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1. 产品质量m = 10(kg)。所用缓冲衬垫的弹性模量E = 800(kPa)，衬垫面积A = 400(cm2)，衬垫厚度h分别取1.10、2.16、5.28(cm)，试求这三种情况下衬垫的弹性常数及产品衬垫系统的固有频率。
解 衬垫厚度h =l.10(cm)时，其弹性常数为
（kN/cm）
产品衬垫系统的固有频率为
（Hz）
衬垫厚度h =2.16(cm)时其弹性常数为
（kN/cm）
产品衬垫系统的固有频率为
（Hz）
衬垫厚度h =5.28(cm)时，其弹性常数为
（kN/cm）
产品衬垫系统的固有频率为
（Hz）
3.已知一包装件产品质量 m = 8 kg，缓冲垫等效弹性系数为k = 500 N/m，将其简化为有阻尼单自由度模型，设阻尼比为。当其作有阻尼自由振动时给一个初始位移为 A = 0.02 m，使之从静止开始振动，求振动周期、位移方程，并计算振动多少次后的振幅小于初始振幅的10%。
解：固有园频率 （rad/s）
阻尼系数
①振动周期 （s）
初始条件
（m）
°
②位移方程
③振幅比

约为8次

5.产品中易损零件的固有频率fsn =70(Hz)，阻尼比=0.07，产品衬垫系统的阻尼比=0.25，固有频率fn分别为70、50、32(Hz)，已知振动环境的激振频率f =1～100(Hz)，加速度峰值，试分析这三种情况下缓冲衬垫的减振效果。
解 如果不包装，产品将直接受到振动环境的激励，易损零件将在f =70(Hz)时发生共振，共振时的放大系数及加速度峰值为

(1)fn =70(Hz)的情况
因为fn = fsn，易损零件的两次共振归并为一次，发生在f ＝70(Hz)时，共振时的放大系数及加速度峰值为

加速度峰值是无包装的2.24倍。由此可见，缓冲衬垫在这种情况下不但不能减振，反而加剧了易损零件的振动。
(2) fn =50(Hz)的情况
易损零件第—次共振发生在f =50(Hz)时，λs =50/70=0.71，其放大系数及加速度峰值为

易损零件第二次共振发生在f =70(Hz)时，λ =70/50=1.4，其放大系数及加速度峰值为

第二次共振的加速度峰值与无包装相等，有包装与无包装—样，所以缓冲衬垫没有减振效果。
(3) fn =32(Hz)的情况
易损零件的第一次共振发生在f =32(Hz)时，λs =32/70=0.46，其放大系数及加速度峰值为

易损零件的第二次共振发生在f =70(Hz)时，λ =70/32=2.19，其放大系数及加速度峰值为

11.产品质量m＝10(kg)，衬垫面积A＝120(cm2)，衬垫厚度h＝3.6cm)，缓冲材料的弹性模量E＝700(kPa)，包装件的跌落高度H＝75(cm)，不计系统的阻尼和衬垫的塑性变形，试求跌落冲击过程的衬垫最大变形、产品最大加速度、冲击持续时间和速度改变量。
解: 产品衬垫系统的固有频率为:
ω＝＝153（rad/s）
f n＝＝25（Hz）
产品的冲击持续时间为:
τ＝1/2 f n＝1/（2×25）＝0.02（s）
衬垫的最大变形为:
x m＝＝2 .51（cm）
产品的最大加速度为:
m＝ω＝153＝587（m/s2）
G m＝＝60
产品的速度改变量为:
v＝2＝2＝7.67 （m/s）

图3
作业五
1. 一包装件中，产品质量m = 8kg，产品脆值G = 45，衬垫面积A = 554cm2，衬垫厚度h = 5.87cm，衬垫材料为密度0.152g/cm3的泡沫聚氨酯，其C—σm曲线如图3所示，该包装件自高度为H =40cm处跌落，试问内装产品是否安全？
解 材料的C值与值必须满足下式：

