【河南省郑州市、平顶山市、濮阳市】2017年高考二模理科数学试卷-答案.pdf

-1-/16 河南省郑州市、平顶山市、濮阳市河南省郑州市、平顶山市、濮阳市 2017 年年高考高考二模二模理科理科数学试卷数学试卷 答答 案案 一、选择题 15AABDB 610ACCBD 1112CB 二、填空题 133:1；14112；155；166 三、解答题 17（I）解：*111().2nnSannN1n 时，21222a-，解得28a 2n时，11111()22nnnnnaSSanan，化为：+132nnaa，可得：+113(1)nnaa，1n 时，2113(1)9aa -，数列1na 是等比数列，首项为3，公比为 3 13nna ，即1 3nna （II）证明：3log(1)nnban，211 11()22nnb bnn 数列21nnb b前n项和为11111111111111(1.)(1)2324351122212nTnnnnnn323342(1)(2)4.nnn3.4nT 18证明：（I）连接DE，,D E分别是,AB BC的中点，1,2DEAC DEAC -2-/16 F是11AC的中点，1A F 1112AC，又11ACAC，且11,ACAC 1AFDE，且1A F DE=,四边形1ADEF是平行四边形，1EFAD，又111,EFACD ADACD平面平面，1EFACD平面（II）过B作1BMA D交延长线于M，连接CM，ABC是等边三角形，CDAB，又1AAABC 平面，CDABC平面，1AACD，CDABCD平面，又BMABCD平面，CDBM，又1CDACD 平面，11ADACD 平面，1CDADD，1BMACD 平面，1BCMBCACD为直线与平面所成的角，设直三棱柱棱长为 1，则55BM，5sin5BMBCMBC 19解：（）0.1(0.0020.0090.0220.0240.0080.002)0.033,a-（）2222300.0220()()0.09(10)S 022+0 033+102 024+202 008+302 008=150 所以为质量指标值Z服从正态分布(200,150)N，-3-/16 所以(187.8212.2)(200 12.2200 12.2)0.6826PZPZ ，故(187.8,212.2)p上的频率为 06826；（）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系0.4,2050.880,205x xyxx，则0.4(175 185 195205)y+08 21580+08 2258008 23580=604 20解：（）由题意，a，2mb，2mc，22ca；（）设1122(,),(,)A x yB xy，代入作差，整理可得12121212()()2()()0 xxxxyyyy 依题意，()2,1M是AB的中点，12124,2,1ABxxyyk 从而 直线AB的方程为1(2)yx ，即30 xy 与椭圆方程联立，可得2312180 xxm，12|848|2.3mABxx CD垂直平分AB 直线CD的方程为12yx，即10 xy 代入椭圆方程，整理得23420 xxm 又设3344(,),(,)C xyD xy，CD 的中点为00(),M xy，则34,x x是方程的两根，3443xx，21(,)33M 于是由弦长公式可得342416|2|9mCDxx 点M到直线AB的距离为1|3|4 2332d 于是，由式及勾股定理可得22222|22ABCDMAMBd，此时|ABCD 故,A B C D四点均在以M为圆心，2CD为半径的圆上 21解：（）()ln,0,()ln,()01,f xxxx xfxxfxx 求导令，解得：()0,1,()001fxxfxx则当 解得：当 时,解得：，-4-/16 ()(1,),(0,1)f x单调递增区间为单调递减区间为，由2()()(1,)(0,1)g xxax aR在单调递增,在单调递减，则()g x开口向上，对称轴1x，则0a，a的取值范围(0,)；（）（）依题意，函数2()()()ln(0,)h xf xxaxxxxx-g的定义域为，求导()lnh xxax，则方程()0(0,)h x在有两个不同根，即方程ln0(0,)xax在有两个不同根（解法一）转化为，函数ln(0,)yxyax与函数的图象在上有两个不同交点，如图 可见，若令过原点且切于函数lnyxk图象的直线斜率为，只须0ak 6 分 令切点00,l()nA xx，则0000000lnln11|,x xxxkykxxxx又，解得，011,exk于是，10ea；8 分 解法二：令()ln()g xxaxg x，从而转化为函数有两个不同零点，求导11()(0)axg xaxxxx 若0a，可见()(0,)g x在上恒成立，()(0,)g x在单调增，-5-/16 此时()g x不可能有两个不同零点5 分 若0,0()0,()0,axg xxg x 在 时,在 时,11()(0,)()g xaa在上单调增,在，上单调减，从而11()()()ln1g xg xgaa极大值的极大值,，6 分 又在0(),()xg xxg x 时,在时,，于是只须：1()0,ln1 0g xa极大值 即，10ea，7 分 综上所述，10ea；8 分（）证明：由（i）可知12,ln0 x xxax分别是方程的两个根，即1122,lnln xaxxax，不妨设12xx，作差得，11212212lnln(),xxxa