完全平方公式新人教版课件.pptx

14.2.214.2.2 完全平方公式完全平方公式第十四章第十四章 整式的乘法与因式分解整式的乘法与因式分解学习目标学习目标1.1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释并能够灵活应用.（重点）2.2.理解完全平方公式的结构特征，灵活应用完全平方公式.（难点）回顾回顾&思考思考 平方差公式平方差公式(a+b)(ab)=a2 b2;公式的结构特征公式的结构特征:左边是左边是 两个二项相乘，并且两个二项相乘，并且这两个二项式中有一这两个二项式中有一项完全相同项完全相同,另一项互另一项互为相反数（或式）为相反数（或式）；右边是右边是 乘式中两项的平方差乘式中两项的平方差即相同项的平方减去即相同项的平方减去相反项的平方相反项的平方应用平方差公式时应注意什么应用平方差公式时应注意什么？如果把平方差公式左边的（如果把平方差公式左边的（a+b)(a-b)换成换成(a+b)(a+b)或或(a-b)(a-b)是否也能用一个公式来是否也能用一个公式来表示呢？表示呢？下面就来探索这个问题？下面就来探索这个问题？讲授新课讲授新课完全平方公式一计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）（p+1)2=(p+1)(p+1)=.p2+2p+1（2）（m+2)2=(m+2)(m+2)=.m2+4m+4（3）（p-1)2=(p-1)(p-1)=.p2-2p+1（4）（m-2)2=(m-2)(m-2)=.m2-4m+4根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？（a+b)2=.a2+2ab+b2（a-b)2=.a2-2ab+b2乘法的完全平方公式你能用多项式与多项式相乘的法则验证它们吗？（a+b)2=（a+b)（a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2（a-b)2=（a-b)（a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2a+ba+bab ab=(a+b)2=a2+2ab+b2+a-ba-baabb=(a-b)2=a2-2ab-+b2+完全平方公式完全平方公式（a+b)2=a2+2ab+b2（a-b)2=a2-2ab+b2 两数和（或差）的平方，等于两数和（或差）的平方，等于这两个数平方的和，加上（或者减这两个数平方的和，加上（或者减去）它们的积的去）它们的积的2 2倍。倍。公式的结构特征：公式的结构特征：左边是两个数（或式）的和（或差）的平方；左边是两个数（或式）的和（或差）的平方；右边是一个二次三项式，其中有两项分别是这右边是一个二次三项式，其中有两项分别是这两个数（或式）的平方，另一项是它们乘积的两个数（或式）的平方，另一项是它们乘积的2倍，平方项的符号同为倍，平方项的符号同为“+”号，另一项的符号号，另一项的符号取决于左边两个数（或式）中间的符号。取决于左边两个数（或式）中间的符号。(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2这两个公式的共同点是什么，不同点又这两个公式的共同点是什么，不同点又是什么，它们和平方差公式的主要区别是什么，它们和平方差公式的主要区别在哪里在哪里？如果把公式中的a记作“首”，b记作“尾”，公式可记为：（首（首尾）尾）2首首22首首尾尾尾尾2 口诀口诀：首平方，尾平方，首尾首平方，尾平方，首尾两倍在中间，中间符号看等号左边两倍在中间，中间符号看等号左边首尾间。首尾间。想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？（1）(x+y)2=x2+y2(2)(x-y)2=x2-y2(3)(-x+y)2=x2+2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2(x+y)2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2(-x+y)2=x2-2xy+y2(2x+y)2=4x2+4 4xy+y2典例精析例1 运用完全平方公式计算：解:(4m+n)2=16m2(1)(4m+n)2；(a a+b b)2 2=a a2 2 +2 +2 ab ab +b b2 2(4m)2+2(4m)n+n2+8mn+n2；(a a-b b)2 2=a a2 2 -2 -2 abab +b b2 2y2(2)(y-)2.=y2-y+解：解：(y-)2=+()2-2y运用完全平方公式计算运用完全平方公式计算：（1）（）（a+6）2 （2）（）（4+x）2（3）（）（x-7）2 （4）（8-y）2（5）（）（3a+b）2（6）（）（4x+3y）2（7）（）（-2x+5y）2（8）（-a-b）2=a2+12a+36=16+8x+x2=x2-14x+49=64-16y+y2=9a2+6ab+b2=16x2+24xy+9y2=4x2-20 xy+25y2=a2+2ab+b2填空题：填空题：（1）(-3x+4y)2=_（2）（）（-2a-b）2=_（3）x2-4xy+_=（x-2y）2（4）a2+b2=（a+b）2+_（5）a2+_+9b2=（a+3b）29x2-24xy+16y2 4a2+4ab+b2 4y2（-2ab)3ab 例例2 运用完全平方公式计算运用完全平方公式计算:(1)102(1)1022 2 (2)99 (2)992 2解解:(1)102(1)1022 2=(100+2)=(100+2)2 2 =100 =1002 2+2+21001002+22+22 2 =10000+400+4=10000+400+4=10404=10404(2)99(2)992 2 =(100-1)=(100-1)2 2=100=1002 2-2-21001001+1+12 2=10000-200+1=10000-200+1=9801练一练练一练 ：运用完全平方公式计算运用完全平方公式计算：（1）912（2）3012（3）4982（4）79.82=(90+1)2=8 281=(300+1)2=90 601=(500-2)2=248 004=(80-0.2)2=6 368.04思考思考(a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么?