2015年高考理科数学全国卷2-答案.pdf

1/12 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷 2)理科数学答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】A【解析】由已知得|21Bxx，故,1 0ABI，故选 A【提示】解一元二次不等式，求出集合 B，然后进行交集的运算即可【考点】集合的交集运算和一元二次方程求根 2.【答案】B【解析】由已知得24+(4)i4ia ，所以40a，244a，解得0a，故选 B【提示】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之【考点】复数的四则运算 3.【答案】D【解析】解：A从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故 A 正确；B20042006 年二氧化硫排放量越来越多，从 2007 年开始二氧化硫排放量变少，故 B 正确；C从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故 C 正确；D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故 D 错误 故选：D【提示】A从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量减少的最多，故 A 正确；B从 2007 年开始二氧化硫排放量变少，故 B 正确；C从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故 C 正确；D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故 D 错误【考点】柱形图信息的获得 4.【答案】B【解析】设等比数列公比为q，则24111+21aa qa q，又因为13a，所以42+60qq，解得22q，所以2357135+(+)42aaaaaa q，故选 B【提示】由已知，13a，135+21aaa，利用等比数列的通项公式可求 q，然后在代入等比数列通项公式 2/12 即可求【考点】等比数列通项公式和性质 5.【答案】C【解 析】由 已 知 得2(2)1+log 43f，又2l o g 1 21，所 以22log 12 1log 62(log 12)226f，故2(2)+(l o g 1 2)9ff【提示】先求2(2)1+log(2+2)1+23f，再由对数恒等式，求得2(log 12)6f，进而得到所求和【考点】函数定义域以及指数对数的运算 6.【答案】D【解析】由三视图得，在正方体1111ABCDABC D中，截去四面体111AABD，如图所示，设正方体棱长为a，则1 1133111326A A B DVaa，故剩余几何体积为3331566aaa，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15故选 D 【提示】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可【考点】几何图形的三视图 7.【答案】C【解析】由已知得321143ABk，2+734 1CBk，所以1ABCBkk，所以ABCB，即ABC为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)，半径为 5，所以外接圆方程为22(1)+(+2)25xy，令0 x，得2 62y ，所以|4 6MN，故选 C【提示】设圆的方程为22+0 xy Dx Ey F，代入点的坐标，求出 D，E，F，令0 x，即可得出结论【考点】直线与圆的相交，距离的计算 8.【答案】B【解析】程序在执行过程中，a，b的值依次为14a，18b；4b；10a=；6a=；2a；2b，此时 3/12 2ab程序结束，输出 a 的值为 2，故选 B【提示】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的 a，b 的值，即可得到结论【考点】程序框图 9.【答案】C【解析】如图所示，当点 C 位于垂直面 AOB 的直径端点时，三棱锥OABC体积最大，设球O的半径为R，此时23-11136326O ABCC ABCVVRRR，故 R6，则球O的表面积为：24144SR，选 C 【提示】当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，利用三棱锥OABC体积的最大值为 36，求出半径，即可求出球 O 的表面积【考点】球面的表面积和锥体的体积 10.【答案】B【解析】由已知得，当点 P 在 BC 边上运动时，即04x时，PAPB2tan+4+tanxx；当点 P 在 CD 边上运动时，即344x，2x 时，22111+1+1+1tantan+PA PxxB，当2x 时，2 2+PA PB；当点 P 在 AD 边上运动时，34x时，PAPB2tan+4tan+PxA PxB，从点 P 的运动过程可以看出轨迹关于直线2x 对称，且42ff，且轨迹非线型，故选 B【提示】根据函数图像关系，利用排除法进行求解即可【考点】动点的函数图像 11.【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(00)xyabab，如图所示，|ABBM，120ABM，过点 M 作MNx轴，垂足为 N，在RtBMN中，|BNa，|3MNa，故点 M 的坐标为(2,3)Maa，代入双曲线方程得2222abca，即222ca，所以2e，故选 D 4/12 【提示】设 M 在双曲线22221xyab的左支上，由题意可得 M 的坐标为(2,3)Maa，代入双曲线方程可得ab，再由离心率公式即可得到所求值【考点】双曲线离心率 12.