2017年上海市高考数学真题卷.pdf

2017 年普通高等学校招生全国统一考试上海-数学试卷考生注意1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有12题，满分 54分，第 1-6题每题 4 分，第 7-12题每题5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合1,2,3,4,3,4,5AB,则AB.【解析】本题考查集合的运算，交集，属于基础题【答案】3,42.若排列数6P65 4m,则m.【解析】本题考查排列的计算，属于基础题【答案】3 3.不等式11xx的解集为.【解析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题【答案】,04.已知球的体积为36，则该球主视图的面积等于.【解析】本题考查球的体积公式和三视图的概念，343633RR,所以29SR，属于基础题【答案】95.已知复数z满足30zz，则z.【解析】本题考查复数的四则运算和复数的模，2303zzz设zabi，则22230,3ababiabi,22zab，属于基础题【答案】36.设双曲线222109xybb的焦点为12FF、,P为该双曲线上的一点.若15PF,则2PF.【解析】本题考查双曲线的定义和性质，1226PFPFa（舍），2122611PFPFaPF【答案】11 7.如图，以长方体1111ABCDABC D的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若1DB的坐标为(4,3,2),则1AC的坐标是.【解析】本题考查空间向量，可得11(4 0 0)(0 3,2)(4 3 2)ACAC，,属于基础题【答案】(4 3 2)，8.定义在(0,)上的函数()yf x的反函数-1()yfx.若31,0,()(),0 xxg xfx x为奇函数，则-1()=2fx的解为.【解析】本题考查函数基本性质和互为反函数的两个函数之间的关系，属于中档题10,0,()31()()13xxxxgxg xg x,所以1()13xf x,当2x时，8()9f x,所以18()29f【答案】89x9.已知四个函数：yx；1yx；3yx；12yx.从中任选 2 个，则事件“所选 2 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.【解析】本题考查事件的概率，幂函数的图像画法和特征，属于基础题总的情况有：42C6种，符合题意的就两种：和，和【答案】1310.已知数列na和nb,其中2,Nnann，nb的项是互不相等的正整数.若对于任意Nnnb，中的第na项等于na中的第nb项，则149 161234lglgbb b bbb b b.【解析本题考查数列概念的理解，对数的运算，属于中档题由题意可得：222222114293164(),nnabnnbabbbbbbbbbb，所以21 49 161 23412 341 234lglg=2lglgbb b bbb b bb b b bb b b b【答案】2 11.设12R，,且121122sin2sin(2)，则1210的最小值等于.【解析】考查三角函数的性质和值域，121111,1,12sin32sin(2)3，要使121122sin2sin(2)，则111122221=122sin2,1=12sin(2)4kk kZk1212minmin31010(2)44kk,当122=11kk时成立【答案】412.如图，用 35 个单位正方形拼成一个矩形，点1234,P P P P以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处.设集合1234=,P P P P，点P.过P作直线Pl，使得不在Pl上的“”的点分布在Pl的两侧.用1()PD l和2()PDl分别表示Pl一侧和另一侧的“”的点到Pl的距离之和.若过P的直线Pl中有且只有一条满足12()=()PPD lD l，则中所有这样的P为.【解析】本题考查有向距离，以左下角的顶点为原点建立直角坐标系。四个标记为“”的点的坐标分别为(0,3),(1,0),(4,4),(7,1),设过P点的直线为：0axbyc,此时有向距离1234222222223447,bcacabcabcddddabababab，且由1234+12840320ddddabcabc则过1P的直线满足40bc;此时234abcb,直线为：2240(4)033bxbybbxy：所以此时满足题意的直线为：24=03xy则过2P的直线满足320abc;此时有无数组解，例如：直线3x，直线2y等都满足题意.则过3P的直线满足420abc;此时02acb，直线为：20(2)0bybb y,所以此时满足题意的直线为：2=0y.则过4P的直线满足660abc;此时432abcb,直线为：4420(2)033bxbybbxy：所以此时满足题意的直线为：4203xy【答案】134P P P二、选择题（本大题共有4 题，满分 20分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.关于xy、的二元一次方程组50234xyxy，的系数行列式D为（）A0543B1024C1523D6054【答案】C 14.在数列na，1,N,2nnan则limnna（）.A等于12B等于 0C等于12D不存在【答案】B 15 已 知abc、为 实 常 数，数 列nx的 通 项2*,Nnxanbnc n，则“存 在*Nk,使 得1 0 02 0030 0,kkkxxx成等差数列”的一个必要条件是（）A0aB0bC0cD20abc【答案】A 16在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆221:1364xyC和222:+19yCx.P为1C上的动点，Q为2C上的动点，是OP OQ的最大值.