xxaxxx即，原不等式2121212elnln2,()2xxxxa xx 等价于 则，1122122()lnxxxxxx，令12xtx，则1122122(2(1)1,lnln1)xxxxxttttx则,，10 分 设222(1)(1)()ln,1,()01(1)ttg tttg ttt t，函数()(0,)g t在上单调递增，()(1)0g tg，即不等式2(1)ln1ttt，成立，故所证不等式212exx 成立 -6-/16 22解：（I）直线13sin()0,(sincos)0,30322lyx的极坐标方程是展开可得：化为：曲线222cos(),(2)4,(0,2),222sinxCxyCry的参数方程是为参数 消去参数 可得：圆心半径 圆心22|20|11(3)Cld 到直线的距离，直线222222 212 3lCrd被曲线 截得的弦长（II）设(,)(2,2)QCP x yOQQxy圆 上的任意一点,为线段的中点,则，代入圆2222(2)(22)4,230Cxyxyy 的方程可得：化为：，可得22 cos30，即为各弦中点轨迹的极坐标方程 23解：（）当20()()21341 0|,af xg xxxxx时,由得两边平方整理得，解得1311,(,1)3xx-或 原不等式的解集为，（）由11,21()()21()|21|,(|)31,021,|,0|xxf xg xaxxh xxxh xxxxx 得 令即，故111()()222minh xha,故可得到所求实数 的范围为,-7-/16 河南省郑州市、平顶山市、濮阳市河南省郑州市、平顶山市、濮阳市 2017 年高考理科数学二模试卷年高考理科数学二模试卷 解解 析析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1【考点】虚数单位 i 及其性质；集合中元素个数的最值【分析】直接利用复数的幂运算，化简求解即可【解答】解：复数 f（n）=in（nN*），可得 f（n）=，kZ 集合z|z=f（n）中元素的个数是 4 个 故选：A【点评】本题考查复数单位的幂运算，基本知识的考查 2【考点】对数值大小的比较【分析】利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解【解答】解：x=305=1，0=log31y=log32log33=1，z=cos20，zyx 故选：A【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要注意指数函数、对数函数、三角函数的性质的合理运用 3【考点】程序框图【分析】通过观察程序框图，分析为填判断框内判断条件，n 的值在执行运算之后还需加 1，故判断框内数字应减 1，按照题意填入判断框即可【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，第 1 次循环，S=1，n=1+1=2，第 2 次循环，S=1+，n=2+1=3，-8-/16 当 n=2018 时，由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出 S 的值 所以，判断框内的条件应为：n2017 故选：B【点评】本题考查程序框图，通过对程序框图的分析对判断框进行判断，属于基础题 4【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为 120，又由侧视图知几何体的高为 4，底面圆的半径为 2，把数据代入圆锥的体积公式计算【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为 120，又由侧视图知几何体的高为 4，底面圆的半径为 2，几何体的体积 V=22 4=故选：D【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量 5【考点】命题的真假判断与应用【分析】举出反例=，可判断 A；举出正例=，=，可判断 B；求出向量的投影，可判断 C；根据充要条件的定义，可判断 D【解答】解：当=时，函数 f（x）=sin（2x+）=cos2x 是偶函数，故 A 为假命题；=，=R，使 cos（+）=cos+cos=1，故 B 为真命题；向量=（2，1），=（1，0），则 在 方向上的投影为2，故 C 为假命题；“|x|1”“1x1”是“x1”的充分不必要条件，故 D 为假命题，故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查奇数的奇偶性，特称命题，向量的投影，充要条件等知识点，难度中档 6【考点】几何概型【分析】设所求的事件为 A，由方程 ax2+x+b=0 有两个相异根，即=1ab0 求出 ab 范围，判断出是一个几何概型后，在坐标系中画出所有的实验结果和事件 A 构成的区域，再用定积分求出事件 A 构成的区域的面积，代入几何概型的概率公式求解 -9-/16 【解答】解：设事件 A=使函数 f（x）=ax2+x+b 有两个相异零点，方程 ax2+x+b=0 有两个相异根，即=1ab0，解得 ab1，在1，e上任取实数 a，在0，2上任取实数 b，这是一个几何概型，所有的实验结果=（a，b）|1ae 且 0b2，面积为 2（e1）；事件 A=（a，b）|ab1，1ae 且 0b2，面积 