【答案】A【解析】记函数()()f xg xx，则2()()()xfxf xg xx，因为当0 x 时，()()0 xfxf x，故当0 x 时，()0g x，所以()g x在(,+)0单调递减，又因为函数()f x()xR是奇函数，故函数()g x是偶函数，所以()g x在(,0)单调递增，且(1)(1)0gg 当01x时，()0g x，则()0f x；当1x时，()0g x，则()0f x，综上所述，使得()0f x 成立的x的取值范围是(,1)(0,1)U，故选 A【提示】由已知当0 x 时总有()()0 xfxf x成立，可判断函数()()f xg xx为减函数，由已知()f x是定义在 R 上的奇函数，可证明()g x为(,0)(0,+)U上的偶函数，根据函数()g x在(0,+)上的单调性和奇偶性，模拟()g x的图像，而不等式()0f x 等价于()0 x g x，数形结合解不等式组即可【考点】奇函数，导数，定义域的求解 第卷 二、填空题 13.【答案】12【解析】因为向量+a b与+2ab平行，所以+(+2)a bk ab，则12kk，所以12【提示】利用向量平行即共线的条件，得到向量+a b与+2ab之间的关系，利用向量相等解析【考点】平面向量的基本定理 14.【答案】32【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为+yx z，当z取最大时，直线+yx z的纵截距最大，5/12 故将直线尽可能地向上平移到11,2D，则+zx y的最大值为32 【提示】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在 y 轴的截距最大值【考点】线性规划问题的最值求解 15.【答案】3【解析】由已知得4234(1+)1+4+6+4+xxxxx，故4(+)(1+)a xx的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax，34ax，x，36x，5x，其系数之和为4+4+1+6+1 32aa=，解得3a 【提示】给展开式中的 x 分别赋值 1，1，可得两个等式，两式相减，再除以 2 得到答案【考点】排列组合 16.【答案】1n【解析】由已知得111nnnnnaSSSS，两边同时除以+1nnSS，得+1111nnSS，故数列1nS是以1为首项，1为公差的等差数列，则11(1)nnnS ，所以1nSn 【提示】通过111nnnnnaSSSS，并变形可得数列1nS是以首项和公差均为1的等差数列，进而可得结论【考点】数列的求和运算 三、解答题 17.【答案】（）12（）2BD 1AC 【解析】（）1sin2ABDSAB ADBAD，1sin2ADCSAC ADCAD 6/12 因为2ABDADCSS，BADCAD，所以2ABAC 由正弦定理得：sin1sin2BACCAB（）因为:ABDADCSSBD DC所以2BD 在ABD和ADC，由余弦定理知：222+2cosABADBDAD BDADB，222+2cosACADDCAD DCADC，故22222+23+26ABACADBDDC 由（）知2ABAC，所以1AC 【提示】（）过 A 作AEBC于 E，由已知及面积公式可得2BDDC，由 AD 平分BAC及正弦定理可得sinsinADBADBBD，sinsinADDACCDC，从而得解sinsinBC（）由（）可求2BD 过D作DMAB于M，作D NA C于N，由AD平分BAC，可求2ABAC，利用余弦定理即可解得 BD 和 AC 的长【考点】正弦定理，余弦定理 18.【答案】（）见解析（）0.48【解析】（）两地区用户满意度评分的茎叶图如下：通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散（）记1AC表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或不满意”；记2AC表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”；记1BC表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意”；记2BC表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”7/12 则1AC与1BC独立，2AC与2BC独立，1BC与2BC互斥，1122BABACC CC CU，112211221122()()()+()()()+()()BABABABABABAP CP C CC CP C CP C CP CP CP CP CU 由所给数据的1AC，2AC，1BC，2BC发生的概率分别为1620，420，1020，820，故116()20AP C，24()20AP C，110()20BP C，28()20BP C，101684()+202020200.48P C.【提示】（）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；（）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可【考点】茎叶图，古典概型的相关运算 19.【答案】（）见如图（）4 515【解析】（）交线围成的正方形EHGF如图：（）作EMAB，垂足为M，则14AMAE，18EMAA.因为EHGF为正方形，所以10EHEFBC 于是226MHEHEM，所以10AH.以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图示空间直角坐标系Dxyz，则(10,0,0)A，(10,10,0)H，(10,4,8)E，(0,4,8)F(0,6,8)HE，(10,0,0)FE 设(,)nx y z是平面EHGF的法向量，则00n FEn HE，即1006+80 xyz，所以可取(0,4,3)n 又(10,4,8)AF故|4 5sin|cos,|=15|n AFn AFnAF 所以AF与平面EHGF所成的角的正弦值为4 515 8/12 【提示】（）容易知道所围成正方形的边长为 10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（）分别以直线 DA，DC，DD1为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定 A，H，E，F 几点的坐标设平面 EFGH 的法向量为(,)nx y z，根据00n FEn HE即可求出法向量nr，AF坐标可以求出，可设直线 AF 与平面 EFGH 所成角为，由sin|cos,|n AF即可求得直线 AF 与平面 所成角的正弦值【考点】线面平行、相交，线面夹角的求解 20.