离散型随机变量的分布列专项测试题-学生版.pdf

离散型随机变量的分布列专项测试题1(2015常熟二模)已知离散型随机变量 X 的分布列为XP则 X 的数学期望 E(X)()1352310311035A.2B2C.2D3思路分析：利用公式E(X)x1p1 x2p2 xnpn求解即可。小结：E(X)x1p1 x2p2 xnpn为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平2同时抛掷两枚质地均匀的硬币，随机变量1 表示结果中有正面向上，0 表示结果中没有正面向上，则E()()113A.BC.D1424思路分析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币会出现四种等可能的结果：正正，正反，反正，反反，其中没有正面向上13的有一种结果所以概率为，则有正面向上的概率为，写出分布列利用公式求期望。44小结：正确理解随机变量表示的意义，搞清随机变量每个取值对应的随机事件和每个随机事件所包含的各种情形并求概率，熟练掌握期望公式。3.(2015浙江联考)甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为，则 E为()A1B1.5C2D2.5思路分析：可取 0,1,2,3。需注意 0 表示所选课程都不相同，为平均分组然后排序的问题。另外2 所包含的情况较多，可以用间接法。小结：平均分组问题是排列组合的难点，经常与分布列综合考察，需要认真分析是否有顺序。利用分布列的性质p=1 可利用间接法求某一个概率。ini14.已知随机变量 8，若 B(10,0.6)，则 E()，D()分别是()A6 和 2.4C2 和 5.6B2 和 2.4D6 和 5.6思路分析：利用二项分布的性质，若 B(n，p)，则 E=np,D=np(1-p)，由8-可得 E()E(8),D()D(8)，利用公式E(axb)aE(x)b(a，b 为常数)D(axb)a2D(x)(a，b 为常数)小结：已知随机变量的均值、方差，求的线性函数ab的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；常用公式E(axb)aE(x)b(a，b 为常数)D(axb)a2D(x)(a，b 为常数)需熟记第1页 共 8 页5.已知抛物线 yax2bxc(a0)的对称轴在 y 轴的左侧，其中 a，b，c3，2，1，0，1，2，3，在这些抛物线中，记随机变量X 为“|ab|的取值”，则 X 的数学期望 E(X)为()8321A.B.C.D.9553思路分析：对称轴在 y 轴的左侧即 a与 b 同号正负都有 3 种选择，正确确定X 的可能取值 0，1，2，并准确求其概率。小结：利用抛物线的特点求出所有可能的情况，搞清随机变量每个取值对应的随机事件和每个随机事件所包含的各种情形并求概率，利用公式求期望。填空题：6设随机变量 X 的概率分布列如下表所示：XP0a113216F(x)P(Xx)，则当 x的取值范围是1,2)时，F(x)_.思路分析：分布列中各项概率值和为1，从而求 a.x的取值范围是1,2)需求 0 和 1 对应的概率之和。小结：本题的解题关键是离散型随机变量的性质。7(改编题)有一批产品，其中有12 件正品和 4 件次品，从中有放回地任取3 件，若X 表示取到次品的次数，则DX_.1思路分析：由题意可知本题符合二项分布XB(3，)，利用公式即可。4小结：明确二项分布的概念抓住三个特性：（1）每次试验只有两类对应的结果；（2）n 次相同事件相互独立（独立重复试验）；（3）每次试验的某一结果的概率是恒定的。c8.（改编题）设随机变量 的分布列为 P(k)，k1,2,3，则 E()k1思路分析：分布列中各项概率值和为1 求 c 的值，从而列出分布列用公式求期望。小结：熟记离散型随机变量分布列的性质及期望方差的公式。9两封信随机投入 A，B，C 三个空邮箱，则 A 邮箱的信件数 X 的期望为_思路分析：总投法种数是 32，A 中没有信只能选择 B 和 C 邮箱；A 中仅有一封信：从两封信选一封投入 A，剩下的一封有两种选择；A 中有两封只有一种。小结：正确理解随机变量表示的意义，搞清随机变量每个取值对应的随机事件和每个随机事件所包含的各种情形并求概率。第2页 共 8 页解答题：10.公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2 个 A 班的同学和 2 个 B 班的同学；乙景点内有2 个 A 班的同学和 3 个 B 班的同学，后来由于某种原因，甲、乙两景点各有一同学交换景点参观 求甲景点 A 班同学数 的分布列及期望思路分析：甲景点 A 班同学数 的值 1 表示甲景点 A 班的同学与乙景点 B 班的同学交换景点参观；2 表示甲景点 A 班的同学与乙景点 A 班的同学交换景点参观或表示甲景点 B 班的同学与乙景点 B 班的同学交换景点参观;3 表示甲景点 B 班的同学与乙景点A 班的同学交换景点参观。小结：求离散型随机变量X 的期望的步骤为(1)理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值；(2)搞清随机变量每个取值对应的随机事件和每个随机事件所包含的各种情形并求概率；(3)写出 X 的分布列；(4)利用公式 E(X)x1p1x2p2xnpn求出期望第3页 共 8 页11（2015 衡中考前模拟）某校为了解 15 届高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前 3 个小组的频率之比为 1:2:4，其中第二小组的频数为 11.(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)若以该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选3 人，设X表示体重超过 60kg 的学生人数，求 X 的期望与方差。思路分析：先求出后两组的频率，利用前3 个小组的频率之比为 1:2:4，可以求出第二组的频率，因为第二小组的频数为 11，可以求出总人数。第二问体重超过60kg 的概率由于“人数很多”可以用频率代替，显然这是二项分布的问题。