S=1，事件 A 的概率 P（A）=故选 A【点评】本题考查了几何概型下事件的概率的求法，用一元二次方程根的个数求出 ab 的范围，用定积分求不规则图形的面积，考查了学生综合运用知识的能力 7【考点】数列递推式【分析】an+1=anan1（n2），a1=m，a2=n，可得 an+6=an即可得出【解答】解：an+1=anan1（n2），a1=m，a2=n，a3=nm，a4=m，a5=n，a6=mn，a7=m，a8=n，an+6=an 则 S2017=S336 6+1=336（a1+a2+a6）+a1=336 0+m=m，故选：C【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 8【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得 A（2，4），-10-/16 z=2|x2|+|y|=2x+y+4，化为 y=2x+z4 由图可知，当直线 y=2x+z4 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 4 故选：C【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 9【考点】平面向量数量积的运算【分析】可画出图形，代入=，同样方法，代入，进一步化简即可求出的值【解答】解：如图，=0 故选 B【点评】考查向量加法和减法的几何意义，向量的数量积的运算 10【考点】排列、组合的实际应用 -11-/16 【分析】由题意，末尾是 2 或 6，不同的偶数个数为=120；末尾是 4，不同的偶数个数为=120，即可得出结论【解答】解：由题意，末尾是 2 或 6，不同的偶数个数为=120；末尾是 4，不同的偶数个数为=120，故共有 120+120=240 个，故选 D【点评】本题考查排列、组合知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题 11【考点】双曲线的简单性质【分析】设 P（m，n），则n2=1，即 m24n2=4，求出渐近线方程，求得交点 A，B，再求向量 PA，PB 的坐标，由向量的模，计算即可得到【解答】解：设 P（m，n），则m2=1，即 n24m2=4，由双曲线x2=1 的渐近线方程为 y=2x，则由，解得交点 A（，）；由，解得交点 B（，）=（，），=（，），则有|PA|PB|=故选：C【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的模求法，考查运算能力，属于中档题 12【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由于 f（x）的图象和 y=kx 的图象都过原点，当直线 y=kx 为 y=f（x）的切线时，切点为（0，0），求出 f（x）的导数，可得切线的斜率，即可得到切线的方程，结合图象，可得 k 的范围【解答】解：函数 f（x）的图象恒在直线 y=kx 的下方，由于 f（x）的图象和 y=kx 的图象都过原点，-12-/16 当直线 y=kx 为 y=f（x）的切线时，切点为（0，0），由 f（x）的导数 f（x）=，可得切线的斜率为=，可得切线的方程为 y=x，结合图象，可得 k 故选：B 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和确定原点为切点，结合图象是解题的关键，考查运算能力，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】作图分析【解答】解：如图：设正方体的棱长为 a，则正方体的表面积为 S=6a2；正四面体的边长为 则其表面积为 4sin60=2a2；则面积比为 6a2：2a2=：1 故答案为：1 -13-/16 【点评】考查了学生的空间想象力 14【考点】二项式系数的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】直接利用幂函数求出 a 的值，然后求出二项式展开式中所求项的系数【解答】解：幂函数 y=xa的图象过点（3，9），3a=9，a=2，=（）8的通项为 Tr+1=（1）rC8r28rx，令r8=1，解得 r=6，展开式中 x 的系数为（1）6C86286=112，故答案为：112【点评】本题考查二项式定理的应用，幂函数的应用，考查计算能力 15【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】利用过 P（1，0）作直线与抛物线 y2=8x 相交于 A，B 两点，且 2|PA|=|AB|，求出 B 的横坐标，即可求出点 B 到抛物线的焦点的距离【解答】解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），设 A，B 在直线 x=1 的射影分别为 D，E 2|PA|=|AB|，3（x1+1）=x2+1 即 3x1+2=x2，3y1=y2，AB 两点在抛物线 y2=8x 上 3=，解得 x1=，x2=3，点 B 到抛物线的焦点的距离为 BF=3+2=5 故答案为 5【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，解题的关键是利用抛物线的定义确定 B 