式中的单位取MPa。由于采用对数坐标，在图上直线C =104被变换成了曲线，此曲线与曲线的交点坐标：C = 4，= 0.04MPa，故产品最大加速度为

显然，＜G，产品落地后是安全的。

2. 产品质量m =10kg，产品脆值G =60，设计跌落高度H =80cm，选用密度为0.014g/cm3的泡沫聚苯乙烯（图4）对产品作局部缓冲包装，试计算衬垫的厚度和面积。
解 这种缓冲材料是图4中的曲线1，其最低点的坐标：C = 3.7，= 260kPa = 26N/cm2。缓冲衬垫的厚度为
（cm）
产品重力W = 98N，缓冲衬垫的面积为
（cm2）
对衬垫的稳定校核：
（cm2）
A被分为四块，(cm2)。显然，＞（1.33h）2，所以上面计算的衬垫面积与厚度是可取的。
⑴泡沫聚苯乙烯 0.014 ⑹岩绵150 0.068 ⑾ 0.42
⑵ 0.020 ⑺岩绵200 0.088 ⑿泡沫橡胶
⑶ 0.033 ⑻泡沫聚氨酯 0.03 ⒀刨 花 0.07
⑷泡沫聚乙烯 0.035 ⑼泡沫聚氨醚 0.03 ⒁泡沫聚苯乙烯碎屑 0.08
⑸岩绵100 0.050 ⑽泡沫聚氯乙烯 0.31 ⒂塑料刨花 0.087
图4 各种常用缓冲材料的曲线
3. 产品质量m = 15kg，产品脆值G = 60，底面面积为40cm×40cm，设计跌落高度H = 80cm，采用全面缓冲，试按最低点原则选择缓冲材料，并计算衬垫厚度。如规定用密度为0.035g/cm3的泡沫聚乙稀作缓冲材料（图4），试计算衬垫厚度。
解 作全面缓冲时，衬垫面积等于产品面积，即A = 1600cm2。衬垫最大应力为
（N/cm2）（kPa）
图5 聚苯乙烯的最大加速度～静应力曲线
在图4的横轴上取=55kPa的点，并向上作垂线，曲线最低点在这条垂线上的材料为泡沫聚氯乙烯碎屑，其密度为0.08g/cm3，C =6，故衬垫厚度为
（cm）
如果规定用ρ=0.035(g/cm3)的泡沫聚乙烯作缓冲材料，则在图4的横轴上取=55(kPa)的点，并向上作垂线与曲线④相交，该交点的纵坐标C =10.5就是所要求的缓冲系数，故衬垫厚度为
（cm）

4. 产品质量m = 7.5kg，产品脆值G = 20，底面面积为35cm×35cm，设计跌落高度H = 120cm，试选择缓冲材料并计算衬垫尺寸（图4）。
解 (1)局部缓冲方案
选用ρ=0.014g/cm3的泡沫聚苯乙烯对产品作局部缓冲，其曲线（图4）最低点的坐标：C =3.7，=260kPa =26N/cm2，衬垫的厚度与面积分别为
（cm）
（cm2）
对计算结果的稳定校核：
（cm2）
因为＜（1.33h）2，衬垫不稳定，所以局部缓冲方案不能成立。
(2)全面缓冲方案
衬垫最大应力为：
（N/cm2）（kPa）
在图4中，选用ρ=0.03g/cm3的泡沫聚氨酯对产品作全面缓冲。当=12kPa时，C =3.4，故衬垫厚度为 （cm）
这个产品质量小、脆值小，跌落高度大，选用较软的泡沫聚氨酯作全面缓冲是合理的。

5. 产品质量m = 20kg，缓冲材料的Gm—σst曲线如图5，衬垫面积A= 654cm2，衬垫厚度h = 4.5cm，包装件跌落高度H= 60cm，试求产品跌落冲击时的最大加速度。
解 衬垫的静应力为
（kPa）

6. 产品质量m = 10kg，产品脆值G = 72，底面面积为35cm×35cm，包装件跌落高度H = 90cm，选择缓冲材料如图5，试问对这个产品是作全面缓冲好还是作局部缓冲好？
解：①对产品作全面缓冲时，衬垫静应力为
（N/cm2）（kPa）
在图5上，作直线=G =73和直线=0.8kPa，两直线的交点F在给定曲线之外，这说明，即使是取h =12.5cm，也不能保证产品的安全。若坚持作全面缓冲，则厚度还要大大增加，经济上是不合理的。
②采用局部缓冲时，应取h =5cm，因为它的曲线的最低点的=73，恰好等于产品脆值，这个点的静应力=2.5kPa＝0.25N/cm2，故衬垫面积为
（cm2）
采用四个面积相等的角垫，则每个角垫的面积为
（cm2）
衬垫的稳定校核：
Amin＞（cm2）
7. 产品质量m = 25kg，产品脆值G 55，包装件跌落高度H = 90cm，采用局部缓冲如图6，试求缓冲衬垫尺寸。
解 令=55，它是一条水平直线，与h =7.5cm的曲线相交于B1，B2两点，点B1静应力小，衬垫面积大；点B2静应力大，衬垫面积小。为了节省材料，因此选点B2，衬垫厚度h =7.5cm，静应力为
kPaN/cm2
因此衬垫面积为
（cm2）
采用四个面积相等的角垫，则每个角垫的面积为
（cm2）
衬垫的稳定校核：
Amin=（cm2）
。

