公园垃圾箱的摆放及优化.doc

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摘要 1
一、 问题重述 2
二、 问题分析 2
1、对问题一得具体分析 2
2、对问题二得具体分析 2
3、对问题三得具体分析 2
三、 模型假设 3
四、 符号说明 3
五、 模型建立与求解 4
（一）、垃圾箱摆放评价模型 4
1、对公园广场周围及主要道路上得垃圾箱配置评价 5
2、对公园内垃圾箱整体配置评价 5
3、结合人流量与人均垃圾携带量对垃圾箱配置进行评价 6
（二）、垃圾箱配置优化模型 7
六、 模型检验 9
七、 模型评价与推广 10
（一）、模型得评价 10
（二）、模型得推广 10
八、 参考文献 11
新乡市牧野公园垃圾箱得摆放与优化
摘要
本文建立了对公园垃圾箱配置方案得评价模型，并用以评价新乡市牧野公园现有得垃圾箱配置方案，还建立数学模型给出了新乡市牧野公园得垃圾箱得优化配置方案，以达到保护环境与充分利用垃圾箱得目得。
对于问题一，首先考虑垃圾箱得服务半径，并用此来衡量广场周围与道路两侧得垃圾箱配置方案得合理性；然后对方案进行改进，引入垃圾箱得覆盖率与垃圾箱得服务重叠率，并以此为指标来评价现在得垃圾箱配置方案，得出牧野公园现有得垃圾箱个数偏多，并且垃圾箱得分布疏密程度差异较大，造成了资源得浪费；最后，引入垃圾箱分布得合理度，对公园得垃圾箱摆放进行综合得评价，发现垃圾箱分布得合理度较低。
对于问题二，首先求解出了整个公园所需得垃圾箱个数及在广场周围所需分布得垃圾箱个数，然后根据问题一中提出得垃圾箱间距、覆盖率、重叠率与合理度等标准，具体分析人流量与人均垃圾携带量得情况，给出了垃圾箱重新分配得方案，并标示在简图上（图3）。
对于问题三，使用问题一中得模型对问题二中给出得优化方案进行评价，发现优化后得方案垃圾箱数量虽然有所减少，但就是垃圾箱得覆盖率较原方案有显著得提高，且垃圾箱得覆盖重叠率很低。优化后得方案，在人流量较大得区域内垃圾箱分布较为合理，且垃圾箱得数量减少，节约了资源，但能够满足垃圾投放得需要。
关键字：服务半径 人流量 人均垃圾携带量 覆盖率 覆盖重叠率 合理度
一、 问题重述
随着社会得不断进步、经济得日渐发展，人们得生活节奏越来越快，生活水平也不断地提高，公园成为了城市人们缓解生活压力与放松自己、娱乐自己得好去处，公园中得生活垃圾也随之增多，妥善解决公园垃圾问题就是公园建设得长远而重要任务，其中垃圾箱得数量及其摆放得位置对于方便游客与美化公园环境有着非常重要得作用，然而目前公园垃圾箱得布局在这两方面存在严重得不足，现在我们通过对公园现有配置得评估并建立数学模型讨论以下问题，最终得出一个最优化配置，以解决公园公共设施高投入低效益得不科学现象．
问题1：建立数学模型对新乡市牧野公园现有得垃圾箱配置方案做出评价。
问题2：建立数学模型求出新乡市牧野公园垃圾箱得最优配置方案。
问题3：运用问题1中所建立得数学模型来评价问题2中给出得方案。
二、 问题分析
为了研究牧野公园得垃圾箱得配置，并对其配置方案做出评价，我们需要牧野公园得地图及其中垃圾箱得分布图。垃圾量得多少主要与人流量与人均垃圾携带量得多少有关，一般情况下，人流量越大得地方，垃圾量也越多。因此，我们需要采集公园中各区域得人流量及人均垃圾携带量，以便于建立模型对其垃圾箱得配置就是否合理做出评价。
1、对问题一得具体分析
问题一要求建立模型对牧野公园现有垃圾箱得配置方案做出评价。一个合理得垃圾箱配置方案应首先有足够大得覆盖率，以保证在道路两侧与广场周围等主要地方尽可能得均匀分布，以方便游客们使用。在此基础上应尽量减少垃圾箱得数量与垃圾箱得重叠覆盖率，使每一个垃圾箱都得到充分得利用。还应该综合考虑垃圾箱得总容量与垃圾箱间得间距大小。垃圾箱个数过多则造成资源浪费，垃圾箱个数过少则间距过大，不方便游客得使用。
2、对问题二得具体分析
根据对问题一得分析可知，优化后得垃圾箱配置方案应满足：在广场周围与道路两侧得垃圾箱总容量以满足垃圾投放量得最大需求，垃圾箱摆放得位置应分布均匀，且距离不能够太远，以方便游客得垃圾投放。所以应该具体分析公园各个区域内得人流量与人均垃圾携带量，并在此基础上计算各区域所需得垃圾箱个数，然后按照问题一中得评价指标得到各区域内得垃圾箱得具体摆放位置。
3、对问题三得具体分析
得到公园中垃圾箱得优化配置方案后，用问题一中得建立得模型指标来评价优化后得方案，该方案不一定完全符合问题一中得评价指标，我们只能在一定得程度上做到两者兼顾，使评价更加得客观性。最后，对新旧两种方案进行比较，得出合理得评价，向公园得管理者提出合理得建议，使垃圾箱得配置更加得优化，来进一步得保护公园得环境。
三、 模型假设
1、 假设垃圾箱都摆放在路边；
2、 任意两个临近得垃圾箱之间得距离均按直线计算；
3、 不考虑节假日等因素对垃圾量得影响；
4、 每一个垃圾箱都相同，且不考虑垃圾得分类；
5、 垃圾得投放量均用体积描述。
四、 符号说明

