2012年高考文科数学辽宁卷-答案.pdf

1/9 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】D【解析】21a bx，1x，故选 D。【提示】由题意，(1,1)a，(2,)bx，由数量积公式可得到方程21x，解此方程即可得出正确选项。【考点】向量的数量积 2.【答案】B【解析一】因为全集0 1,2,3,4,5,6,7,8,9U，集合,0 1 3,8,5A，集合,2 4 5,8,6B，所以2,4,6,7,9UA，0,1,3,7,9UB，所以(7 9)(),UUAB，故选 B【解析二】集合()()UUAB即为在全集U中去掉集合A和集合B中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选 B。【提示】由题已知全集0 1,2,3,4,5,6,7,8,9U，集合,0 1 3,8,5A，集合,2 4 5,8,6B，可先求出两集合A，B的补集，再由交的运算求出()()UUAB。【考点】集合的交集、补集运算 3.【答案】A【解析】11 i1 i1i1 i(1 i)(1 i)222，故选 A。【提示】由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项。【考点】复数代数形式的运算 4.【答案】B【解析】48111(3)(7)210aaadadad，210111()(9)210aaadadad，2104816aaaa，故选 B。【提示】利用等差数列的性质可得，21048aaaa，可求结果。【考点】等差数列的通项公式 2/9 5.【答案】C【解析】命题 p 为全称命题，所以其否定p应是特称命题，又2221()()()0f xf xxx，否定为2121()()()0f xf xxx，故选 C。【提示】由题意，命题 p 是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项。【考点】量词的命题的否定 6.【答案】A【解析】sincos2，2(sincos)2，sin21故选 A。【提示】由sincos2，两边同时平方，结合同角平方关系可求。【考点】三角函数中的倍角公式 7.【答案】C【解析】圆心坐标为(1,2)，将圆平分的直线必经过圆心，故选 C。【提示】将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由所求直线要将圆平分，得到所求直线过圆心，故将圆心坐标代入四个选项中的直线方程中检验，即可得到满足题意的直线方程。【考点】直线和圆的方程 8.【答案】B【解析】21ln2yxx，1yxx，由0y，解得x-11，又0 x，0 x 1，故选 B。【提示】由21ln2yxx得1yxx，由0y即可求得函数21ln2yxx的单调递减区间。【考点】利用导数公式以及用导数求函数的单调区间 9.【答案】D【解析】画出可行域，根据图形可知当5x，15y 时23xy最大，最大值为 55，故选 D。【提示】该类题通常可以先作图，找到最优解，求出最值，也可以直接求出可行域的顶点坐标，代入目标函数进行验证确定出最值。【考点】简单线性规划问题 10.【答案】D【解析】根据程序框图可计算得4s，1i；1s，2i；23s，3i；32s，4i；4s，5i；1s，6i，故选 D。【提示】此类题目如果数值较少也可直接算出结果，如果数值很多需要通过计算确定出周期再根据周期确定最后的结果。此题中数值的周期为 4.3/9 【考点】程序框图中的循环结构 11.【答案】C【解析】设线段AC的长为cmx，则线段BC的长为(12cm)x，那么矩形的面积为2m(12c)xx，由(12)20 xx，解得210 x。又012x，所以该矩形面积小于232cm的概率为23，故选 C。【提示】设ACx，则12BCx，由矩形的面积(12)20Sxx可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求。【考点】数模型的应用，不等式的解法，几何概型 12.【答案】C【解析】因为点 P，Q 的横坐标分别为 4，2，代人抛物线方程得 P，Q 的纵坐标分别为 8，2.由22xy，则212yx，yx，所以过点 P，Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4，2，所以过点 P，Q 的抛物线的切线方程分别为48yx，22yx，联立方程组解得1x，4y ，故点 A 的纵坐标为4，故选 C。【提示】曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。【考点】利用导数求切线方程的方法 第卷 二、填空题 13.【答案】12【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为4，3，1，圆柱的底面直径为 2，高位 1，所以该几何体的体积为3 4 1 1 1 12 。【提示】由三视图可知该几何体为上部是一个圆柱，底面直径为 2，高为 1，下部为长方体，长、宽、高分别为 4，3，1.分别求体积再相加即可。【考点】几何体的三视图，柱体的体积公式 14.【答案】2【解析】212()5nnnaaa，22(1)5nnaqa q，22(1)5qq，解得2q 或，12q。