2016年高考理科数学北京卷-答案.pdf

1/9 2016 年普通高等学校全国统一考试（北京卷）数学（文）答案解析 第一部分 一、选择题 1.【答案】C【解析】由题意得，(2,3)AB，故选 C.【提示】对连续的数集间的运算，常利用数轴.【考点】集合的交集运算.2.【答案】A【解析】12i(12i)(2i)2i4i2i2i(2i)(2i5)，故选 A.【提示】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.【考点】复数运算.3.【答案】B【解析】分析程序框图可知，程序的功能等价于输出33129s，故选 B.【提示】解决循环结构的框图问题，要先找出控制循环的变量的初值、步长、终值（或控制循环的条件），然后看循环体，循环次数比较少时，可依次列出，循环次数较多时，可先循环几次，找出规律，要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误.【考点】程序框图.4.【答案】D【解析】由122xxy在R上单调递减可知 D 符合题意，故选 D.【提示】函数单调性的判断常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法.奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.【考点】函数单调性.5.【答案】C【解析】圆心坐标为（1，0），由点到直线的距离公式可知|103|22d，故选 C.【提示】运用点到直线的距离公式可求出.2/9 【考点】直线与圆的位置关系.6.【答案】B【解析】5 名学生为甲、乙、丙、丁、戊，从中任选 2 人的所有情况有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共432 1 10 种.其中甲被选中的情况有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），共 4 种，故甲被选中的概率为42105.【提示】如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来，然后再求出事件 A 中的基本事件数，利用公式()mP An求出事件 A 的概率.如果基本事件个数比较多，也可借助两个计数原理及排列、组合知识直接计算 m，n，再运用公式求概率.【考点】古典概型.7.【答案】C【解析】由题意得，线段 AB 的方程：5 11(4)2924yxyx ，24x，22(29)494 497xyxxx ，当4x 时等号成立，即2xy的最大值为 7，故选 C.【提示】对于二元函数的值域问题，其解法要针对具体题目的条件而定，将二元函数化为一元函数求值域.【考点】函数最值.8.【答案】B【解析】将确定的 30 秒跳绳成绩按从大到小的顺序排列，分别是 3，6，7，10，1、5 并列，4，其中，3，6，7 号进入立定跳远的决赛，此时可确定 3，6，7 号进入 30 秒跳绳比赛决赛的名单，现还需 3 个编号为18 的同学进入决赛，而 1、5 并列，2 与 8 的成绩仅相隔 1，故只能 1，5 进入 30 秒跳绳的决赛，故选 B.【提示】根据表格中数据分析排名的多种可能性，列举的关键是要有序（有规律），从而确保不重不漏，另外注意条件中数据的特征.【考点】统计.第二部分 二、填空题 9.【答案】6【解析】两向量夹角为2 33cos,2 22a ba ba b，又两个向量夹角范围是0,，所以夹角为6.【提示】由向量数量积的定义cosa ba b（为ab，的夹角）可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.3/9 【考点】向量数量积与夹角公式.10.【答案】2【解析】1()11 121f xx ，即最大值为 2.【提示】本题是求解函数的最大值，用到了求函数值域中的分离常数法和图象法.【考点】函数最值，数形结合.11.【答案】32【解析】四棱柱的高为 1，底面为等腰梯形，面积为13(12)122，因此体积为32.【提示】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.【考点】三视图.12.【答案】1 2【解析】依题意有52cba，结合222cab，解得12ab，.【提示】利用所给条件得5c，2ba，222abc，然后解方程即可.【考点】双曲线的基本概念.13.【答案】1【解析】由正弦定理知sin3sinCAac，所以2sin13sinC23，则6C，所以2366B，所以bc，即1bc.【提示】由正弦定理列出关于 b、c 的方程，再将方程转化为以bc为变元的方程求解.【考点】正弦定理.14.【答案】16 29【解析】设第一天售出的商品种类构成集合 A，第二天售出的商品种类构成集合 B，第三天售出的商品种类构成集合 C，关系如图.4/9 第一天售出但第二天未售出的共 16 种.若这三天售出的商品种类最少，只需令第三天售出且未在第二天售出的 14 种商品全在第一天售出的且未在第二天售出的 16 种商品中，此时共有1636429 种.【提示】分析商品出售的所有可能的情况，分类讨论时要做到不重复、不遗漏，另外，注意数形结合思想的运用.【考点】统计分析.三、解答题 15.【答案】（）21(1,2,3nann)（）2312nn.【解析】（）等比数列 nb的公比32933bqb，所以211bbq，4327bb q.设等差数列na的公差为 d.因为111ab，14427ab，所以1 1327d，即2d.所以21(1,2,3nann)（）由（）知，21nan，13nnb.因此121 3nnnncabn.从而数列 nc的前 n 项和 11 3(21)1 33nnSn (121)1 321 3nnn 2312nn【提示】（）求出等比数列 nb的公比，再求出114aa，的值，根据等差数列的通项公式求解；（）根据等差数列和等比数列的前 n 项和公式求数列 nc的前 n 项和.