 PABD 的体积 V=，求出 AB，作 AHPB 角 PB 于 H，说明 AH就是 A 到平面 PBC 的距离。通过解三角形求解即可。20.【考点】椭圆的简单性质。【分析】(1)由椭圆的离心率得到 a，b 的关系，再由的最小值为2 求得 a 的值，则 b 可求，椭圆方程可求；(2)由(1)知 F1（，0），F2（，0），则斜率不存在时，用坐标分别表示出，直接求得；直线斜率存在时，设直线 MN 的方程为 y=k（x+），代入椭圆方程，消去 y 得（1+2k2）x2+4k2x+4（k21）=0.利用根与系数的关系求得 M，N 的横纵坐标的积，把转化为 M，N 的横坐标的和与积的形式，代入后化为关于 k 的函数式得答案。21【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值。【分析】(1)求出函数的导数，分离参数 a，根据函数的单调性求出 a 的最小值即可；(2)分离 a，根据函数的单调性求出 a 的范围即可。-13-/13 选做题 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 22【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系。【分析】（）联想三角函数的平方关系可取 x=2cos、y=3sin 得曲线 C 的参数方程，直接消掉参数 t 得直线 l 的普通方程；（）设曲线 C 上任意一点 P（2cos，3sin）。由点到直线的距离公式得到 P 到直线 l 的距离，除以 sin30 进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值。选修 4-5：不等式选讲 23【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数。【分析】(1)不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求。(2)原命题等价于2xa2x 在1，2上恒成立，由此求得求 a 的取值范围。