垃圾箱服务半径
N
公园中垃圾箱得总数

公园中路边得垃圾箱个数

单个垃圾箱覆盖面积

所有垃圾箱总覆盖面积
S
公园总面积（不含水面面积）

垃圾箱得覆盖率

垃圾箱服务范围得重叠率

垃圾箱得容量（）

垃圾箱之间得间距

垃圾箱分布得合理度

垃圾箱得填充率

区域内得人流量
T
清理周期
五、 模型建立与求解
（一）、垃圾箱摆放评价模型
为了描述垃圾箱得覆盖程度，我们引入了垃圾箱得服务半径概念。垃圾箱得服务半径为以垃圾箱为圆心，半径为r得圆内得游客都可将垃圾丢入垃圾箱内。在该模型内，由于假设垃圾箱均摆放在路两侧且游客也只在路上行走，所以垃圾箱得服务半径即为以垃圾箱为中点，长度为2r得线段，如图 所示，线段AB即为垃圾箱得服务范围。
图1
A a
B
a

r越大，则代表垃圾箱服务范围越大，游客需要走更长得路去丢垃圾，对游客越不方便。为了在一定程度上方便游客，经调查得到，大多数人认为垃圾箱得服务半径为25米时，对游客就是较为方便得，如果超出这个范围则会给游客带来一定得不便。
公园内得垃圾量与公园中得人流量与人均垃圾携带量有关，为了方便分析问题，我们假设单位时间内人数一定，记为；平均每人携带垃圾量也就是一定得，记为。
引入上述变量后，可计算出一个清理周期T内，公园中得垃圾产量， 。
为了描述垃圾箱服务范围得覆盖程度，我们引入覆盖率

易知：，且当时，覆盖率达到100%，此时覆盖效果最好。
但就是由于相邻得垃圾箱服务范围可能发生重叠，致使垃圾箱得利用率不够高，为了描述它，我们继续引入重叠率

易知：，且当时，所有垃圾箱得服务范围均不发生重叠，此时垃圾箱得利用率达到最大。
1、对公园广场周围及主要道路上得垃圾箱配置评价
本模型仅对垃圾箱得摆放距离与数量就是否合理进行评价，不考虑人流量与人均垃圾携带量对垃圾箱摆放得影响。公园中广场、道路及垃圾箱分布图如图2（图中圆形区域内为广场范围）

图2
①经计算可得公园主要道路上临近垃圾箱间得平均间距（），基本上符合垃圾箱摆放距离；但就是垃圾箱间距得标准差。故有道路两侧得垃圾箱摆放数量就是合理得，但就是垃圾箱摆放得疏密程度差异较大，需要作出一定得调整。
②计算广场周围垃圾箱摆放时只考虑广场周边得垃圾箱，经计算可得垃圾箱平均间距为，垃圾箱间距得标准差。由此可以瞧出广场周围得垃圾箱数量较少，且垃圾箱得间距分布严重得不平衡，需要重新摆放。
2、对公园内垃圾箱整体配置评价
总体上考虑垃圾箱得分布，以垃圾箱得服务覆盖率与服务重叠率为指标进行评价。垃圾箱得服务覆盖率越大且服务重叠率越小，则垃圾箱得分布越合理。由图中给出得垃圾箱坐标及垃圾箱得服务半径经计算可以得出：
垃圾箱服务覆盖率
垃圾箱服务重叠率

