【湖南省长沙一中】2017届高三上学年期月考数学年试题(文科)(五)-.pdf

1/15 湖南省长沙市湖南省长沙市 2017 届高三上学期期末考试（理科）数学试卷届高三上学期期末考试（理科）数学试卷 答答 案案 15BBAAA 610DACCA 1112DD 13 14146 154sin 162 17解：（1）设等差数列 na的公差为d，由23528,3aaaa 可得111238,43adadad，解得11,2,ad 则1112121naandnn ；（2）1ca，1b11a，2ca，223ba，则等比数列 nc的公比为 3，则nc=1113nnc q，又nc=a nb=2nb1，则nb=11312n，设 nb的前n项和为nS，则nS=111332nn（）=1 1 32 13nnn =3214nn 18解：（1）走路线20 分钟到校，意味着张老师在 A、B 处均遇到绿灯，张老师选择路线，他 20 分钟能到校的概率121233p （2）设选择延误时间为随机变量，则 的所有可能取值为 0，2，3，5，则0P=121233，2P=121233，2/15 3P=111236，4P=111236，E1111023523366 设选择路线延误时间为随机变量，则的可能取值为 0，8，5，13，0P=3264520，8P=1224520，5P=3394520，13P=1334520，E=62930851320202020 =5 选择路线平均所花时间为 20+2=22 分钟选择路线平均所花时间为 15+5=20 分钟 为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线 19证明：（1）设 AB 的中点为 F，连结 DF，CF，ABC，ABD 均为等边三角形，DFAB，CFAB，DFCF=F，AB平面 CFD，平面 ABC平面 ABD，DFAB，DF平面 ABC，EC平面 ABC，DFCE，E平面 DFC，DE平面 DFC，DEAB 解：（2）如图，以 F 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则1,0,0B，30,3,2E，0,0,3D，1,0,0A-，AB=（2，0，0），BE=31,32（-,），BD=10,3-,，设平面 ABE 的法向量,nx y z，平面 DBE 的法向量na b c,则203302n ABxn BExyz ，取1y，得0,1,2,n 330230m BEabcm BDac ，取3a，得13,12n 3/15 设二面角 DBEA 的平面角为,则cosm nm n=3 8585，二面角 DBEA 的余弦值为3 8585 20证明：（1）设 AE 切圆于 M，直线 x=4 与 x 轴的交点为 N，则 EM=EB，2222224EAEBAMAPPMAPPBANBN为定值；（2）同理|FA|+|FB|=4，E，F 均在椭圆22143xy上，设直线 EF 的方程为10 xmym，令34,Qxym，直线与椭圆方程联立得2234690mymy，设1122,E x yF x y,则122634myym，122934y ym E，B，F，Q 在同一条直线上，EB FQBF EQ等价于11221233yy yyy ymm，121232y yyym，代入122634myym，122934y ym 成立，EB FQBF EQ 21解：（1）exaf xx,的定义域为,00,-，2exafxx（），0a，2exafxx（）0 恒成立，4/15 f x在,00,-上单调递增，（2）由（1）可知，当0a 时，f x在,00,-上单调递增，函数无极值点，当0a 时，f x在0,上存在极值点，2()exafxx=22exxax 设 2exg xxa，则 e20 xg xxx在0,上恒成立，g x在0,上单调递增，g x 0g0a，设极值点为0 x，则极值为000e,xaf xx，由0g x=0，得020exax 000e=xaf xx020exx 令 1 exh xx，2 exh xx，h x在0,上单调递增，而000e=xaf xx001 exx ln2ln422 ln2 1ln2 1 e，0ln2x，令 2exxx，0ln2x 时，2e2xxxx0，x单调递减，2ln22ln22lne2a 5/15 a的取值范围为2,2ln 2 22解：（1）曲线1C的参数方程为2cos4sinxy，消去参数，得普通方程22241xy；曲线2C的方程为cossin10m，直角坐标方程为10 xmy；（2）P点是1C上到x轴距离最小的点，可得2,3P，当2C过点P时，代入求得1m 23解：（1）当1a 时，13|f xxx 3|12xx f x的最小值为 2，当且仅当13x时取得最小值（2）xR时，恒有 333|xaxxaxa，不等式 