因为数列为递增数列，且10a，所以1q，所以2q。【提示】由 na为递增数列且10a 可知1q，由已知可得22(1)5nnaqa q，可求q。【考点】等比数列的通项公式 15.【答案】2 3 4/9 【解析】由双曲线的方程可知1a，2c，12|22PFPFa，221122|2|4PFPFPFPF，12PFPF，22212(2)8PFPFc，122|4PFPF，212(|)8412PFPF，12|2 3PFPF。【提示】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差积和的转化。【考点】双曲线的定义，标准方程 16.【答案】3 3【解析】点 P，A，B，C，D 为球 O 内接长方体的顶点，球心 O 为该长方体对角线的中点，所以OAB的面积是该长方体对角面面积的14，2 3AB，2 6PA，6PB，所以OAB的面积为12 36=3 34。【提示】该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱锥转化为长方体来考虑就容易多了。【考点】组合体的位置关系 三、解答题 17.【答案】（1）解：由已知2BAC，180ABC，解得60B，所以1cos2B。（2）解 法 一：由 已 知2ba c，及1cos2B，根 据 正 弦 定 理 得2s i ns i ns i nBAB，所 以23s i ns i n1c o s4ACB。解法二：由已知2bac，及1cos2B，根据余弦定理得22cos2acacBac，解得ac，所以60BAC，故3sinsin4AC。【提示】（1）在ABC中，由角A，B，C成等差数列可知60B，从而可得cosB的值；（2）解法一：由2bac，1cos2B，结合正弦定理可求得sinsinAC的值；解法二：由2bac，1cos2B，根据余弦定理22cos2acacBac可求得ac，从而可得ABC为等边三角形，从而可求得sinsinAC的值。【考点】数列与三角函数的综合 18.【答案】（1）证法一：连结AB，AC，由已知90BAC，ABAC，三菱柱ABCABC 是直三菱柱，所以M是AB的中点。又因为N是B C 的中点，所以MNAC。又MN 平面AACC，因此MN 5/9 平面AACC。证法二：取A B 中点P，连结MP，NP。而M，N分别为AB，B C 的中点，所以MP平面AACC，PN平面AACC。又MPNPP，因此平面MPN平面AACC，有MN 平面MPN。因此MN平面AACC。（2）证明：连结BN，由题意ANBC，平面ABC 平面BBCCBC，所以AN平面BNC。又112A NB C，故111226AMNCNA MCNA BCANBCVVVV。【提示】第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明；第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键，也可以采用割补发来球体积。【考点】空间中的线面平行的判定，棱锥体积的计算 19.【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，在抽取的 100 人中，“体育迷”为 25 人，从而完成 2 2 列联表如下：非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 将 2 2 列联表中的数据代入公式计算，得 222112212211212()100(30 1045 15)1003.03075 25 45 5533n n nn nn n n n。因为3.0303.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关。（2）解：由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为 5 人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为 12132311122122313212(,),(,),(,),(,),(,),(,)(,)(,),(,),(,)a aa aa aa ba ba ba ba ba bb b，其中ia表示男性，1,2,3i。jb表示女性，1,2j。由 10 个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的。用A表示“任选 2 人中，至少有 1 人是女性”这一事件，则 6/9 11122122313212(,),(,)(,),(,)(,),(,),(,)Aa ba ba ba ba ba bb b，事件A由 7 个基本事件组成，因而7()10P A。【提示】（1）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出2，与 3.841 比较即可得出结论；（2）由题意，列出所有的基本事件，计算出事件“任选 3 人，至少有 1 人是女性”包含的基本事件数，即可计算出概率。【考点】统计中的频率分布直方图，独立性检验，古典概型 20.【答案】（1）解：设00(,)A yy，则矩形ABCD的面积004|Sxy。由220019xy得220019xy ，从而2222220000019919924xx yxx。