2018学年高考文科数学年北京卷.pdf

1/14 上海市 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 数学答案解析 一、填空题 1【答案】18【解析】直接利用行列式的定义，计算求解即可 解：行列式414 5 2 1 1825-故答案为：18【考点】二阶行列式的定义 2【答案】12x【考点】双曲线的性质【解析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程 解：双曲线的2a，1b，焦点在x轴上 而双曲线22221xyab的渐近线方程为byxa 双曲线2214xy的渐近线方程为12yx 故答案为：12x【考点】双曲线的性质 3【答案】21【解析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中2x的系数 解：二项式71x（）展开式的通项公式为 17rrrTCx，令2r，得展开式中2x的系数为27C21 故答案为：21 2/14 【考点】二项式定理 4【答案】7【解析】由反函数的性质得函数21f xog xa（）（）的图象经过点（1,3），由此能求出a 解：常数aR，函数21f xog xa（）（）f x（）的反函数的图象经过点（3,1），函数21f xog xa（）（）的图象经过点（1,3），213loga（），解得7a 故答案为：7【考点】反函数 5【答案】5【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案 解：由(1)1 7izi，得1 7(1 7)(1)68341(1)(1)2iiiiziiii ，则22|(3)(4)5z 故答案为：5【考点】复数的模 6【答案】14【解析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出14a ，2d，由此能求出7S 解：等差数列na的前 n 项和为nS，367014aaa,111205614adadad，3/14 解得14a-，2d，717 672842142Sad 故答案为：14【考点】等差数列的前 n 项和 7【答案】1【解析】由幂函数f xx（）为奇函数，且在(0,)上递减，得到a是奇数，且0a，由此能求出a的值【解答】解：1 12,1,1,2,32 2 ，幂函数()f xx为奇函数，且在（0，+）上递减，a是奇数，且0a，1a 故答案为：1【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 8【答案】3【解析】据题意可设0,Ea（），0,Fb（），从而得出2ab，即2ab，或2ba，并可求得2AE BFab ，将2ab带入上式即可求出AE BF的最小值，同理将2ba带入，也可求出的最小值【解答】解：根据题意，设0,0,EaFb(),()；|EF|ab|2 2ab或a2b 且(1,)AEa，(2,)BFb 2AE BFab 4/14 当2ab时，22(2)22AE BFbbbb ；222bb的最小值为8434 ；AE BF的最小值为3，同理求出2ba时，AE BF的最小值为3 故答案为：3【考点】平面向量数量积的性质及其运算 9【答案】15【解析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为 9 克的事件总数，然后求解概率即可 解：编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、1 克砝码各一个，2 克砝码两个，从中随机选取三个，3 个数中含有 1 个 2；2 个 2，没有 2，3 种情况，所有的事件总数为：3510C，这三个砝码的总质量为 9 克的事件只有：5，3，1 或 5，2，2 两个，所以：这三个砝码的总质量为 9 克的概率是：21=105，故答案为：15【考点】古典概型及其概率计算公式 10【答案】3【解析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可 解：等比数列na的通项公式为1*nnmaqnN，可得1a1，因为11lim2nnnSa，所以数列的公比不是 1，1nnaq 5/14 可得，11111111limlimlim(1)12nnnnnnnnqqqqqq qqq 可得3q 故答案为：3【考点】数列的极限 11【答案】6【解析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的 a 值【解答】解：函数2()2xxf xax的图象经过点61,55P pQ q 则：pqPq226 112ap2aq5 5，整理得：222221222p qpqp qp qpqaqapaqapa pq，解得：，22p qa pq 由于：236p qpq，所以：236a，由于0a，故：6a 故答案为：6【考点】函数的图象与图象的变换 12【答案】23【解析】设11,A x y，22,B xy，11,OAx y，22,OBxy，由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，1AB，1122xy1xy122的几何意义为点 A，B 两点到 6/14 直线10 xy 的距离1d与2d之和，由两平行线的距离可得所求最大值【解答】解：设11,A x y，22,B xy，11,OAx y，22,OBxy，由222211221,1xyxy，121212x xy y，可得 A，B 两点在圆221xy上，且11 1 cos2OA OBAOB ，即有60AOB，即三角形OAB为等边三角形，1AB，1122xy1xy122的几何意义为点 A，B 两点 到直线10 xy 的距离1d与2d之和，显然 A，B 在第三象限，AB 所在直线与直线1xy平行，可设 AB：0 xyt，（0t），由圆心 O 到直线 AB 的距离|2td，可得22 112t，解得62t，即有两平行线的距离为6123222，即11221122xyxy的最大值为23，故答案为：23.7/14 【考点】基本不等式及其应用，点到直线的距离公式 二、选择题 13【答案】C【解析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出 a，接利用椭圆的定义，转化求解即可【考点】椭圆的性质 14【答案】A【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5L：简易逻辑【解析】“1a”“11a”，“11a”“1a或0a”，由此能求出结果【考点】充分条件，必要条件，充要条件 15【答案】D【解析】根据新定义和正六边形的性质可得答案【考点】排列、组合的实际应用 16【答案】B【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；56：三角函数的求值【解析】由题意得到：问题相当于圆上由 12 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6个单位后与下一个点会重合 我们可以通过代入和赋值的方法当(1)3f，33，0 时，此时得到的圆心角为3，6，0，然而此时0 x 或者1x 时，都有 2 