8. 产品质量m = 25kg，产品脆值G = 65，包装件跌落高度H = 90cm，采用局部缓冲如图6，试求缓冲衬垫尺寸。
解 在图6上作水平直线=65，邻近曲线有两条，一条h =5cm，一条h ＝7.5cm，h =5cm的曲线在=65之上，若取h ＝5cm，则必有＞G，不安全。 h =7.5cm的曲线最低点离＝65太远，若取h =7.5cm，则衬垫太厚，太不经济。因此设想有一条未知曲线，如图中虚线，其最低点的恰好等于65，然后按式（5—29）和（5—30）计算所求的衬垫面积与厚度。
(1)按h =5cm曲线最低点计算
根据式(5—29)，h =5cm曲线最低点的与h的乘积为常量，即
(Gmh)最低点 = 73×5 = 365（cm）
未知曲线最低点=65，h待定，且
65h =(Gmh)最低点 = 365（cm）
故所求衬垫厚度为
（cm）
根据式（5—30），h =5cm曲线最低点的与的乘积为常量，即
(Gm)最低点 = 73×2.5 = 183（kPa）
未知曲线最低点=65，待定，且
65=(Gm)最低点 =183（kPa）
故待定的衬垫静应力为
（kPa）（N/cm2）
所求衬垫面积为
（cm2）
(2)按h =7.5cm曲线最低点计算
根据式（5—29），h =7.5cm曲线最低点的与h的乘积为常量，即
(Gmh)最低点 = 49×7.5 = 367.5（cm）
未知曲线最低点=65，h待定，且
65h =(Gmh)最低点 = 367.5（cm）
故所求衬垫厚度为
cm）
根据式(5—30)，h =7.5cm曲线最低点的与的乘积为常量,即
(Gm)最低点 = 49×3.7 = 181（kPa）
未知曲线最低点的=65，待定，且
65=(Gm)最低点 =181（kPa）
故待定静应力为
（kPa）（N/cm2）
所求衬垫面积为
（cm2）

9. 产品质量m = 25kg，产品脆值G = 85，包装件跌落高度H = 90cm，采用局部缓冲如图6，试求缓冲衬垫尺寸。
10. 产品质量m = 20kg，产品脆值G = 50，包装件跌落高度H = 60cm，产品为立方体，每面面积为1420cm2，选用图7中的缓冲材料，①采用全面缓冲，试选用缓冲材料并计算衬垫尺寸。②采用局部缓冲，试选用缓冲材料并计算衬垫尺寸。
解 （1）按全面缓冲计算
衬垫最大应力为
（MPa）
图7
在图7上与这个产品匹配的材料是泡沫聚氨酯（0.152g/cm3），缓冲系数C = 3.4，衬垫厚度为
（cm）
在图7上泡沫橡胶（0.12g/cm3）太软，与这个产品不匹配，若硬要选用，则C =8，衬垫厚度h = 9.6cm。
在图7上泡沫聚苯乙烯（0.012g/cm3）太硬，与这个产品不匹配。如果硬要选用，则C = 5.7，衬垫厚度h = 6.84cm。
（2）按局部缓冲计算
衬垫面积为产品面积的，故A = 473cm2，衬垫最大应力为

（MPa）
在图7上与这个产品匹配的是泡沫聚苯乙烯（0.012g/cm3），缓冲系数C = 3.7，衬垫厚度为
（cm）
在采用局部缓冲的情况下，泡沫聚氨酯（0.152g/cm3）太软，与这个产品不再匹配，若硬要选用，则C = 5.2，h = 6.24cm。

11. 产品质量m = 20kg，产品脆值G = 60，设计跌落高度H = 90cm，采用密度为0.035g/cm3的泡沫聚乙稀作局部缓冲如图8。该产品销往高温和严寒地区，最高温度为68℃，最低温度-54℃，试问能不能取常温曲线最低点计算缓冲衬垫。
解 材料在常温、高温和低温下的曲线如图8。常温曲线最低点的坐标：C =39，=0.22(MPa)=22 N/cm2，衬垫的面积与厚度分别为
（cm2）
（cm）
不计衬垫体积的变化，无论温度是高还是低，材料的C值和值都必须满足下式：

在图8上作直线C =17.74（虚线），此直线与高温曲线交于点B1，与低温曲线交于点B2。
点B1的坐标：C =4.5，=0.25MPa。因此，当包装件在高温下跌落时，产品最大加速度为
＞G
点B2的坐标：C =5.2, =0.29MPa。因此，当包装件在低温下跌落时，产品最大加速度为
＞G
可见，按常温曲线最低点计算缓冲衬垫，包装件不论在高温下，还是在低温下跌落都不安全。

图8 温度对材料缓冲特性的影响
12. 产品质量m = 20kg，产品脆值G = 60，设计跌落高度H = 90cm，采用密度为0.035g/cm3的泡沫聚乙稀作局部缓冲如图8。该产品销往高温和严寒地区，最高温度为68℃，最低温度-54℃，试计算缓冲衬垫尺寸。
。
(1)低温时的情况
在点B2处，C =5.2，=0.29MPa =29N/cm2，令Gm恰好等于G =60，衬垫面积与厚度为
（cm2）
（cm）
这样，衬垫体积未变，只是调整衬垫尺寸，增加厚度，减小面积，Ah仍为3167cm3。
(2)高温时的情况
直线C =17.74与高温曲线交点B1的C =4.5，产品跌落时的最大加速度为

Gm＜G，所以包装件跌落时是安全的。
(3)常温时的情况
直线C =l7.74与常温曲线交于最低点，C =3.9，产品跌落时的最大加速度为

Gm＜G，所以包装件跌落时也是安全的。