当2092x，2012y 时，maxS6。从而5t 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 6.（2）解：由00(,)A yy，00(,)B yy，1(3,0)A，2(3,0)A，知直线1AA的方程为00(3)3yyxx，直线2A B的方程为00(3)3yyxx，由得22020(9)9yyxx。又点00(,)A yy在椭圆C上，故220019yy。将代入得221(3,0)9xyxy。因此M的轨迹方程为221(30)9xyxy，。【提示】（1）设00(,)A yy，则矩形ABCD的面积004|Sxy。由220019xy得220019xy ，从而2222000019xx yx，由此可求矩形ABCD的面积的最大值；（2）由00(,)A yy，00(,)B yy，1(3,0)A，2(3,0)A，确定直线1AA的方程，直线2A B的方程，利用220019xy ，即可求得直线1AA与直线2A B交点M的轨迹方程。【考点】直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法 21.【答案】（1）证法一：记3()ln1(1)2g xxxx，则当1x 时，113()022g xxx。7/9 又(1)0g，有()0g x，即3()(1)2f xx。证法二：由均值不等式，当1x 时，21xx，故122xx。令()ln1k xxx，则(1)0k，1()10k xx，故()0k x，即ln1xx。由得，当1x 时，3()(1)2f xx。（2）证法一：记9(1)()()5xh xf xx。由（1）得 222321154()(5)22542(5)5544(5)(5)216.4(5)h xxxxxxxxxxxxx x 令3()(5)216g xxx，则当13x时，3()3(5)2160g xx，因此()g x在(1,3)内是递减函数。又因(1)0g，得()0g x。于是，当13x时，9(1)()5xf xx。证法二：记()(5)()9(1)h xxf xx。则当13x时，由（）得，2()()(5)()93111(1)(5)9=3(1)(5)(2)1822213(1)(5)(2)18221(7325)40.h xf xxfxxxx xxxxxxxxx xxxxxx 因此，()h x在(1,3)内单调递减，又(1)0h，所以()0h x，即9(1)()5xf xx。【提示】（1）（解法一）记3()ln1(1)2g xxxx，可得到113()022g xxx，从而()g x为减函数，又(1)0g，当1x 时，()(1)g xg，问题解决；（解法一）利用均值不等式，可证得，当1x 时，122xx，令()ln1k xxx，同理可证()k x为减函数，于是有ln1xx，由可证得结论；（2）记()(5)()9(1)h xxf xx，可求得()0h x，从而()h x在(1,3)内是递减函数，又(1)0h，得 8/9 ()0h x，从而证得结论。【考点】导数公式，函数的单调性与最值 22.【答案】（1）由AC与O相切于A，得CABADB，同理ACBDAB，所以ACBDAB。从而ACABADBD，即AC BDAD AB。（2）由AD与O相切于A，得AEDBAD，又ADEBDA，得EADABD。从而AEADABBD，即AE BDAD AB。结合（1）的结论，ACAE。【提示】（1）由AC与O相切于A，得CABADB，同理ACBDAB，即可得到ACBDAB，进而得到结论；（2）由AD与O相切于A，得AEDBAD，再结合ADEBDA，得EADABD，最后结合第一问的结论即可得到ACAE成立。【考点】圆的切线的性质，三角形相似的判断与性质 23.【答案】（1）解：圆1C的极坐标方程为2，圆2C的极坐标方程为4cos。解24cos得2，3，故圆1C与圆2C交点的坐标为2,3，2,3。注：极坐标系下点的表示不唯一。（2）证法一：由cossinxy，得圆1C与2C交点的直角坐标分别为(1,3)，(1,3)。故圆1C与2C的公共弦的参数方程为1(33)xtyt。（或参数方程写成1(33)xyyy）证法二：将1x 代入cossinxy，得cos1，从而1cos。于是圆1C与2C的公共弦的参数方程为1tan33xy。9/9 【提示】本题要注意圆221:4Cxy的圆心为(0,0)，半径为12r，圆222:(2)4Cxy的圆心为(2,0)，半径为22r，从而写出它们的极坐标方程；对于两圆的公共弦，可以先求出其代数形式，然后化成参数形式，也可以直接根据直线的参数形式写出。【考点】点的极坐标表示，圆的极坐标方程，参数方程的表示及参数方程与一般方程的转换 24.【答案】解：（1）由|1|3ax 得42ax。又()3f x 的解集为|21xx，所以当0a 时，不合题意。当0a 时，42xaa，得2a。（2）解：记()()22xh xf xf，则111()4312112xh xxxx ，所以|()|1h x，因此1k。【提示】第（1）问，要针对a的取值情况进行讨论，第（2）问要针对()22xf xf的正负进行讨论从而用分段函数表示，进而求出k的取值范围。平时复习中，要切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用。【考点】分段函数，不等式的基本性质，绝对值不等式及其运用