3f x 的解集非空，|33|a，06a 6/15 湖南省长沙市湖南省长沙市 2017 届高三上学期期末考试（理科）数学试卷届高三上学期期末考试（理科）数学试卷 解解 析析 1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求【解答解：=，在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第二象限 故选：B 2【考点】交集及其运算【分析】分别令 a=1、2、3，求出 B 中方程对应的解，即可得出 AB时 a 的取值【解答】解：a=1 时，B 中方程为 x23x+1=0，其解为无理数，AB=；a=2 时，B 中方程为 x23x+2=0，其解为 1 和 2，AB=1，2；a=3 时，B 中方程为 x23x+3=0，无解，AB=；综上，a 的值为 2 故选：B 3【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据函数 y=Asin（x+）的图象变换规律即可得解【解答】解：将函数 y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为 y=sin2（x+）+=sin（2x+）=sin（2x+）故选：A 4【考点】等差数列的性质【分析】自上而下依次设各节容积为：a1、a2、a9，由题意列出方程组，利用等差数列的性质化简后可得答案【解答】解：自上而下依次设各节容积为：a1、a2、a9，由题意得，即，得，所以 a2+a3+a8=（升），故选：A 7/15 5【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知中三视图，可得该几何体是一个半径为 1 的半球，进而可得答案【解答】解：由已知中三视图，可得该几何体是一个半径为 1 的半球，其表面积 S=3，故选：A 6【考点】二项式系数的性质【分析】利用通项公式即可得出【解答】解Tr+1=（1）rx123r，故 x 的次数分别为：12，9，6，3，0，3，6，因此不含 x 项 故选：D 7【考点】抛物线的简单性质【分析】当|AF|=4 时，OFA=120，结合抛物线的定义可求得 p，进而根据抛物线的性质求得抛物线的准线方程【解答】解：由题意BFA=OFA90=30，过 A 作准线的垂线 AC，过 F 作 AC 的垂线，垂足分别为 C，B如图，A 点到准线的距离为：d=|AB|+|BC|=p+2=4，解得 p=2，则抛物线的准线方程是 x=1 故选 A 8【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图结合程序框图的功能即可得解【解答】解：由于程序框图的功能是给定正整数 N，求最小的正整数 i，使得 7iN，故 xN 时，执行循环体，当 xN 时，退出循环 故选：C 9【考点】正弦定理 8/15 【分析】设ABC 的外接圆半径为 R，由已知及正弦定理可求 BC=2RsinA=2sinA，AC=2RsinB=2sin（A），进而利用三角函数恒等变换的应用化简可得周长=2sin（A+）+3，即可得解【解答】解：设ABC 的外接圆半径为 R，则 2R=2，所以：BC=2RsinA=2sinA，AC=2RsinB=2sin（A），所以：ABC 的周长=2（sinA+sin（A）+3=2sin（A+）+3 故选：C 10【考点】函数的图象【分析】先判断函数为偶函数，再根据函数的单调性即可判断【解答】解：令 y=f（x）=ln|x|x2，其定义域为（，0）（0，+），因为 f（x）=ln|x|x2=f（x），所以函数 y=ln|x|x2为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故排除 B，D，当 x0 时，f（x）=lnxx2，所以 f（x）=2x=，当 x（0，）时，f（x）0，函数 f（x）递增，当 x（，+）时，f（x）0，函数 f（x）递减，故排除 C，方法二：当 x+时，函数 y0，故排除 C，故选：A 11【考点】双曲线的简单性质【分析】依题意，当且仅当 Q、P、F2三点共线，且 P 在 F2，Q 之间时，|PF2|+|PQ|最小，且最小值为 F2到 l 的距离，从而可求得|PF1|+|PQ|的最小值【解答】解：设右焦点分别为 F2，|PF1|PF2|=2，|PF1|=|PF2|+2，|PF1|+|PQ|=|PF2|+2+|PQ|，当且仅当 Q、P、F2三点共线，且 P 在 F2，Q 之间时，|PF2|+|PQ|最小，且最小值为 F2到 l 的距离，可得 l 的方程为 y=x，F2（），F2到 l 的距离 d=1|PQ|+|PF1|的最小值为 2+1 故选 D 12【考点】函数零点的判定定理 