【答案】（）见解析（）能 47或4+7【解析】（）设直线l：+(00)ykx b kb，11(,)A x y，22(,)B xy(,)MMM xy 将+ykx b代入2229+xym得2222(+9)+2+0kxkbx bm 故122+2+9Mxxkbxk，29+9MMbykxbk，于是直线OM的斜率9MOMMykxk，9OMkk 所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值（）四边形OAPB能为平行四边形 因为直线l过点,3mm，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是0k，3k 由（）得OM的方程为9yxk 设点P的横坐标为Px 由22299+yxkxym 得22229+81Pk mxk，即23+9Pkmxk 将点,3mm的坐标代入l的方程得(3)3mkb，因此233+9Mk kmxk（）四边形OAPB为平行四边形且当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即2PMxx，9/12 于是22323+93+9k kmkmkk（），解得147k，24+7k 因为0ik，3ik，12i ，所以当l的斜率为47或4+7时，四边形OAPB为平行四边形【提示】（）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论（）四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即2PMxx，建立方程关系即可得到结论【考点】直线的点斜式方程，平行四边形的判定 21.【答案】（）见解析（）(1,1)【解析】（）因为2()emxf xxmx，所以()e2mxfxmxm，2()e+20mxfxm在R上恒成立，所以()e2mxfxmxm在R上单调递增，而(0)0f，所以0 x 时，()0fx；所以0 x 时，()0fx 所以()f x在(,0)单调递减，在(0,)单调递增（）由（）知min()(0)1f xf，当0m 时，2()1+f xx，此时()f x在1,1上的最大值是 2.所以此时12()()|e 1f xf x|成立 当0m 时，(1)e+1+mfm，(1)e+1mfm，令()(1)(1)ee2mmg mffm在R上单调递增，而(0)0g，所以0m 时，()0g m，即(1)(1)ff，0m 时，()0g m，即(1)(1)ff 当0m 时，12|()()|(1)1ee 101mf xf xfmm ，10/12 当0m 时，12|()()|(1)1e+e()e 110mmf xf xfmmm 所以，综上所述m的取值范围是(1,1)【提示】（）利用()0fx说明函数为增函数，利用()0fx说明函数为减函数注意参数 m 的讨论；（）由（）知，对任意的 m，()f x在1,0单调递减，在0,1单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题从而求得 m 的取值范围【考点】导数的运算，单调性的判别，分类讨论，运算求解能力 22.【答案】（）见解析（）16 33【解析】（）由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以 AD 是CAB的平分线 又因为O分别与 AB，AC 相切于点 E，F，故ADEF 所以EFBC（）由（）知，AEAF，ADEF，故 AD 是 EF 的垂直平分线，又 EF 为O的弦，所以 O 在 AD 上 连接 OE，OM，则OEAE 由 AG 等于O的半径的2AOOE，所以30OAE，因此ABC 和AEF 都是等边三角形 因为32AE，所以4AO，2OE 因为2OEOM，132DMMN 所以1OD.于是5AD，10 33AB 所以四边形 EBCF 的面积为22110 331316 32 3232223（）11/12 【提示】（）通过 AD 是CAB的角平分线及圆 O 分别与 ABAC 相切于点 E、F，利用相似的性质即得结论；（）通过（）知 AD 是 EF 的垂直平分线，连结 OE、OM，则OEAE，利用ABCAEFSS计算即可【考点】等腰三角形，线线平行的判别，运算求解能力，面积的求解 23.【答案】（）(0,0)3 3,22（）4【解析】（）曲线2C的直角坐标方程为2220 xyy，曲线3C的直角坐标方程为22+2 30 xyx 联立2222+20+2 30 xyyxyx，解得00 xy或3232xy 所以2C与3C交点的直角坐标为(0,0)和3 3,22（）曲线1C的极坐标方程为(0)R，其中0 因此 A 的极坐标为(2sin,)，B 的极坐标为(2 3cos,)所以|2sin2 3cos|4 sin3AB 当56时，|AB取得最大值，最大值为 4.【提示】（）由曲线 C2：2sin，化为22 sin，把222s n+ixyy代入可得直角坐标方程 同理，由 C3：2 3cos，可得直角坐标方程，联立解出可得 C2与 C3交点的直角坐标（）由曲线1C的参数方程，消去参数 t，化为普通方程：tanyx，其中0，其极坐标方程为：(0)R，利用|2sin2 3cos|AB即可得出【考点】极坐标与参数方程，求解交点坐标，最大值的求解 24.【答案】（）见解析（）见解析 12/12 【解析】（）因为2(+)+2aba bab，2(+)+2cdc dcd 由题设+a bc d，abcd得22(+)(+)abcd 因此+abcd（）()若|abcd则22()()abcd，即22(+)4(+)4a babc dcd 因为+a bc d，所以abcd由（）得+abcd()若+abcd，则22(+)(+)abcd，即2+2+2a babc dcd 因为+a bc d，所以abcd，于是 2222()(+)4(+)4()aba babc dcdcd 因此|abcd 综上，+abcd是|abcd的充要条件【提示】（）运用不等式的性质，结合条件 a，b，c，d 均为正数，且+a bc d，abcd，即可得证；（）从两方面证，若+abcd，证得|abcd，若|abcd，证得+abcd，注意运用不等式的性质，即可得证【考点】不等式的证明和判定，充分、必要条件