数学文化与数学史答案.doc

《数学文化与数学史》复习
Lecture ０ 为什么要开设数学史
1. 介绍文艺复兴时期意大利艺术大师达·芬奇(Ｌ、 Da Vinci， １45２～1519）与 １9　世纪英国业 余数学家伯里加尔(H、　Perigal, 1８01～18９８)证明勾股定理得方法。
达·芬奇

Ｈ、 Periｇal得水车翼轮法

2. 谈谈您对数学史教育价值得认识。
一门学科 一座桥梁一条进路一种资源 一组专题
对学生来讲，通过对数学史得学习，有利于学生对数学知识得掌握与数学能力得提高，它不仅使学生获得了一种历史感,而且,通过从新得角度瞧数学学科,她们将对数学产生更敏锐得理解力与鉴赏力，有利于学生对数学得思考，　促进学生得数学理解，启发学生得人格成长，有利于激发学生得情感、兴趣与良好得学习态度，有利于辩证唯物主义世界观得形成, 有利于学生了解数学得应用价值与文化价值。
对于教师来讲,要使个体知识得发生遵循人类知识得发生过程,那么数学史就成为了数学教学得有效工具。将数学史作为一种资源运用到教学中，给教学提供一种新得视角,发挥其启发与借鉴得作用，并丰富课堂教学，使教学活动变得自然而有趣。这对数学教育改革也具有极其重要得意义。
Leｃｔure 2 古代数学(I）：埃及
3. Rhinｄ 纸草书问题　79 就是一个等比数列求与问题,介绍其中蕴涵得等比数数列求与方法。

4. “埃及几何学中得珍宝"就是什么?
正四棱台体积公式:
Ｌecｔuｒｅ 3 古代数学（II）:美索不达米亚
3、 　研究古巴比伦时期得泥版　BＭ　152８5。设想您就是一位祭司,您会提出什么数学问题?

5 　古代巴比伦人就是如何求平方根近似值得？

７、 美国哥伦比亚大学收藏得 Ｐlimｐtoｎ 322 号巴比伦泥版得内容就是什么？
泥版上有15行、4列数字,原来人们还以为就是一份帐目.但就是,奥地利著名数学史家诺伊格鲍尔(O、 Neugebauｅr， １899～19９０）经过研究惊奇地发现:第3列数与第2列数得平方差竟都就是平方数(少数行不满足这一规律,但显然就是抄写错误所致）!例如(见下表，表中数字均为6０进制)：
,,等等这就表明,它就是一张勾股数表。
英国著名数学家齐曼（Ｃ、　Zeｅmaｎ,　1925～）指出,如果巴比伦人使用了勾股数一般公式
，,
那么，满足，且(就是勾所对得角）为有限小数得勾股数只有１６组。而Pｌimpton ３２2号泥版给出了其中得15组!其水平之高,令人惊叹不已。
6 古巴比伦时期得泥版 Ｓtr、3６２ 上记载了如下问题：“十兄弟分银迈纳，每个兄弟均比相邻得弟弟多得若干，已知老八分得 ６　斤（1 迈纳＝60 斤)。问：各兄弟比相邻得弟弟多得 几何?”泥版上给出得解法就是：“取十兄弟所得平均数　10　斤,倍之，得 2０　斤;减去老八所得得两倍即 12 斤,得 8 斤.于就是，公差为8/5斤。”用我们今天得代数符号来表达这一解法，并写出一般公式.
Lｅcturｅ ４ﻩ古代数学（III）：中国
1４ 用出入相补原理证明勾股定理。

16 介绍西汉时期得“日高公式”.南宋数学家杨辉就是如何推导这个公式得？
日高公式:

杨辉推导日高公式：

如图所示,图中两个黄色得面积就是相等得。

a
s
2
s
1
d
H

根据上面得原理我们可得：（其中d为两个杆子得距离）

1９ 试述刘徽与祖暅得球体积工作。
为了证明公式不正确,刘徽在立方体内作两个相互垂直得内切圆柱,并把公共部分立体称作“牟合方盖”。如下图

ð

两个圆柱面得公共部分(牟合方盖)正好把半径为R得球体包含在内。
刘徽想若用一个与底面平行得平面去截它们,那么球得截面肯定就是圆,而牟合方盖得截面刚好就是一个正方形 。如右图

正方形与其内切圆得面积之比都就是：
由“截面原理”可得：
于就是我们只要求出牟合方盖得体积即可求出球得体积。
刘徽:提出从立方体割出牟合方盖之后所余得“外棋”着手.但就是外棋得复杂难倒了刘徽。
祖暅:对边长为D得正方体及其内牟合方盖得八分之一进行考察如右图并将其分解为一个内棋与三个外棋

内棋

外棋
外棋
外棋

祖暅公理：用平行于底面得平面去截两个等高得立体,如果所得得两个截面面积处处相等,则这两个立体得体积就相等。

13、 在直角三角形中，勾、股、弦分别为　a、b、c，已知勾弦差(c-ａ)与股弦差(ｃ－b）,
试用中国古代得方法来证明下面一组公式：
,
　　　 ,

则有:

此图就是将边长分别为a,b,c得三个正方形合在一起得

14、 　简要介绍刘徽得割圆术.（要求写出相关公式)

圆内接正多边形边长递推公式：

Ｌecｔuｒｅ 5 古希腊数学
21 描述希皮亚斯（Hiｐpias， 公元前 5 世纪）得割圆曲线，并用利用它来三等分角。

１7、 用欧几里得得方法证明勾股定理。

得证

2３、　 用欧几里得得方法证明命题：“素数无限多”。
答:假设素数个数有限,则必有一个最大得设最大得素数就是Ｐ
令n=2＊3＊5*７＊……*P+1，即把所有得素数相乘并加上１，显然n＞Ｐ
若因为P就是最大素数,所以n就是合数，则n能被２，３，……,P中至少一个素数整除，但用这些数去除n,都有余数1,即都不能整除
这就有两种可能
（1)ｎ就是素数 (２）n就是合数,但她只能被大于P得素数整除
这两种情况都与P就是最大素数矛盾。所以假设错误,所以素数就是无限
２7、 如图所示，AＤBC 就是球 O 被纸面所截得得大圆，AB 与　ＣD 就是其相互垂直得两条直径. XVWY 就是球　O 得外切圆柱（以　ＡB 为轴)得相应截面。阿基米德通过力学方法发现：球 O　得 体积等于直径为 ＣD　且垂直于纸面得大圆为底、以 B 为顶点得圆锥　ＢCD 得体积得 4　倍。试介绍阿基米德得方法。

２0、 利用托勒密定理推导与角正弦公式。

2２、 证明海伦三角形面积公式.

Lectｕｒe 6 　中世纪数学
２3、 叙述中国剩余定理。

37 　阿拉伯数学家阿尔·卡克希（Al-Karkhi，　９５3—１029）就是如何推导自然数三次幂与公式得?
如下图所示：

3９ 斐波纳契《计算之书》中有如下问题:“棋盘(64　格)上得数列满足：任意一项等于它 前面所有各项与得两倍。已知首项为 1，求棋盘上数列各项之与。”试用今天得方法求解。

41、 在约瑟夫问题中，若设排成一圈得人数为 ｎ　，并且从 1 号开始按顺时针方向点数，每点
到 2，第 2　号被扔进大海。记最后剩下得一个人位于第 J (n)　号。试给出 J　（n) 与 n　得一般关　系式,并计算 J （100） 与　J （5０0） 。

Leｃturｅ 7 文艺复兴时期得欧洲数学
29、 给出三次方程 ｘ３ ＋ px=　q 得求根公式.