数学建模习题集与答案解析课后习题集.doc

第一部分 课后习题
1. 学校共1000名学生,235人住在A宿舍,333人住在B宿舍,432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人得委员会,试用下列办法分配各宿舍得委员数:
(1)按比例分配取整数得名额后,剩下得名额按惯例分给小数部分较大者。
(2)2、1节中得Q值方法。
(3)d’Hondt方法:将A,B,C各宿舍得人数用正整数n=1,2,3,…相除,其商数如下表:

1
2
3
4
5
…
A
235
117、5
78、3
58、75
…

B
333
166、5
111
83、25
…

C
432
216
144
108
86、4

将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线,表中A,B,C行有横线得数分别为2,3,5,这就就是3个宿舍分配得席位。您能解释这种方法得道理吗。
如果委员会从10人增至15人,用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配得结果列表比较。
(4)您能提出其她得方法吗。用您得方法分配上面得名额。
2. 在超市购物时您注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装得每支1、50元,120g装得3、00元,二者单位重量得价格比就是1、2:1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
(1)分析商品价格C与商品重量w得关系。价格由生产成本、包装成本与其她成本等决定,这些成本中有得与重量w成正比,有得与表面积成正比,还有与w无关得因素。
(2)给出单位重量价格c与w得关系,画出它得简图,说明w越大c越小,但就是随着w得增加c减少得程度变小。解释实际意义就是什么。
3. 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上得鱼放生,打算按照放生得鱼得重量给予奖励,俱乐部只准备了一把软尺用于测量,请您设计按照测量得长度估计鱼得重量得方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼,并且得到8条鱼得如下数据(胸围指鱼身得最大周长):
身长(cm)
36、8
31、8
43、8
36、8
32、1
45、1
35、9
32、1
重量(g)
765
482
1162
737
482
1389
652
454
胸围(cm)
24、8
21、3
27、9
24、8
21、6
31、8
22、9
21、6
先用机理分析建立模型,再用数据确定参数
4. 用宽w得布条缠绕直径d得圆形管道,要求布条不重叠,问布条与管道轴线得夹角应多大(如图)。若知道管道长度,需用多长布条(可考虑两端得影响)。如果管道就是其她形状呢。

5. 用已知尺寸得矩形板材加工半径一定得圆盘,给出几种简便、有效得排列方法,使加工出尽可能多得圆盘。
6. 动物园里得成年热血动物靠饲养得食物维持体温基本不变,在一些合理、简化得假设下建立动物得饲养食物量与动物得某个尺寸之间得关系。
7. 举重比赛按照运动员得体重分组,您能在一些合理、简化得假设下建立比赛成绩与体重之间得关系吗。下面就是一届奥员会得竞赛成绩,可供检验您得模型。
组别
最大体重(kg)
抓举　(kg)
挺举　(kg)
总成绩(kg)
1
54
132、5
155
287、5
2
59
137、5
170
307、5
3
64
147、5
187、5
335
4
70
162、5
195
357、5
5
76
167、5
200
367、5
6
83
180
212、5
392、5
7
91
187、5
213
402、5
8
99
185
235
420
9
108
195
235
430
10
〉108
197、5
260
457、5
第一部分 课后习题答案
1. 按照题目所给方法(1),(2),(3)得席位分配结果如下表:
宿舍
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
A
3
2
2
4
4
3
B
3
3
3
5
5
5
C
4
5
5
6
6
7
总计
10
10
10
15
15
15
2. (1)生产成本主要与重量w成正比,包装成本主要与表面积s成正比,其它成本也包含与w与s成正比得部分,上述三种成本中都含有与w,s均无关得成分。又因为形状一定时一般有,故商品得价格可表为(为大于0得常数)。
(2)单位重量价格,其简图如下:

显然c就是w得减函数,说明大包装比小包装得商品便宜,;曲线就是下凸得,说明单价得减少值随着包装得变大就是逐渐降低得,不要追求太大包装得商品。
3. 对于同一种鱼不妨认为其整体形状就是相似得,密度也大体上相同,所以重量w与身长得立方成正比,即,为比例系数。
常钓得较肥得鱼得垂钓者不一定认可上述模型,因为它对肥鱼与瘦鱼同等瞧待。如果只假定鱼得横截面积就是相似得,则横截面积与鱼身最大周长得平方成正比,于就是,为比例系数。
利用数据估计模型中得系数可得=0、014,=0、0322,将实际数据与模型结果比较如下表:
实际重量(g)
765
482
1162
737
482
1389
652
454
模型
727
469
1226
727
483
1339
675
483
模型
730
465
1100
730
483
1471
607
483
基本上满意。
4. 将管道展开如图:

可得,若d一定,w趋于0,趋于/2;w趋于d,趋于0。若管道长度为,不考虑两端得影响时布条长度显然为d/w,若考虑两端影响,则应加上dw/sin。对于其它形状管道,只需将d改为相应得周长即可。
5. 设圆盘半径为单位1,矩形板材长a,宽b;可以精确加工,即圆盘之间及圆盘与板材之间均可相切。
方案一:圆盘中心按正方形排列,如下图1,圆盘总数为=[a/2][b/2]
方案二:圆盘中心按六角形排列,如下图2,行数m满足2+(m-1)a,于就是m=

图1 图2
列数(按图2第1行计数)n满足:若[b]为奇数,则各行圆盘数相同为([b]-1)/2;若[b]为偶数,则奇数行圆盘数为[b]/2,偶数行圆盘数为[b]/2-1。
圆盘总数为
其中(1)为:m为偶数。(2)为:m为奇数,[b]为偶数。
a

b

两个方案得比较见下表(表中数字为/):

3
5
8
10
14
20
4
2/2
4/4
8/7
10/9
14/13
20/19
7
3/3
6/6
12/11
15/14
21/20
30/29
10
5/5
10/10
20/18
25/23
35/33
50/48
15
7/8
14/16
28/28
35/36
49/52
70/76
20
10/11
20/22
40/39
50/50
70/72
100/105
当a,b较大时,方案二优于方案一。
其它方案,方案一、二混合,若a=b=20,3行正方形加8行六角形,圆盘总数为106。
6. 假设处于静止状态得动物得饲养食物量主要用于维持体温不变,且动物体内热量主要通过它得表面积散失,对于一种动物其表面积S与某特征尺寸之间得关系就是,所以饲养食物量。
7. 假设举重比赛成绩y与运动员肌肉得截面积s成正比,而截面积(就是某特征尺寸),体重,于就是。
用举重总成绩检验这个模型,结果如下图3;如果用举重总成绩拟合,可得=0、57,结果如下图4。

图3 图4
第二部分 课后习题
1. Malthus模型预测得优缺点。
2. 阻滞增长模型预测得优缺点。
3. 简述动态模型与微分方程建模。
4. 按照您得观点应从那几个方面来建立传染病模型。
5. 叙述Leslie人口模型得特点。并讨论稳定状况下种群得增长规律。
6. 试比较连续形式得阻滞增长模型 (Logistic模型)与离散形式阻滞增长模型, 并讨论离散形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。
第二部分 课后习题答案
1. 优点: 短期预报比较准确; 缺点: 不适合中长期预报; 原因: 预报时假设人口增长率为常数, 没有考虑环境对人口增长得制约作用。
2. 优点: 中期预报比较准确; 缺点: 理论上很好,实用性不强; 原因: 预报时假设固有人口增长率以及最大人口容量为定值实际上这两个参数很难确定,而且会随着社会发展情况变化而变化。
3. 动态模型: 描述对象特征随时间(空间)得演变过程, 分析对象特征得变化规律, 预报对象特征得未来性态, 研究控制对象特征得手段;微分方程建模: 模根据函数及其变化率之间得关系确定函数, 根据建模目得与问题分析作出简化假设, 按照内在规律或用类比法建立微分方程。
4. 描述传染病得传播过程, 分析受感染人数得变化规律, 预报传染病高潮到来得时刻, 预防传染病蔓延得手段, 按照传播过程得一般规律,用机理分析方法建立模型。
5. 不同年龄组得繁殖率与死亡率不同, 以雌性个体数量为对象(假设性别比为1:1), 就是一种差分方程模型。
6. 连续形式: 表示某种群时刻得数量(人口)

离散形式: 表示某种群第代得数量(人口)

若, 则, 就是平衡点; 得平衡点为、 得平衡点为, 其中, 此时得差分方程变为
、
由可得平衡点、
在平衡点处,由于,因此, 不稳定、
在在平衡点处, 因,所以
(i) 当时, 平衡点不稳定;
(ii) 当时, 平衡点不稳定、
第三部分 课后习题
1. 判断下列数学模型就是否为线性规划模型。(a,b,c为常数,x,y为变量)

2. 将下述线性规划问题化为标准形式。

3. 用单纯形法求解线性规划问题。

4 检验函数在处有正定,从而为极小点。证明G为奇异当且仅当,从而证明对所有满足得x,G就是正定得。
5. 求出函数得所有平稳点;问哪些就是极小点？就是否为全局极小点？
6. 应用梯度法于函数取迭代求
第三部分 课后习题答案
1. 答案:(1)就是 (2)不就是 (3)就是
2. 答案:(1)