9/15 【分析】由题意可得=b24ac0，于是 c，从而=1+（）2，运用换元法和二次函数的最值的求法，结合恒成立问题的解法，即可得到所求范围【解答】解：由满足 0b3a 的任意实数 a，b，函数 f（x）=ax2+bx+c 总有两个不同的零点，可得=b24ac0，于是 c，从而=1+（）2，对任意满足 0b3a 的任意实数 a，b 恒成立 令 t=，由 0b3a，可得 0t3，则t2+t+1=（t2）2+2，当 t=2 时，取得最大值 2，则t2+t+1（1，2 故2 故选：D 13【考点】定积分【分析】首先求出被积函数的原函数，代入积分上限和下限计算即可【解答】解：原式=（x+sinx）|=；故答案为：14【考点】茎叶图【分析】根据该样本中 AQI 大于 100 的频数求出频率，由此估计该地全年 AQI 大于 100 的频率与频数【解答】解：该样本中 AQI 大于 100 的频数是 4，频率为，由此估计该地全年 AQI 大于 100 的频率为，估计此地该年 AQI 大于 100 的天数约为 365=146（天）故答案为：146 15【考点】三角函数的化简求值【分析】直接由三角函数的诱导公式化简计算得答案 10/15 【解答】解：=4sin，故答案为：4sin 16【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】根据，得出=1，利用基本不等式得出 3x+2y 的最大值【解答】解：，=9x2+4y2+2xy32（）=（3x+2y）233x2y（3x+2y）2（3x+2y）2=（3x+2y）2；又=1，即（3x+2y）21，所以 3x+2y2，当且仅当 3x=2y，即 x=，y=时，3x+2y 取得最大值 2 故答案为：2 17【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）设等差数列 na的公差为d，由等差数列的通项公式，可得方程组，解得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得等比数列 nc的公比，求得nb=11312n，运用数列求和方法：分组求和，化简整理，即可得到所求和【解答】解：（1）设等差数列 na的公差为d，由23528,3aaaa 可得111238,43adadad，解得11,2,ad 则1112121naandnn ；（2）1ca 1b11a 2ca 223ba，则等比数列 nc的公比为 3，11/15 则nc=1113nnc q，又nc=a nb=2nb1，则nb=11312n，设 nb的前n 项和为nS，则nS=111 332nn（）=1 1 32 13nnn =3214nn 18【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）走路线20 分钟到校，意味着张老师在 A、B 处均遇到绿灯，由此能求出张老师选择路线，他 20 分钟能到校的概率（2）设选择延误时间为随机变量，则的所有可能取值为 0，2，3，5，分别求出相应的概率，从而求出 E=2；设选择路线延误时间为随机变量，则的可能取值为 0，8，5，13，分别求出相应的概率，从而求出E=5由此求出为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线【解答】解：（1）走路线20 分钟到校，意味着张老师在 A、B 处均遇到绿灯，张老师选择路线，他 20 分钟能到校的概率121233p （2）设选择 khxg延误时间为随机变量，则 的所有可能取值为 0，2，3，5，则0P=121233，2P=121233，3P=111236，4P=111236，E1111023523366 设选择路线延误时间为随机变量，则的可能取值为 0，8，5，13，0P=3264520，8P=1224520，5P=3394520，12/15 13P=1334520，E=62930851320202020 =5 选择路线平均所花时间为 20+2=22 分钟；选择路线平均所花时间为 15+5=20 分钟 为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线 19【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）设 AB 的中点为 F，连结 DF，CF，则 DFAB，CFAB，从而 AB平面 CFD，推导出DFAB，从而 DF平面 ABC，由 DF/CE，能证明 DEAB（2）以 F 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 DBEA 的余弦值【解答】证明：（1）设 AB 的中点为 F，连结 DF，CF，ABC，ABD 