小结：第一问属于统计问题利用频率和频数求总数，第二问要正确理解二项分布的概念关注是否是独立重复试验，每次试验只有两类对应的结果超过60kg 和不超过 60kg，每次试验的某一结果的概率是恒定的。第4页 共 8 页12.某人参加射击，击中目标的概率是13设为他射击 6 次击中目标的次数，求随机变量的分布列；若他连续射击 6 次，设为他第一次击中目标的次数，求的分布列；若他只有 6 颗子弹，若他击中目标，则不再射击，否则子弹打完，求他射击次数的分布列。思路分析：射击 6 次击中目标的次数服从二项分布B6,1；3连续射击 6 次，第一次击中目标的次数，k表示前k次未击中目标，而第k 1次击中目标，的取值为0,1,2,3,4,5；若他只有 6 颗子弹，若他击中目标，则不再射击，否则子弹打完分两种情况：k，表示前k 1次未击中，而第k次击中，k 1,2,3,4,5；6表示前 5 次未击中，第 6 次可以击中，也可以未击中。小结：离散型随机变量的概率分布的两个本质特征：pi0（i=1，2，n）与确的依据，此题还需注意书写的规范。第5页 共 8 页p=1 是验证分布列中数值是否正ini1【练习题】1已知某一随机变量 的概率分布如下，且E6.3，则 a 的值为()PA.5B6C7D8思路分析：利用分布列性质40.5a0.19bp=1 先求 b，再利用 E6.3 求 a。ini1小结：高考要求灵活应用分布列的性质，期望方差公式解决问题。2(2015黄山二模)已知随机变量 X 的分布列为XP则 E(6X8)()A13.2B21.2C20.2D22.2思路分析：先求 E(X)然后利用公式 E(axb)aE(x)b(a，b 为常数)小结：熟记期望方差公式并灵活应用。(2015黄山二模)已知随机变量 X 的分布列为XP则 E(6X8)()A13.2B21.2C20.2D22.2思路分析：先求 E(X)然后利用公式 E(axb)aE(x)b(a，b 为常数)解析：由题意知，E(X)10.220.430.42.2，E(6X8)6E(X)862.2821.2.小结：熟记期望方差公式并灵活应用。3.(2015常熟二模)随机变量 X 的分布列为XPx1p1x2p2x3p310.220.430.410.220.430.4若 p1，p2，p3成等差数列，则公差 d 的取值范围是_思路分析：考察离散型随机变量的性质每个概率都满足0pi1 且 p1p2p3=1。小结：熟记并灵活应用离散型随机变量的性质每个概率都满足0pi1 且 p1p2p3pn=1。第6页 共 8 页4若 p 为非负实数，随机变量X 的概率分布如下表，则E(X)的最大值为_，D(X)的最大值为_.XP01p21p212思路分析：考察离散型随机变量的性质每个概率都满足0pi1 且 p1p2p3 pn=1，先求出 p 的范围再代入 E(X)和 D(X)。小结：熟记并灵活应用离散型随机变量的性质每个概率都满足0pi1 且 p1p2p3pn=1。5.（改编题）一次数学摸底考试，某班60 名同学成绩的频率分布直方图如图所示若得分90 分以上为及格从该班任取一位同学，其分数是否及格记为，则的数学期望为思路分析：本题属于两点分布，利用公式求期望。小结：熟悉不同类型的概率特点并灵活应用公式。6袋中装着标有数字 1，2，3，4，5 的小球各 2 个从袋中任取 3 个小球，按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的 3 个小球上的最大数字，求：(1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量 X 的分布列；(3)计分介于 20 分到 40 分之间的概率思路分析：随机变量 X 所有可能的取值为 2，3，4，5；计分介于 20 分到 40 分之间则最大数字是 3 或 4.小结：离散型随机变量的分布列问题关键是正确确定随机变量的取值并求出相应的概率，注意分类讨论思想的应用。7.编号 1,2,3 的三位学生随意入座编号1,2,3 的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X.(1)求随机变量 X 的概率分布；(2)求随机变量 X 的数学期望与方差思路分析：本题需注意随机变量X 的取值 X0，1，3。小结：求离散型随机变量X的方差的步骤：(1)写出X的所有取值；(2)计算P(Xxi)；(3)写出分布列，并求出期望E(X)；(4)由方差的定义求出D(X)8.(2015威海一模)设在 15 个同类型的零件中有两个次品，每次任取一个，共取3 次，并且每次取出后不再放回若以 X 表示取出次品的个数，试求X 的均值 E(X)和方差 D(X)思路分析：“每次取出后不再放回”显然符合超几何分布，利用超几何分布的公式即可。小结：本题要注意区分二项分布与超几何分布的概念，不能将它们混为一淡二项分布的背景是“n次独立重复试验”，而超几何分布的背景为“在含有M件次品的N件产品中任取n件”，他们是“重复”与“不重复”的区别注意题目中“并且每次取出后不再放回”所以，本题中X服从的是超几何分布第7页 共 8 页9在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4 个班级各赛一场，在这4 场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等已知当这4 场比赛结束后，该班胜场多于负场(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；(2)若胜场次数为 X，求 X 的分布列思路分析：该班级胜场多于负场的所有可能有四种可能：胜一场，胜两场，胜三场，胜四场分别求出并求和即可。X 的可能取值为 1,2,3,4，分别求出概率即可。小结：离散型随机变量的分布列问题关键是正确确定随机变量的取值并求出相应的概率，注意分类讨论思想做到不重不漏。某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程（）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；（）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望第8页 共 8 页