记=,|P QP在1C上，Q在2C上，且=OP OQ，则中（）A元素个数为2 B元素个数为4 C元素个数为8 D含有无穷个元素【答案】D 17（本题满分14 分，第 1小题满分6 分，第 2 小题满分8 分）如图，直三棱柱111ABCA BC的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4 和 2，侧棱1AA的长为 5.（1）求三棱柱111ABCA BC的体积；（2）设M是BC中点，求直线1AM与平面ABC所成角的大小。【答案】（1）1 111245202ABCA B CV（2）arctan 518（本题满分14 分，第 1小题满分6 分，第 2 小题满分8 分）已知函数221cossin,0,2fxxxx.（1）求fx的单调递增区间；（2）设ABC为锐角三角形，角A所对的边19a，角B所对的边5b.若0fA，求ABC的面积.三、解答题（本大题共有5 题，满分 76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.【答案】（1）,2（2）1534ABCS19（本题满分14 分，第 1小题满分6 分，第 2 小题满分8 分）根据预测，某地第n*Nn个月共享单车的投放量和损失量分别为na和nb（单位：辆），其中4515,13,10470,4,nnnann5nbn.第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地第4 个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量24468800nSn（单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【答案】（1）935（2）214,1102,2514,311919815,422nnQnnnn，所以当42n时Q取最大值，为8782 此时2424 42468800=87368782S，所以当Q取最大值时，停放点不能容纳20（本题满分16 分，第 1小题满分4 分，第 2 小题满分5 分，第 3 小题满分7 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:14xy，A为的上顶点，P为上异于上、下顶点的动点.M为x正半轴上的动点.（1）若P在第一象限，且2OP，求P的坐标；（2）设8 3,5 5P.若以APM、为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若MAMP,直线AQ与交于另一点C，且2AQAC，4PQPM，求直线AQ的方程.【答案】（1）2 36,33P；（2）29,020M或3,05M或1,0M；（3）5110yx解析（3）点P是上一动点，设2cos,sinP，,0M t，0t，,qqQ xy，,ccC xy，且0,1A。记线段AP中点为点,nnN xy，则sin1cos,2N4PQPM，34PQQM，42cos346cos4134sin033sin413qqtxty，46cos,3sinQt；又2AQAC，ACCQ，C是AQ中点，1323cos,sin22Ct又 C是上的一点，22223cos13sin1236 cos3sin044tttMAMP，MAP为等腰三角形，N为底边AP中点，MNAPsin1cos,2MNt，2cos,sin1AP，12coscossin1sin102MNAPt24coscoscos0cos4cos4cos0tt（1）若c o s0，则0,s inP，由P不在上顶点可知，sin1，P为下顶点，sin1，0,1P2223603103ttt无解；（2）cos0，则33cos40cos04tt，cos022332cos36coscos3sin09sin8sin10441sin9或1（舍），4 5cos9，34 55493t4 5 1,33Q，1153104 503AQk，直线AQ方程5110yx21（本题满分18 分，第 1小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分8 分）设定义在R上的函数fx满足：对于任意的12Rxx，当12xx时，都有12fxfx.（1）若31fxax，求a的取值范围；（2）若fx是周期函数，求证：fx是常值函数；（3）若fx恒大于零.g x是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g x的最大值.函数h xfx g x，证明：“h x是周期函数”的充要条件是“fx是常值函数”.【答案】（1）记12xx，若12fxfx，31fxax则3312120fxfxa xx，12xx，33120 xx，0a（2）若fx是周期函数，记其周期为kT，任取0 xR，则有00kfxfxT又由题意，对任意00,kxxxT,00kfxfxfxT，00kfxfxfxT又00,kfxfxnTnZ，并且0000000000.3,22,2.kkkkkkkkxT xTxTxTxTxxxTxT xTR所以对任意xR，0fxfxC，为常数，证毕。（3）充分性：若fx是常值函数，记1fxc，设g x的一个周期为gT，则1h xcg x，则对任意0 xR，010100ggh xTcg xTcg xh x，故h x是周期函数成立。必要性：若h x是周期函数，记其一个周期为hT。集合|Ax g xm任取0 xA，则必存在2NN，使得020hgxN TxT，即00020,ghxTxxN Tx，0000000000.3,22,2.ggggggggxTxTxTxTxTxxxTxTxTR02020200020202.2,2.hhhhhhxN TxN TxN TxxxN TxN TxN TR000020202=hhhh xg xfxh xN Tg xN TfxN T因为0020hg xMg xN T，0020hfxfxN T，因此若002hh xh xN T必有002hg xMg xN T，且002=hfxfxN Tc，而由第（2）问证明可知对任意xR，0fxfxC，为常数。必要性证毕。