(-a-b)2=(-a)2-2(-a)b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2(a-b)2=a2-b2不一定相等.只有当b=0或a=b时，（a-b)2=a2-b2.(ab)2=a22abb2(ab)2=a22ab+b2公式变形式公式变形式由由得得a2b2 =(ab)22ab由由得得a2b2 =(ab)22ab-得得(ab)2(ab)2=ab+得得(ab)2(ab)2=2(a2b2)4.若a+b=5,ab=-6,求a2+b2,a2-ab+b2.5.已知x+y=8,x-y=4,求xy.解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2(-6)=37；a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.解：x+y=8,(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64;x-y=4,(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16;由-得4xy=48xy=12.解题时常用结论：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;4ab=(a+b)2-(a-b)2.公式变形运用1.已知：已知：x+y=3 ;x y=2 求求 x2+y2 ；(x y)2 的值的值。2.已知：已知：a b=1；a2+b2=25 求求 ab 的值的值。3.已知：已知：(x+y)2=9;(x y)2=5 求求 xy ;x2+y2 的值。的值。添括号法则二a+(b+c)=a+b+c;a-(b+c)=a-b c.a+b+c=a+(b+c);a b c =a (b+c).去括号把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号：添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号（简记为“负变正不变”.知识要点添括号法则例3 运用乘法公式计算:(1)(x+2y-3)(x-2y+3);(2)(a+b+c)2 原式=x+(2y3)x-(2y-3)=x2-(2y-3)2 =x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9.解:(1)典例精析原式 =(a+b)+c2 =(a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.解题小结：第1小题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.当堂练习当堂练习 1在等号右边的括号内填上适当的项：（1）a+b-c=a+（）（2）a-b+c=a-（）（3）a-b-c=a-（）（4）a+b+c=a-（）b-cb-cb+c-b-c2判断下列运算是否正确 （1）2a-b-c=2a-（b-c）（2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）（3）2x-3y+2=-（2x+3y-2）（4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c-5）能否用去括号法则检查添括号是否正确?本节课你学到了什么？注意完全平方公式和平方差公式不同：注意完全平方公式和平方差公式不同：形式不同形式不同结果不同结果不同在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边,做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；完全平方公式的灵活运用，应掌握公式的简单变形。完全平方公式的灵活运用，应掌握公式的简单变形。课堂小结课堂小结完全平方公式法法则则注意(abab)2 2=a a2 2 2 2ab+bab+b2 21.项数、符号、字母及其指数2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行常用结论3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面）a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;4ab=(a+b)2-(a-b)2.1)课本P110页练习题第1题；2)课本P112页复习巩固第2、7题。人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。