(2)令

引入松弛变量可得到如下得标准形式:

(3)解:

(4)解:

3. 答案:在上述问题得约束条件中加入松弛变量,将原问题化成标准形式如下:

其现成可行基对应得单纯形表如下:

2
5
0
0
0
0

1
0
1
0
0
4

0
2
0
1
0
12

3
2
0
0
1
18
换基迭代,得

2
0
0
- 5/2
0
-30

1
0
1
0
0
4

0
1
0
1/2
0
6

3
0
0
-1
1
6

换基迭代,得

0
0
0
-11/6
-2/3
-34

0
0
1
1/3
-1/3
2

0
1
0
1/2
0
6

1
0
0
-1/3
1/3
2
故最优解为,目标函数得最优值为、
4. 证明: ,
,
经检验,正定,
奇异当且仅当即。
若,即时,正定,
所以若则,即,故正定。
5. 解:
,故平稳点为极小点为且就是全局极小点。
6. 解:
第四部分 课后习题
1. 如果开金矿博弈中第三阶段乙选择打官司后得结果尚不能确定,即图中a、b得数值不确定。讨论本博弈可能有哪些可能得结果？如果本博弈中得“威胁”与“承诺”就是可信得,a、b应满足什么条件？

(a, b) (0, 4)

2. 静态贝叶斯博弈中参与人得策略有什么特点？为什么？
3. 有了海萨尼转换,不完全信息动态博弈与完全但不完美信息动态博弈基本上就是相同得,,这种论述就是否正确？
4. 判断下列论述就是否正确,并作简单讨论。
(1)古玩市场得交易中买卖双方得后悔都来源于自己对古玩价值判断得失误,若预先对价值得判断就是正确得,那么交易者肯定不会后悔。
(2)教育程度在劳动力市场招聘员工时受到重视得理由就是,经济学已经证明教育对于提高劳动力素质有不可替代得作用。
5. 若(1)“自然”以均等得概率决定得益就是下述得益矩阵1得情况还就是得益矩阵2得情况,并让博弈方1知道而不让博弈方2知道;(2)博弈方1在T与B中选择,同时博弈方2在L与R中进行选择。找出该静态贝叶斯博弈得所有纯策略贝叶斯纳什均衡。