的横坐标 16【考点】正弦定理【分析】设 AB=AC=2x，三角形的顶角，则由余弦定理求得 cos 的表达式，进而根据同角三角函数基本关系求得 sin，最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式，根据一元二次函数的性质求得面积的最大值 -14-/16 【解答】解：设 AB=AC=2x，AD=x 设三角形的顶角，则由余弦定理得 cos=，sin=，根据公式三角形面积 S=absin=2x2x=，当 x2=5 时，三角形面积有最大值 6 故答案为：6 【点评】本题主要考查函数最值的应用，根据条件设出变量，根据三角形的面积公式以及三角函数的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质即可求出函数的最值，考查学生的运算能力运算量较大 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17【分析】（I）Sn=an+1+n+1（nN*）n2 时，an=SnSn1=an+1+n+1，化为：an+1=3an2，可得：an+11=3（an1），利用等比数列的通项公式即可得出（II）bn=log3（an+1）=n，可得=再利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可证明 【点评】本题考查了“裂项求和”方法、等比数列的通项公式、数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（I）连接 DE，通过证明四边形 A1DEF 是平行四边形得出 EFA1D，从而 EF平面 A1CD；（II）过 B 作 BMA1D 交延长线于 M，连接 CM，则可证 BM平面 A1CD，即BCM 为所求线面角，设三棱柱棱长为 1，利用三角形相似求出 BM 即可得出 sinBCM=【点评】本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题 19【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】（）根据频率分布直方图即可求出 a 的值，（）根据正态分布的定义即可求出答案，（）根据分段函数的关系式代值计算即可 -15-/16 【点评】本题考查了频率分布直方图和正态分布以及分段函数的问题，属于基础题 20【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（）由题意，a=，b=，c=，即可求椭圆的离心率；（）CD 的中点为 M，证明|MA|2=|MB|2=d2+=，即可得出结论【点评】本题综合考查直线和椭圆的位置关系，难度较大，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用 21【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（）求导，求得 f（x）的单调区间，由二次函数的性质即可求得 a 的取值范围；（）（i）求导 h（x）=lnxax，由方程 lnxax=0 在（0，+）有两个不同根，方法一：根据函数图象直线 y=ax 与 y=lnx 有两个交点，求得 y=lnx 的切点，即可求得 a 的取值范围；方法二：构造函数 g（x）=lnxax，求导，根据函数的单调性，即可求得 a 的取值范围；（ii）由题意可知：x1，x2，分别是方程 lnxax=0 的两个根，则只需证明 lnt，t1，构造辅助函数，根据函数的单调性，求得 g（t）g（1）=0，即可证明 lnt，成立，则 x1x2e2【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，利用导数求函数的最值，考查转化思想，分析法证明不等式成立，属于中档题 四、请考生在第四、请考生在第 2223 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用 2B 铅笔在铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22【分析】（I）直线 l 的极坐标方程是 sin（）=0，展开可得：=0，化为直角坐标方程 曲线 C 的参数方程是（为参数），利用平方关系消去参数 可得普通方程，求出圆心 C 到直线 l 的距离 d，可得直线 l 被曲线 C 截得的弦长=2（II）设 Q 圆 C 上的任意一点，P（x，y）为线段 OQ 的中点，则 Q（2x，2y），代入圆 C 的方程可得各弦中点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、弦长公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数 -16-/16 【分析】（）当 a=0 时，由不等式可得|2x+1|x|，两边平方整理得 3x2+4x+10，解此一元二次不等式求得原不等式的解集（）由 f（x）g（x）得 a|2x+1|x|，令 h（x）=|2x+1|x|，则 h（x）=，求得 h（x）的最小值，即可得到从而所求实数 a 的范围【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题