均为等边三角形，DFAB，CFAB，DFCF=F，AB平面 CFD，平面 ABC平面 ABD，DFAB，DF平面 ABC，EC平面 ABC，DF/CE，E平面 DFC，DE平面 DFC，DEAB 解：（2）如图，以 F 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则1,0,0B，30,3,2E，0,0,3D，1,0,0A-，AB=（2，0，0），BE=31,32（-,），BD=10,3-,，设平面 ABE 的法向量,nx y z，平面 DBE 的法向量na b c,则203302nABxnBExyz ，取1y，得0,1,2,n 330230mBEabcmBDac ，取3a，得13,12n 设二面角 DBEA 的平面角为,则cosm nmn=3 8585，二面角 DBEA 的余弦值为3 8585 13/15 20【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）设 AE 切圆于 M，直线 x=4 与 x 轴的交点为 N，则 EM=EB，可得2222224EAEBAMAPPMAPPBANBN （2）确定 E，F 均在椭圆22143xy 上，设直线 EF 的方程为10 xmym，联立，E，B，F，Q 在同一条直线上，EBFQBF EQ等价于11221233yy yyy ymm，利用韦达定理，即可证明结论【解答】证明：（1）设 AE 切圆于 M，直线 x=4 与 x 轴的交点为 N，则 EM=EB，2222224EAEBAMAPPMAPPBANBN为定值；（2）同理|FA|+|FB|=4，E，F 均在椭圆22143xy上，设直线 EF 的方程为10 xmym，令34,Qxym，直线与椭圆方程联立得2234690mymy，设1122,E x yF x y,则122634myym，122934y ym E，B，F，Q 在同一条直线上，EBFQBF EQ等价于11221233yy yyy ymm，121232y yyym，代入122634myym，122934y ym 成立，EBFQBF EQ 21【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出答案，14/15 （2）设极值点为0 x，则极值为000e,xaf xx多次构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可求出a的取值范围【解答】解：（1）exaf xx,的定义域为,00,-，2exafxx（），0a，2exafxx（）0 恒成立，f x在,00,-上单调递增，（2）由（1）可知，当0a a0 时，f x在,00,-上单调递增，函数无极值点，当0a 时，f x在0,上存在极值点，2exafxx（）=22exxax 设 2exg xxa，则 e20 xg xxx在0,上恒成立，g x在0,上单调递增，g x 0g0a，设极值点为0 x，则极值为000e,xaf xx，由0g x=0，得020exax 000e=xaf xx020exx 令 1 exh xx，2 exh xx，h x在0,上单调递增，15/15 而000e=xaf xx001 exx ln2ln422 ln2 1ln2 1 e，0ln2x，令 2exxx，0ln2x 时吗，2e2xxxx0，x单调递减，2ln22ln22ln 2ae a的取值范围为2,2ln 2 22【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）利用参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化方法求曲线 C1，C2的直角坐标方程；（2）设 P 点是 C1上到 x 轴距离最小的点，可得 P（2，3），当 C2过点 P 时，代入求 m 的值【解答】解：（1）曲线 C1的参数方程为2cos4sinxy，消去参数，得普通方程22241xy；曲线 C2的方程为cossin10m，直角坐标方程为10 xmy；（2）P 点是 C1上到x 轴距离最小的点，可得2,3P，当 C2过点 P 时，代入求得1m 23【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（1）当1a 时，13|f xxx 3|12xx，即可求 f x的最小值；（2）xR时，恒有 333|xaxxaxa，不等式 3f x 的解集非空，|33|a，即可求a 的取值范围【解答】解：（1）当1a 时，13|f xxx 3|12xx f x的最小值为 2，当且仅当13x时取得最小值（2）xR时，恒有 333|xaxxaxa，不等式 3f x 的解集非空，|33|a，06a