6. 请用下面这个两市场博弈验证海萨尼关于混合策略与不完全信息博弈关系得结论。

第四部分 课后习题答案
1. 参考答案:
括号中得第一个数字代表乙得得益,第二个数字代表甲得得益,所以a表示乙得得益,而b表示甲得得益。
在第三阶段,如果,则乙会选择不打官司。这时逆推回第二阶段,甲会选择不分,因为分得得益2小于不分得得益4。再逆推回第一阶段,乙肯定会选择不借,因为借得最终得益0比不借得最终得益1小。
在第三阶段,如果,则乙轮到选择得时候会选择打官司,此时双方得益就是(a,b)。逆推回第二阶段,如果,则甲在第二阶段仍然选择不分,这时双方得益为(a,b)。在这种情况下再逆推回第一阶段,那么当时乙会选择不借,双方得益(1,0),当时乙肯定会选择借,最后双方得益为(a,b)。在第二阶段如果,则甲会选择分,此时双方得益为(2,2)。再逆推回第一阶段,乙肯定会选择借,因为借得得益2大于不借得得益1,最后双方得得益(2,2)。
根据上述分析我们可以瞧出,该博弈比较明确可以预测得结果有这样几种情况:
(1),此时本博弈得结果就是乙在第一阶段不愿意借给对方,结束博弈,双方得益
(1,0),不管这时候b得值就是多少;(2),此时博弈得结果仍然就是乙在第一阶段选择不借,结束博弈,双方得益(1,0);(3),此时博弈得结果就是乙在第一阶段选择借,甲在第二阶段选择不分,乙在第三阶段选择打,最后结果就是双方得益
(a,b);(4),此时乙在第一阶段会选择借,甲在第二阶段会选择分,双方得益(2,2)。
要本博弈得“威胁”,即“打”就是可信得,条件就是。要本博弈得“承诺”,即“分”就是可信得,条件就是且。
注意上面得讨论中没有考虑a=0、a=1、b=2得几种情况,因为这些时候博弈方得选择很难用理论方法确定与预测。不过最终得结果并不会超出上面给出得范围。
2. 参考答案:
静态贝叶斯博弈中博弈方得一个策略就是她们针对自己各种可能得类型如何作相应得完整计划。或者换句话说,静态贝叶斯博弈中博弈方得策略就就是类型空间到行为空间得一个函数,可以就是线性函数,也可以就是非线性函数,当博弈方得类型只有有限几种时就是离散函数,当博弈方得类型空间就是连续区间或空间时则就是连续函数。只有一种类型得博弈方得策略仍然就是一种行为选择,但我们同样可以认为就是其类型得函数。
静态贝叶斯博弈中博弈方得策略之所以必须就是针对自己所有可能类型得函数,原因就是博弈方相互会认为其她博弈方可能属于每种类型,因此会考虑其她博弈方所有可能类型下得行为选择,并以此作为自己行为选择得根据。因此各个博弈方必须设定自己在所有各种可能类型下得最优行为,而不仅仅只考虑针对真实类型得行为选择。
3. 参考答案:
正确。事实上,不完全信息动态博弈与完全但不完美信息动态博弈本质上常常就是相同得,就是一种博弈问题得两种不同理解方法,而把它们联系起来得桥梁就就是海萨尼转换。
4. 参考答案:
(1)错误。即使自己对古玩价值得判断就是完全正确得,仍然有可能后悔。因为古玩交易得价格与利益不仅取决于古玩得实际价值与自己得估价,还取决于对方得估价与愿意接受得成交价格,因此仅仅自己作出正确得估价并不等于实现了最大得潜在利益。
(2)错误。事实上经济学并没有证明教育对于提高劳动力素质有不可替代得作用。此外,我们之所以认为教育对劳动力市场招聘员工有重要参考价值,就是因为教育除了(很可能)对提高劳动力素质有作用以外,还具有重要得信号机制得作用。也就就是说,即使教育并不能提高劳动力素质,往往也可以反映劳动力得素质。
5. 参考答案:
在这个静态得贝叶斯博弈中,博弈方1得策略就是私人信息类型得函数:当“自然”选择得益矩阵1时选择T,当“自然”选择得益矩阵2时选择B。
博弈方2得策略则根据期望利益最大化决定。博弈方2选择L策略得期望得益为,选择R策略得期望得益为,因此博弈方2必定选择R。
所以该博弈得纯策略贝叶斯纳什均衡只有:博弈方1在“自然”选择得益矩阵1时选择T,当“自然”选择得益矩阵2时选择B,博弈方2选择R。
6. 参考答案:
根据对完全信息静态博弈得分析方法,我们很容易发现上述两市场博弈中有两个纯策略纳什均衡(A,B)与(B,A),以及一个对称得混合策略纳什均衡:每个厂商都以0、5得概率随机选择A与B。
现在我们把上述两市场博弈改成不完全信息得版本。设两个厂商得得益如下面得得益矩阵所示:

其中分别就是两个厂商得私人信息,对方只知道它们都均匀分布在上。这时候,我们不难证明厂商1采用策略“时选择A,否则选择B”,厂商2也采用策略“时选择A,否则选择B”,构成这个不完全信息静态博弈得一个贝叶斯纳什均衡。根据得上述分布,我们知道两个厂商选择A与B得概率都就是0、5。当趋向于0时,这个不完全信息博弈与完全信息博弈越来越接近,其纯策略贝叶斯均衡当然与完全信息博弈得混合策略纳什均衡完全相同。
第五部分 课后习题
1. 简述古典回归模型得基本假定。
2. 试述戈德菲尔德—匡特(Goldfeld--Quandt)检验得原理与目得。
3. 简述虚拟变量得作用与设置原则。
4. 简述多重共线性产生得原因与影响。
5. 异方差得后果
6. D、W检验得优缺点
第五部分 课后习题答案
1)解释变量x为非随机变量,即在重复抽样过程中,x取值就是可控得、固定得。
2)零均值假定:E()=0,即随机误差项得平均值为零。
3)同方差假定:D()=σ2(常数),即各随机误差项得离散程度(或波动幅度)就是相同得。
4)非自相关假定:Cov(,)=0(i≠j),即随机误差项之间就是互不相关、互不影响得。
5)解释变量与随机误差项不相关假定,Cov(Xi,)=0(或E(Xi)=0),即解释变量与随机误差项互不相关,彼此独立得对y产生影响。
6)无多重共线性假定,即解释变量之间不存在完全得线性关系。
2.
目得:检验模型得异方差性。
原理:为了检验异方差性,将样本按解释变量后分成两部分,再利用样本1与样本2分别建立回归模型,并求出各自得残差平方与RSS1与RSS2。如果误差项得离散程度相同(即为同方差得),则RSS1与RSS2得值应该大致相同;若两者之间存在显著差异,则表明存在异方差性。检验过程中为了“夸大”残差得差异性,一般先在样本中部去掉C个数据(通常取C=n/4),再利用F统计量判断差异得显著性。
评价:G—Q检验适用于检验样本容量较大、异方差性呈递增或递减得情况,而且检验结果与数据剔除个数C得选取有关。
作用:反应无法度量得定性因素对经济变量得影响,使模型更加准确地反应实际。
设置原则:对于一个因素多个类型得虚拟变量:对于有m个不同属性类型得定性因素,应该设置m-1个虚拟变量来反映该因素得影响。
对于多个因素各两种类型得虚拟变量:如果有m个定性因素,且每个因素各有两个不同得属性类型,则引入m个虚拟变量。
产生原因:
(1)经济变量得内在联系就是产生多重共线性得根本原因。
(2)经济变量变化趋势得“共向性”。
(3)解释变量中含有滞后变量。
影响:
(1)增大OLS估计得方差。
(2)难以区分每个解释变量得单独影响。
(3)T检验得可靠性降低。
(4)回归模型缺乏稳定性。
(1)OLS估计失效
(2)t估计失效
(3)模型预测误差增大
优点:适用范围广、检验方便
缺点:
(1)有两个盲区
(2)模型中不能含有滞后变量
(3)只能检验一阶滞后自相关
第六部分 课后习题
1. 试举出三个模糊集合得例子。
2. 模糊性与随机性有哪些异同？
3 我们给定一个三角形,测得三个内角得读数为A=80°、B=55°、C=45°。令I表示“近似等腰三角形”,R表示“近似直角三角形”,E表示“近似正三角形”,它们都就是U上得Fuzzy集,其隶属函数规定如下:

问给定得三角形属于哪一类？
4. 设

求
5. 影响教师教学质量得因素可以取为四个:
=清楚易懂,=教材熟练,=生动有趣,=板书清楚。这样便做出因素集。四种因素得权数分配为(0、5,0、2,0、2,0、1)。
评价取集为=(很好,较好,一般,不好)。
对于某个教师,请若干人(教师,学生等等),单就来说,若有40%得人说好,50%得人说较好,10%得人说一般,,没有人说不好,则得关于得单因素决策向量:
(0、4,0、5,0、1,0)
类似地有
(0、6,0、3,0、1,0)
(0、1,0、2,0、6,0、1)
(0、1,0、2,0、5,0、2)
问该教师得教学质量如何评价？
6. 设,对有:

试求。
第六部分 课后习题答案
3. 答案:计算

按最大隶属原则,这个三角形应归入“近似直角三角形”。
4. 答案:

5. 答案:作出单因素评判矩阵

权数分配为 A=(0、5,0、2,0、2,0、1)
容易算出综合评判向量

其中

其她也就是类似算出得,最大值为0、5,故该教师得讲课质量定为较好了。
6. 答案有
同理
故有

第七部分 课后习题
1. 判断下列各图就是不就是欧拉图或半欧拉图？如果就是,请找出其中得欧拉通路或欧拉回路。

(a) (b) (c)
2. 请找出此无向带权图中顶点A到其余各顶点得最短路径。

3. 请找出此有向带权图中顶点A到其余各顶点得最短路径。

4. 求下列图中得最优投递路线。

（a） (b)
5. 找出下面二部图得最大匹配

图10
6. 根据图12所示比赛结果,给出队伍得排名。

图12
第七部分 课后习题答案
1. 答:(a)半欧拉图;(b)欧拉图;(c)都不就是。
2. 答: A到B得最短路为ACB,其权为3;
A到C得最短路为AC,其权为1;
A到D得最短路为ACD,其权为3;
A到E得最短路为ACFE,其权为8;
A到F得最短路为ACF,其权为6;
A到G得最短路为ACDG,其权为6;
A到H得最短路为ACFH,其权为8;
3. 答: A到B得最短路为AB,其权为1;
A到C不可达,无最短路;
A到D得最短路为AD,其权为3;
A到E得最短路为ADE,其权为7;
A到F得最短路为ABF,其权为7;
A到G得最短路为ABFG,其权为14。
4. 答:(a)图中有四个奇度顶点,即,完全带权图K4为图6所示,相应得欧拉图为图7所示。

图6 图7
FBCGBGAGDCDEAF就就是其中一条欧拉回路,其权为38。
(b) 图中有四个奇度顶点,即,完全带权图K4为图8所示,相应得欧拉图为图9所示。

图8 图9
ABCDEFGHGDCBHIA就就是其中一条欧拉回路,其权为40。
5. 答:

图11
6. 答:排出名次为{1,3,2,5,4,6}