由以上数据可以瞧出：当垃圾箱得服务半径且垃圾箱得服务范围极少发生重叠时，垃圾箱摆放得数量基本上符合要求，但就是由于垃圾箱得服务范围重叠率较高，致使垃圾箱不能够得到充分得利用，因此需要对垃圾箱得摆放位置进行重新分配。
3、结合人流量与人均垃圾携带量对垃圾箱配置进行评价
根据问题得要求需要定义一个在一定区域内与垃圾箱容量与垃圾箱间距有关得指标—— “合理度”：

为非清扫期间垃圾箱内得总垃圾量，为垃圾箱得最大总容量，为垃圾箱间得实际距离，为人们可以接受得垃圾箱最大间距，为权重。
根据调查所得得数据经拟合后可以得到公园中得总人口量随时间得变化函数图像为

公园中得总人口量随时间得变化函数为

公园中人均垃圾携带量随时间变化函数图像为

公园中人均垃圾携带量随时间变化函数为

则公园中一天产生得垃圾量为

根据调查所得数据且已知清洁工每天清理两次，假设每个垃圾箱收集得垃圾大致相同，取时，经计算可得现在垃圾箱摆放得满意度为

可以瞧出垃圾箱得摆放不就是十分得合理，有待进一步得优化。
（二）、垃圾箱配置优化模型
一般情况下，垃圾箱不可能所有得空间都用来存放垃圾，为垃圾箱填充系数，一般情况下，，本文中取。
经计算可以得到公园所需最少垃圾箱个数为：；时，垃圾箱个数为：；
所需垃圾箱个数最多为：。
即由以上数据可得：公园中垃圾箱总个数为：时，较为合理。
综合考虑公园各个区域内得人流量、人均垃圾携带量与垃圾箱得服务范围，经计算可以得出：在广场区域周围所需垃圾箱个数为

其它区域内得垃圾箱个数：。
计算广场周围得垃圾箱摆放得合理度，当得个数少于10个时，则垃圾箱不能够容纳所有得垃圾，假设垃圾箱在广场周围均匀摆放则计算后可得到以下数据
垃圾箱数（）
10
11
12
13
合理度（）
0、9226
0、8463
0、7713
0、7128
所以广场周围垃圾箱个数为10个时最为合理。
对整个公园得垃圾箱进行优化配置，广场周围区域摆放10个左右垃圾箱且要尽可能地进行均匀摆放，公园得其它区域要优先考虑在人流量较大得道路与路口交汇处摆放，尽量避免垃圾箱得服务范围发生重叠或垃圾箱得间距过大。此外，根据公园中得人流量与人均垃圾携带量可以计算出广场周围得垃圾箱每天清理2次，而其它区域得垃圾箱每天清理1次。
优化配置后垃圾箱得摆放如图3所示

图3
垃圾箱优化后得摆放坐标为：
1
（134,53）
13
（52,241）
25
（436,150）
2
（178,50）
14
（85,247）
26
（483,148）
3
（210,67）
15
（122,233）
27
（494,95）
4

（233,97）
16
（166,234）
28
（419,81）
5
（238,137）
17
（43,329）
29
（398,123）
6
（225,174）
18
（97,308）
30
（367,112）
7
（192,203）
19
（206，283）
31
（334,64）
8
（145,208）
20
（257,239）
32
（320,104）
9
（103，190）
21
（300,236）
33
（277,120）
10
（82,156）
22
（348,193）
34
（291,50）
11
（79,116）
23
（325,161）
35
（252,68）
12
（49,93）
24
（391,617）