个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当32x，此时旋转6，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B 故选：B【考点】函数的图象与图象的变换 8/14 三、解答题 17【答案】（1）圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为 2，圆锥的母线长为 4，圆锥的体积2222118 3242333Vrh（2）4PO，OA，OB是底面半径，且90AOB，M为线段AB的中点，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，(0 0 4)P，2 0 0A(，)，(0,2,0)B，(1,1,0)M，(0,0,0),O(1,1,4),(0,2,0)PMOB设异面直线PM与OB所成的角为，则|22cos618 2|PM OBPMOB 2arccos6 异面直线PM与OB所成的角的为2arccos6 【解析】（1）由圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，半径为 2，圆锥的母线长为 4 能求出圆锥的体积（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直 9/14 线PM与OB所成的角【考点】异面直线及其所成的角，旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的体积 18【答案】（1）2()sin22cosf xaxx，2()sin22cosfxaxx，f x（）为偶函数，()()fxf x，22sin22cossin22cosaxxaxx，2 sin20ax，0a （2）|314f，2asin2cos13124a，3a，2()3sin22cos3sin2cos212sin 216f xxxxxx，()12f x ，2sin 21 126x ，2sin 262x，2264xk 或522,64xkkZ 10/14 5xk24 或 13xk,kZ24,x 13x24或19x24或5x24 或11x24 【解析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出.（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出【考点】两角和与差的三角函数，二倍角的三角函数 19【答案】（1）由题意知，当30100 x 时，1800()29040f xxx，即265900 0 xx，解得20 x或45x，45100 x（，）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当030 x 时，()30%40(1%)4010 xg xxx；当30100 x 时，218013()290%40(1%)585010 xg xxxxxx；24010()13585010 xg xxx，当032.5x 时，g x（）单调递减；11/14 当32.5100 x 时，g x（）单调递增；说明该地上班族 S 中有小于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为 32.5%时，人均通勤时间最少【解析】（1）由题意知求出()40f x 时x的取值范围即可；（2）分段求出g x（）的解析式，判断g x（）的单调性，再说明其实际意义【考点】分段函数的应用 20【答案】（1）由题意可知：设(,2 2)B tt，则2(2)82BFttt，2BFt；（2）(2,0)F，2FQ，3t，则1FA，3AQ,(3,2)Q，设OQ的中点D，32D,22，302K a3322，则直线PF方程：3(2)yx，联立23(2)8yxyx，整理得：2320120 xx，解得：23x，6x（舍去），AQP的面积177 33236S；（3）存在，设2,8yPy，2,8mEm，则2281628PFyykyy，2168FQyky，12/14 直线QF方程为216(2)8yyxy，2216483(82)84Qyyyyy，24838,4yQy，根据FPFQFE，则22486,84yyEy，222488648yyy，解得：2165y，存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上，且2 4 5lP,55 【解析】（1）设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得BF；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线 PF 的方程，代入抛物线方程，即可求得 P 点坐标，即可求得AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线1PFFQkk，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据FPFQFE，求得E点坐标，则222488648yyy，即可求得P点坐标【考点】直线与抛物线的位置关系 21【答案】（1）数列 nb与na接近 13/14 理由：na是首项为 1，公比为12的等比数列，可得112nna，11112nnnba，则011111111222nnnnba ，*nN，可得数列 nb与na接近；（2）nb是一个与na接近的数列，可得11nnnaba ，数列na的前四项为：11a，22a，34a，48a，可得10,2b，21,3b，33,5b，47,9b，可能1b与2b相等，2b与3b相等，但1b与3b不相等，4b与3b不相等，集合1234|,iMx xb i，M中元素的个数3m 或 4；（3）na是公差为d的等差数列，若存在数列 nb满足：nb与na接近，可得11naand（），若0d，取nnba，可得110nnnnbbaad，则21bb,32bb，201200bb中有 200 个正数，符合题意；若0d，取11nban，则11111nnbaaann，*nN，可得11101nnbbnn，则21bb,32bb，201200bb中有 200 个正数，符合题意；若20d，可令21211nnba，221nnba，则2212211120nnnnbbaad ，14/14 则21bb,32bb，201200bb中恰有 100 个正数，符合题意；若2d，若存在数列 nb满足：nb与na接近，即为11nnnaba，11111nnnaba，可得111120nnnnbbaad，21bb,32bb，201200bb中无正数，不符合题意 综上可得，d的范围是(2,)【解析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得11nnnaba ，求得ib，1,2,3,4i 的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得na，讨论公差0d，0d，20d ，2d-，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围【考点】等差数列与等比数列的综合