2021艺体生高考数学一轮复习 专题09 指数函数对数函数以及幂函数(解析版).pdf

专题专题 0909 指数函数对数函数以及幂函数指数函数对数函数以及幂函数一、指数函数的图象与性质yaxa10a0 时，y1；x0 时，性质0y10a0 时，0y1；x1(7)在(，)上是减函数图象(1)定义域：(0，)(2)值域：R性质(3)过定点(1,0)，即 x1 时，y0(4)当 x1 时，y0当 0 x1 时，y1 时，y0当 0 x0(7)在(0，)上是减函数m（1）aan；mn（2）logaM logaN logaMN；logaM logaN loga（3）logaN nlogaNa 0,a 1,N 0；nM；N（4）换底公式：logab logcb；logca进而有两个推论：logab 四、方法与技巧1、指对比较大小n1（令c b）；logmNnlogaN；amlogba（1）知识反思：需要熟悉指数与对数函数的单调性。（2）解题反思：问题为比较两个数值得的大小，常规方法为作差法；而问确从函数思想出发，构造了两个指数函数，利用单调性从而比出数值的大小，而在（3）问中，问题层层推进，进而变式，引入中间量的方法，解决不同底数幂的大小比较问题，体现了数学思维的灵活性。（3）推而广之：比较两个数值的大小，在后续的对数函数、幂函数及三角函数学习中也有类似的问题出现，其解决问题的基本思想为函数思想，即运用对应函数的函数性质进行大小比较；2、解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数是 a(0,1)，还是 a(1，)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.例 1、(2019 常州期末）函数 y 1lnx的定义域为_【答案】(0，e【解析】由题得 1lnx0，lnx1，得 00.变式 1、(2019 镇江期末）函数 f(x)lg（3x）的定义域为_【答案】(，23x0，x0，即 x2，所以函数 f(x)lg(2x)的定义域为(，2)例 2、(2018 苏州期末）已知 4a2，logax2a，则正实数 x 的值为_1【答案】211111【解析】：由 4 2，得 2 2，所以 2a1，即 a2.由 log2x1，得 x22.a2a1变式、(2017 徐州、连云港、宿迁三检）如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y13logax，y2 2logax和y3logax(a1)的图象上，则实数a的值为【答案】2【解析】设A(t,3logat)（t 0），因为正方形ABCD的边长为 2，所以B(t,2logat)，C(t2,2logat)，t 2t2t 2t2t 2 0则，即，解之得，即所求的实数a的值为23logat 2logat 2logat 2a 2例 3、2.已知x ln，y log52，z e【答案】y z x【解析】x lnlne1，0 log52 log55 1212，则11,即y0,；221 e e01111,即z,1，yzx.2e42变式 1、已知定义在R上的函数fx1的图像关于x 1对称，且当x0时，fx单调递减，若a flog0.53,b f0.51.3,c f0.76,则a,b,c的大小关系是【答案】c a b【解析】定义在R上的函数fx1的图像关于x 1对称，函数fx为偶函数，log0.53 log0.51 0，flog0.53 flog23，1 log22 log23 log24 2当x0时，fx单调递减，c a b，aex，x1，例 4、(2018 苏锡常镇调研）已知函数 f(x)(e 是自然对数的底)若函数 yf(x)的最小4xx，x1值是 4，则实数 a 的取值范围为_【答案】e4，)f(x)minf(2)4.所以当 x1 时，aex4 恒成立【解析】解法 1 1 在 x1 时，转化为 aex4 对 x1 恒成立 因为 ex4 在(，1)上的值域为(4，e4)，所以 ae4.44解法 2 2 当 xae，当 x1 时，f(x)x 4，当且仅当 x，即 x2 时，取“”，xx故函数 f(x)的值域是e4，).解后反思 解法 1 中，因为 ex4 在 x0 时，f(x)ex1，则 f(ln2)的值为_【答案】3【解析】因为 f(x)为奇函数，所以 f(ln2)f(ln2)(eln21)(21)3.1x4、(2017 南京学情调研）已知 f(x)，g(x)分别是定义在 R R 上的奇函数和偶函数，且 f(x)g(x)2.若存在1x02，1，使得等式 af(x0)g(2x0)0 成立，则实数 a 的取值范围是_5 2【答案】2 2，2【解析】思路分析 由于所给出的是一个函数方程，因此，根据函数的奇偶性，可以得到另外一个函数方程，从而可求出 f(x)，g(x)的解析式，通过将等式 af(x0)g(2x0)0 中的 a 分离出来，转化为求分离之后的函数的值域问题1x因为 f(x)g(x)所以 f(x)g(x)2x.又因为 f(x)，g(x)分别为奇函数、偶函数，所以f(x)g(x)2，2x2x2x2xx2，由此解得 f(x)，g(x)，从而等式af(x0)g(2x0)0 等价于 a(2x02x0)(22x0222122x022x0t2222322x0)0.因为 x02，1，所以 t2x02x0t 在，2上单，故 att22x02x022325 22 2，5 2.2，上单调递增，故 t 2 2，调递减，在，即 a2t22解后反思 已知方程有解求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式进行变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后利用数形结合法进行求解本题所采用的是分离参数法5、.在平面直角坐标系xOy中，（2019 年江苏卷）点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是_.【答案】(e,1).【解析】设点Ax0,y0，则y0 ln x0.又y 当x x0时，y 1，x1，x01(x x0)，x0点 A 在曲线y lnx上的切线为y y0即y ln x0 x1，x0e1，x0代入点e,1，得1ln x0即x0lnx0 e，考查函数Hx xlnx，当x0,1时，Hx0，当x1,时，Hx0，且H xlnx1，当x 1时，H x 0,Hx单调递增，注意到Hee，故x0lnx0 e存在唯一的实数根x0 e，此时y01，故点A的坐标为Ae,1.