【考点】等差、等比数列的通项公式和前 n 项和公式.16.【答案】（）1 5/9 （）3,()88kkkZ【解析】（）因为()2sincoscos2f xxxx sin2cos2xx 2sin 24x，所以()f x的最小正周期22T.依题意，解得1.（）由（）知()2sin 24f xx.函数sinyx的单调递增区间为2,2()22kkkZ.由2 22 242kxk，得388kxk.所以()f x的单调递增区间为3,()88kkkZ.【提示】（）运用两角和的正弦公式对()f x化简整理，由周期公式求的值；（）根据函数sinyx的单调递增区间对应求解即可.【考点】两角和的正弦公式，周期公式，三角函数的单调性.17.【答案】（）3（）10.5 元.【解析】（）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间0.5 1，(11.5，(1.5 2，(22.5，(2.5 3，内的频率依次为 0.1，0.15，0.2，0.25，0.15.所以该月用水量不超过 3 立方米的居民占 85%，用水量不超过 2 立方米的居民占 45%.依题意，w 至少定为 3.（）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 2,4(4,6(6,8(8,10(10,12(12,17(17,22(22,27 频率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：6/9 4 0.1 6 0.158 0.2 10 0.25 12 0.15 17 0.0522 0.0527 0.05 10.5 （元）【提示】（）根据频率分布直方图计算各组频率，根据所占比例求解；（）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表，根据每个数据用该组区间的右端点值对应频率即为人均水费估计值进行求解即可.【考点】频率分布直方图，频率，平均数的估计值.18.【答案】（）因为PCABCD平面，所以PCDC.又因为DCAC，所以DCPAC平面.（）因为ABDC，DCAC，所以ABAC.因为PCABCD平面，所以PCAB.所以ABPAC平面.所以PABPAC平面平面.（）棱 PB 上存在点 F，使得PACEF平面.证明如下：取 PB 中点 F，连结 EF，CE，CF.又因为 E 为 AB 的中点，所以EFPA.又因为PACEF平面，所以PACEF平面.【提示】（）利用线面垂直判定定理证明；（）利用面面垂直判定定理证明；（）取 PB 中点 F，连结 EF，则EFPA，根据线面平行的判定定理证明PACEF平面.【考点】空间线面平行、垂直的判定定理与性质定理，空间想象能力，推理论证能力.7/9 19.【答案】（）2214xy 32e （）设0000()00()P xyxy,，则220044xy.又0(2)A，1(0)B，所以直线 PA 的方程为00(2)2yyxx.令0 x，得0022Myyx，从而002112MyBMyx .直线 PB 的方程为0011yyxx.令0y，得001Nxxy，从而00221NxANxy.所以四边形 ABNM 的面积 12SAN BM 00002121212xyyx 220000000000444842(22)xyx yxyx yxy 00000000224422x yxyx yxy 2 从而四边形 ABNM 的面积为定值.【解析】（）由题意得，2a，1b.所以椭圆 C 的方程为2214xy 又223cab，所以离心率32cea.【提示】（）根据两顶点坐标可知 a，b 的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；8/9 （）四边形 ABNM 的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线ANBM，的值，求乘积为定值即可.【考点】椭圆方程，直线和椭圆的位置关系.20.【答案】（）由32()f xxaxbxc，得2()32fxxaxb 因为(0)fc，(0)fb，所以曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程为ybxc.（）当4ab时，32()44f xxxxc，所以2()384fxxx.令()0fx，得23840 xx，解得2x 或23x .()f x与()fx在区间()，上的情况如下：x()2，2 22,3 23 2,3()fx 0 0 ()f x c 3227c 所以，当0c 且32027c时，存在1(4,2)x ，222,3x，32,03x，使得123()()()0f xf xxf.由()f x的单调性知，当且仅当320,27c时，函数32()44f xxxxc有三个不同零点.（）当24120ab 时，2()320fxxaxb，()x ,，此时函数()f x在区间(),上单调递增，所以()f x不可能有三个不同零点.当24120ab 时，232fxxaxb只有一个零点，记作0 x.当0()xx,时，()0fx，()f x在区间0()x,上单调递增；当0(,)xx时，()0fx，()f x在区间0(,)x 上单调递增.所以()f x不可能有三个不同零点.综上所述，若函数()f x有三个不同零点，则必有24120ab.故230ab是()f x有三个不同零点的必要条件.9/9 当4ab，0c 时，230ab，32244()(2xxfxxx x只有两个不同零点，所以230ab不是()f x有三个不同零点的充分条件.因此230ab是()f x有三个不同零点的必要而不充分条件.【提示】（）求函数()f x的导数，(0)fc，(0)fb求切线方程；（）根据导函数判断函数()f x的单调性，由函数()f x有三个不同零点，求 c 的取值范围；（）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数.【考点】利用导数研究曲线的切线，函数的零点.