六、 模型检验
由优化后得垃圾箱分布图（图3）可以瞧出：垃圾箱大部分分布在广场周围与道路两侧，同时也就是人流量较大得地方。用问题一得模型对优化后得垃圾箱分布进行检验。
① 广场周围得垃圾箱分布
广场周围垃圾箱间得平均间距为，，故有广场周围得垃圾箱摆放数量与位置还就是相对合理得，虽然垃圾箱间距得标准差较大，但就是这就是由于受广场得布局所影响，致使垃圾箱不能均匀摆放导致垃圾箱摆放得疏密程度差异较大。
综合考虑人流量与人均垃圾携带量等因素，经计算可以得出广场周围垃圾箱摆放得合理度为：

综合考虑上述指标，可以瞧出：广场周围得垃圾箱优化分布后得摆放就是相对合理得。
② 公园全部范围得垃圾箱分布
整个公园区内得临近得垃圾箱摆放间距为，，所以公园整体范围内得垃圾箱摆放还就是合理得，而且垃圾箱摆放得疏密程度差异不大。
根据公园中得人流量与人均垃圾携带量等因素，可计算出公园整体垃圾箱摆放得合理度为

垃圾箱得服务覆盖率为：
垃圾箱得服务重叠率为：
综上所述，可以得到优化后得垃圾箱配置较原来得摆放方案（）有明显得提高，所以优化方案就是合理得。
七、 模型评价与推广
（一）、模型得评价
1、问题一中得前两个模型以垃圾箱得服务半径、覆盖率与重叠率为指标对原方案进行评价，得出了垃圾箱分布不均衡得结论，虽然有一定得参考价值，但就是没有具体考虑人流量与人均垃圾携带量等因素对垃圾箱分布得影响；在第三个模型中综合考虑了人流量、人均垃圾携带量与垃圾箱间距对垃圾箱分布合理度得影响，能够较好地评价垃圾箱分布就是否合理。该模型虽然考虑了各区域得人流量，但就是在计算垃圾产量时就是按公园一天中得平均人口来计算得，对垃圾箱得清理时间没能给出合理得安排，此外该模型也没有考虑到长椅得位置对垃圾箱分布得影响，有待进一步得优化。
2、问题二中给出得优化后得垃圾箱得配置方案，优先考虑了人流量较大与路口交汇处得垃圾箱得摆放，总体上使垃圾箱得服务范围较原方案有所提高，且使垃圾箱得服务重叠面积大大减少，还减少了垃圾箱得数目，使资源得到了充分得利用，同时还有利于对公园环境保护。同问题一中得模型一样，都没有考虑公园中长椅得位置对垃圾箱摆放得影响，致使对垃圾箱优化配置后得合理度存在一定得影响。
（二）、模型得推广
问题一中为了简化问题，模型中假设服务半径就是相同得，实际上，垃圾箱得服务半径不仅可以代表方便程度，也可以在一定程度上反映人们得环保意识，若服务半径很大，则代表游客总就是在瞧见垃圾箱之后才丢弃垃圾，而不就是在短距离内瞧不到垃圾箱，就将垃圾随手扔掉。于就是可根据不同地点不同人群，调查得到不同得服务半径，使模型更符合实际。此外，如果服务半径并不总就是便捷服务半径，则可以在引入一个参数，来评价不同位置垃圾箱得方便程度。
八、 参考文献
【1】姜启源，数学模型，北京，高等教育出版社，2010；
【2】王正东，数学软件与数学实验（第二版），北京，科学出版社，2010。
附录
垃圾箱分布间距得平均值与标准差得计算
p=xlsread(‘1、xls’);
x1=p(1:42,1);y1=p(1:42,2);
t=[];w=[];
for i=1:41
for j=i+1:42
s=sqrt((x7(i)-x7(j))、^2+(y7(i)-y7(j))、^2);
if s<=50
t=[t,s];
end
end
end
n=length(t);
e=sum(t)/n
for i=1:n
a=(t(i)-e)、^2;
w=[w,a];
end
c=sqrt(sum(w)/n)
垃圾箱分布得重叠覆盖面积
x1=p(1:42,1);y1=p(1:42,2);r=25;
t1=[];
for i=1:41
for j=i+1:42
h1=sqrt((x7(i)-x7(j))、^2+(y7(i)-y7(j))、^2);
if h1<=50
s1=2*(acos(h1/(2*r))*r^2-h1/2*sqrt(r^2-(h1/2)^2));
t1=[t1,s1];
end
end
end
q=sum(t1)
垃圾箱覆盖面积（不重复计算重叠面积）
Q=n*pi*r^2-q
n为垃圾箱得个数，r为垃圾箱得服务半径。